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Théorèmes de point fixe et

applications

Guillaume Kineider

Thomas Harbreteau

23 avril 2020

Lecture dirigée de L3 encadrée par Zied Ammari

Année universitaire 2019/2020

Document sous license Art Libre (http://artlibre.org)

Sommaire

Introduction2

1 Autour du théorème du point fixe de Picard-Banach 3

1 Théorème du point fixe de Picard-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2 Affaiblissement de l"hypothèse de contraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2 Théorème du point fixe de Brouwer 6

1 Théorème de la boule chevelue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2 Théorème du point fixe de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

3 Classification des espaces homéomorphes à une boule unité fermée . . . . . . . . . . . . . . .

10

4 Applications du théorème de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

4.1 Théorème de Perron-Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

4.2 L"algorithme PageRank pour Google . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

3 Le théorème du point fixe de Schauder 16

1 Et en dimension infinie? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2 Théorème du point fixe de Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

3 Solutions d"équations intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Bibliographie21

1

Introduction

Un point fixe d"une applicationfallant d"un espaceEdans lui-même est défini comme étant un élément

x2Evérifiantf(x) =x. La recherche de points fixes de certaines applications permet de résoudre de

nombreux problèmes, en particulier dans la théorie des équations différentielles. Dans ce document, nous

étudierons trois théorèmes de point fixe, qui donnent des conditions suffisantes d"existence d"un point fixe

pour une application, en fonction de conditions portant sur la fonction elle-même ainsi que sur l"espace sur

lequel elle est définie. Nous illustrerons également leur importance, en étudiant certains résultats célèbres

dont les preuves reposent dessus.

Le premier théorème que nous étudierons est le théorème du point fixe de Picard-Banach. Énoncé par le

mathématicien polonais Stefan Banach en 1920, dans le cadre de ses travaux sur la résolution d"équations

intégrales, c"est un théorème très fort qui, sous certaines conditions, ne donne pas seulement l"existence

de point fixe, mais aussi l"unicité et même une méthode itérative pour le déterminer. Ce théorème est

notamment à l"origine de la méthode de Newton, de résolution numérique d"équations, ainsi que de théorèmes

fondamentaux d"analyse tels que les théorèmes de Cauchy-Lipschitz et d"inversion locale.

Nous verrons ensuite le théorème de Brouwer. Prouvé en 1912 par le mathématicien Jan Brouwer, ce

théorème ne garantit que l"existence de point fixe sous certaines conditions, et n"est pas constructif, contrai-

rement au théorème de Picard Banach. Cependant, son cadre d"application est nettement plus vaste, et a

même été utilisé en théorie des jeux par John Nash. Anecdote amusante, Brouwer aurait eu l"idée de ce

théorème en observant sa tasse de café alors qu"il mélangeait son sucre, observant qu"au moins un point de

la surface étai toujours fixe.

Enfin, nous étudierons le théorème de Schauder, une généralisation du théorème de Brouwer conjecturée

en 1930 par le polonais Juliusz Schauder, qui en démontra un cas particulier. La démonstration du cas

générale fût proposée par Robert Cauty en 2001. Contrairement au théorème de Brouwer, qui nécéssite

l"hypothèse de dimension finie de l"espace, le théorème de Schauder est applicable en dimension infinie, et

a donc des retombées importantes en analyse fonctionnelle, avec par exemple pour conséquence le théorème

de Cauchy-Peano. 2

Chapitre 1

Autour du théorème du point fixe de

Picard-Banach

1 Théorème du point fixe de Picard-Banach

Définition 1.1.1 (Application contractante)Soient(X;d)un espace métrique etf:X!Xune application. On dit quefest contractante s"il existe une constante0< k <1telle que

8x;y2X; d(f(x);f(y))kd(x;y):

On pourra alors dire quefestk-contractante.

Proposition 1.1.2Une application contractante est continue. Théorème 1.1.3 (Théorème du point fixe de Picard-Banach)Soient(X;d)un espace métrique complet etf:X!Xune applicationk-contractante. Alors

1.fadmet un unique point fixea2X,

2. p ourtout x02X, la suite des itérées dex0parf, définie parxn:=fn(x0)pour toutn2N, converge versa, 3. la c onvergenceest gé ométrique,

8n2N; d(xn;a)kn1kd(x1;x0):

Preuve.Soitx02X. On considère la suite(xn)n2Ndéfinie comme dans le point 2, alors pour touspq, d(xp;xq) =d(fp(x0);fq(x0))kqd(fpq(x0);x0): Par inégalité triangulaire et le calcul précédent, d(fpq(x0);x0)d(fpq(x0);fpq1(x0)) ++d(f(x0);x0) (kpq1++k+ 1)d(f(x0);x0)

11kd(f(x0);x0):

Ainsi, comme0< k <1,

d(xp;xq)kq1kd(x1;x0)!q!+10;() donc pour tout" >0, il existen2Ntel que pour tousp;q2N,d(xp;xq)< ". Ceci montre que(xn)nest

une suite de Cauchy. L"espace(X;d)étant complet, cette suite converge vers un certaina2X. Maisfétant

contractante, elle est continue donc par passage à la limite quand[n!+1]dans la relationxn+1=f(xn),

on obtienta=f(a), ce qui montre quefadmet un point fixe, notéa. Notons qu"en passant à la limite quand

[p!+1]dans la relation()on montre que la vitesse de convergence est géométrique. Enfin, sia02Xest

un point fixe def, alorsd(f(a);f(a0)) =d(a;a0)kd(a;a0), donca=a0. L"applicationfa donc un unique point fixe. 3 CHAPITRE 1. AUTOUR DU THÉORÈME DU POINT FIXE DE PICARD-BANACH

Ce théorème reste vrai en généralisant l"hypothèse "fest contractante » par " une des itérées defest

contractante » : Théorème 1.1.4Soient(X;d)un espace métrique complet etf:X!X. On suppose qu"une certaine itéréefpdefestkp-contractante. Alors

1.fadmet un unique point fixea2X,

2. p ourtout x02X, la suite des itérées dex0parf, définie parxn:=fn(x0)pour toutn2N, converge versa, 3. la c onvergenceest gé ométrique,il existe une c onstanteC >0telle que

8n2N; d(xn;a)Ckm=pp:

Preuve.On applique le théorème du point fixe de Picard-Banach àfp, ce qui assure l"existence et l"unicité

d"un point fixea2Xdefp. En remarquant quefp+1(a) =f(fp(a)) =f(a)d"une part etfp+1(a) =fp(f(a))

d"autre part, on obtient quef(a)est un point fixe defpet, par unicité,f(a) =a. Or un point fixe defest

également point fixe defpd"où l"unicité du point fixe def. De plus, pourn2N, on considère la division

euclidienne denparp,n=pq+r, pour montrer que pour toutx02X, d(fn(x0);a)knp1kd(fr(x0);x0): Pour une preuve plus détaillée, on pourra consulter le Rouvière [5].

Le théorème du point fixe de Picard-Banach est utilisé dans les preuves de certains théorèmes fondamen-

taux. On pourra penser aux théorèmes d"inversion locale (Rouvière [5], exercice 71), ou encore le théorème

de Cauchy-Lipschitz (Berthelin [1]).

2 Affaiblissement de l"hypothèse de contraction

En rajoutant une hypothèse de compacité, il est possible d"affaiblir l"hypothèse "fcontractante » du

théorème de Picard-Banach. Cependant, on perd certaines conclusions du théorème. Théorème 1.2.1Soient(X;d)un espace métrique compact, non vide, etf:X!Xune application vérifiant

8x6=y2X; d(f(x);f(y))< d(x;y):

Alors

1.fadmet un unique point fixea,

2. p ourtout x02X, la suite des itérées dex0parf, définie parxn:=fn(x0)pour toutn2N, converge versa.

Preuve.

1. Les applic ationsfet(x;y)7!d(x;y)sont continues respectivement surXetXX, donc par com- position, l"application'(x):=d(x;f(x))est continue surX. L"espaceXétant compact, elle atteint dessus un minimum, notém0. Mais alors '(f(m)) =d(f(m);f(f(m)))< d(m;f(m)) ='(m); donc par définition dem, nécessairementf(m) =m. Doncfadmet bien un point fixe. Sim02Xest aussi un point fixe def, on ad(f(m);f(m0)) =d(m;m0)< d(m;m0), doncm=m0, ce qui montre l"unicité du point fixe def. 2. Soit x02X, pour toutn2N,d(xn+1;a)< d(xn;a), donc la suite(d(xn;a))nest décroissante. Elle est

aussi minorée, donc converge vers un certainl0. Par compacité deX, on peut extraire une sous-suite

(xnk)kde(xn)nqui converge versb2X. L"applicationfétant continue, le passage à la limite quand [k!+1]dans la relationf(xnk) =xnk+1montre que(xnk+1)kconverge versf(b). Ainsi, d(xnk;a)!k!+1d(b;a) =l; 4 CHAPITRE 1. AUTOUR DU THÉORÈME DU POINT FIXE DE PICARD-BANACH d(f(xnk);a)!k!+1d(f(b);a) =l:

Sia6=b, alors

l=d(f(b);a) =d(f(b);f(a))< d(a;b) =l; ce qui est impossible, donca=b, d"oùl= 0etxn!n!+1a. On peut même parfois se contenter d"une fonction 1-Lipschitz. Théorème 1.2.2On noteBnla boule unité fermée deRnpour une normek k. Soitf:Bn!Bnune application 1-Lipschitz, alorsfa un point fixe.

Preuve.Notons pour toutn >0,fn:= (11=n)f. Alors

8x;y2Bn;kfn(x)fn(y)k=

11n kf(x)f(y)k; donc lesfnsont contractantes. Pour toutn >0,fnenvoieBnsurBndonc par théorème du point fixe de

Picard-Banach, elle admet un unique point fixexn2Bn. Mais alors par compacité on peut extraire une

sous-suite(xnk)kde(xn)nqui converge versx2Bn. De plus,

8y2Bn;kfn(y)f(y)k=1n

kf(y)k; donc commefest bornée surBncar continue,(fn)nconverge uniformément versf. Par conséquent, f nk(xnk) =xnk!n!+1f(x); d"oùx=f(x).

Remarque 1.2.3On observe ici un élément intéressant des théorèmes de point fixe. Ceux-ci associent des

hypothèses sur un espace et sur une fonction pour donner l"existence d"un point fixe. Le théorème de Picard-

Banach demande des hypothèses fortes sur la fonction mais l"espace est assez général. Lorsque l"on cherche

à affaiblir les hypothèses sur la fonction, celles sur l"espace deviennent plus contraignantes. Dans le prochain

chapitre, nous allons donner un théorème de point fixe qui nécessite un espace très précis mais qui s"applique

à des fonctions seulement continues.

5

Chapitre 2

Théorème du point fixe de Brouwer

L"objectif de ce chapitre est de prouver le théorème du point fixe de Brouwer, qui dit que toute application

continue de la boule fermée unité deRndans elle-même admet un point fixe, ainsi que d"étudier l"une de ses

conséquences, le théorème de Perron-Frobenius.

1 Théorème de la boule chevelue

Pour cela, nous aurons besoin d"un résultat concernant les champs de vecteurs sur la sphère unité. On

noteraSnla sphère unité deRn+1ainsi queBnla boule unité deRn. Définition 2.1.1 (Champ de vecteurs tangent continue (resp. lisse))SoitXune partie compacte de R n, muni du produit scalaire euclidienh;i. Une applicationv:X!Rnest un champ de vecteurs tangent surXcontinue sivest continue (resp. lisse) et si pour toutx2X,v(x)est tangent àx, au sens deh;i.

On dira de plus quevest non-singulier sivne s"annule pas surX, et qu"il est unitaire si pour toutx2X,

kv(x)k= 1, oùk kest la norme associée au produit scalaire. Remarque 2.1.2On dira quevest lisse surXs"il existe un ouvert~XdeRncontenantXainsi qu"un champ de vecteurs~vlisse surUdont la restriction àXest égale àv.

Remarque 2.1.3Étant donné un champ de vecteurs tangent non-singulier, on peut obtenir un champ de

vecteurs tangent non-singulier et unitaire en normalisant.

On s"intéresse à l"existence de champs de vecteurs tangent non-singuliers sur la sphère unité. Le théorème

suivant permet de répondre à cette question dans le cas d"un champ lisse.

Théorème 2.1.4Il existe un champ de vecteurs tangent lisse, non-singulier et unitaire surSnsi et

seulement sinest impair.

Preuve.Sinest impair, on peut écriren= 2k1, et siUest un voisinage ouvert deSn, on peut définir

pour tout(x1;:::;xn+1)2U, ~v(x1;:::;x2k):= (x2;x1;:::;x2k;x2k1):

Le champvest lisse surU. On notevla restriction de~vàSn, et on vérifie quevest un champ de vecteurs

lisse tangent, non-singulier et unitaire. Sinest pair, supposons par l"absurde qu"il existe champvde vecteurs tangent lisse, non-singulier et unitaire surSn. Le champvétant lisse surSn, il existeUun voisinage ouvert deSnainsi que~v:U!Rn+1 une application lisse surUdont la restriction àSnestv. Notons^v:x2Rn+1n f0g 7!~v(x=kxk)et commençons par étendre la définition devàRn+1en posant w:R n+1!Rn+1 x7!kxk^v(x)six6= 0

0six= 0:

Par composition, cette application est lisse surRn+1n f0g, et~vétant bornée sur le compactSn, elle est

continue en 0. Définissons maintenant pour toutt2]0;1]l"applicationFt:x2Rn+17!x+tw(x). Soit t2(0;1], six2Sn, kFt(x)k2=kx+t~v(x)k2; 6 CHAPITRE 2. THÉORÈME DU POINT FIXE DE BROUWER

donc commevest tangent, par théorème de Pythagore,kFt(x)k2= 1 +t2, doncFt(Sn)est inclus dans la

sphèreStde centre 0 et de rayonp1 +t2. Étape 1: Montrons que pourtsuffisamment petit,Ft(Sn) =St, c"est-à-dire que pour touty2St, il existex2Sntel queFt(x) =x+tw(x) =y. Fixonsy02Stet définissonsGt(x):=y0tw(x). Il s"agit de montrer queGtadmet un point fixe. Pour toutx2B(0;p1 +t2=(1t)), kGt(x)k ky0k+tkw(x)k=p1 +t2+tkxk p1 +t2+tp1 +t21t=p1 +t21t; doncGtenvoieKt:=B(0;p1 +t2=(1t))dans lui-même. Montrons qu"elle est contractante sur ce compact. Six;y2Kt, kGt(x)Gt(y)k=tkw(x)w(y)k; donc il suffit de montrer quewest Lipschitz. Soitx02Ktnf0g, il existerx0>0tel queB(x0;rx0)Ktnf0g.

L"application^vétant lisse sur cette boule, qui est convexe, d"après l"inégalité des accroissements finis on a

8x;y2B(x0;rx0);k^v(x)^v(y)k sup

z2[x;y](kd^v(z)kL(Rn;Rn))kxyk:

Maisd^vest continue donc bornée sur le compactB(x0;rx0), ce qui montre que^vestk-Lipschitz sur cette

boule, pour un certaink >0. Ainsi,^vest localement Lipschitz surKtnf0g. Comme~Kt:=KtnB(0;1)Kt,^v

est localement Lipschitz sur le compact~Kt, donc est Lipschitz sur~Kt. Soientx;y2~Kttels quekxk kyk= 1,

kw(x)w(y)k=kkxk^v(x)^v(y)k =kkxk^v(x)^v(x) + ^v(x)^v(y)k jkxk 1j+k^v(x)^v(y)k kxyk+kkxyk (k+ 1)kxyk: Prenons maintenantx;y2Kttels quekxk kyk>0, alors on peut les diviser parkyket appliquer le calcul précédent. Ainsi, wxkyk wykyk (k+ 1) xkykykyk

d"oùkw(x)x(y)k (k+ 1)kxyk. Enfin, commew(0) = 0, cette inégalité est aussi vérifiée sixouyest

nul. Ceci montre quewest(k+ 1)-Lipschitz, donc sit <1=(k+ 1),

8x;y2Kt;kGt(x)Gt(y)k t(k+ 1)kxyk;

doncGt:Kt!Ktest contractante. MaisKtest un compact deRn+1, un espace complet, donc est complet. Par théorème du point fixe de Picard-Banach,Gtadmet un point fixex2Kt, et commeFt(x) =y0, on vérifie bien quekxk= 1. DoncFt(Sn) =St. En fait, comme pour toutx2Rnn f0g,Ft(x) =kxkFt(x=kxk), on a montré que l"image parFtde toute sphère de rayonRest une sphère de rayonRp1 +t2. Étape 2: Montrons que pourtsuffisamment petit,Ftest unC1-difféomorphisme. Notons :=fx2Rn+1j1=2 kxk 3=2g

l"espace entre les sphères de rayons 1/2 et 3/2 centrées en 0. L"applicationFtest lisse surRn+1nf0get pour

toutx2Rn+1n f0g,dFt(x) = id +tdw(x). Commedwest continue sur, elle est bornée dessus par un certainM >0. Alors sit < M, on a pour tousx2et toush2Rn+1n f0g, kdFt(x):hk jkhk tkdw(x):hkj; maistkdw(x):hk tMkhk0. Ceci montre quedFt(x)kest injective, donc bijective, pour tousx2. De plus, soientx;y2tels queFt(x) =Ft(y), soitxy=t(w(y)w(x). On a montré à l"étape 1 quewétait(k+ 1)-Lipschitz, donc sit <1=(k+ 1), on akxyk t(k+ 1)kxyk, doncx=y, doncfest injective. Par théorème d"inversion globale,Ftest unC1-difféomorphisme desurFt(). 7 CHAPITRE 2. THÉORÈME DU POINT FIXE DE BROUWER Étape 3: Calculons la mesure deFt()pour la mesure de Lebesgue. Soittsuffisamment petit pour

que les résultats précédents soient vérifiés. AlorsFtest unC1-difféomorphisme sur, donc par formule de

changement de variable, (Ft()) =Z F t()d=Z jdet(Ft(x))jd(x);

etdet(Ft(x)) = det(id +tdw(x))est un polynôme ent, donc(Ft())est un polynôme ent. Mais d"après

l"étape 2, F t() =( x2Rn+1jp1 +t22 kxk 3p1 +t22 LeC1-difféomorphismep1 +t2idqui envoiesurFt()montre alors que Z F t()d=Z p1 +t2n+1d=p1 +t2n+1():

Orn+ 1est impair, donc cette quantité n"est pas un polynôme ent. On aboutit donc à une contradiction,

ce qui montre qu"il n"existe pas de champ de vecteurs tangent lisse, non singulier et unitaire surSnsinest

impair, ce qui conlut la preuve. On peut élargir ce résultat aux champs de vecteurs continues seulement.

Corollaire 2.1.5 (Théorème de la boule chevelue)Il existe un champ de vecteurs tangent continue,

non-singulier et unitaire surSnsi et seulement sinest impair.

Preuve.Sinest impair, le théorème précédent nous assure l"existence d"un tel champ. Sinest pair,

supposons par l"absurde qu"il existe un tel champ de vecteurs, notév. D"après le théorème de Weierstrass, il

existe une application polynomialep:Sn!Rn+1telle que

8x2Sn;kp(x)v(x)k<12

Notonsw(x):=p(x) hp(x);xix. C"est un champ de vecteurs lisse surSn, qui vérifie pour toutx2Sn, hx(x);xi=hp(x);xi hp(x);xikxk2 |{z} =1= 0; doncwest tangent àSn. Soitx2Sn, par l"inégalité de Cauchy-Schwarz, carvest tangent. Donc par définition dew, on a kp(x)w(x)k=khp(x);xixk=jhp(x);xij<12 De plus,kp(x)v(x)k<1=2, donc par inégalité triangulaire,kv(x)w(x)k<1. Maisvest unitaire, doncw

est non nul. C"est donc un champ de vecteurs tangent lisse, non-singulier surSnet en le normalisant, on peut

obtenir un champ unitaire possédant les mêmes propriétés. Puisquenest pair, ceci contredit le théorème

précédent, donc un tel champ n"existe pas.

2 Théorème du point fixe de Brouwer

On peut désormais énoncer et démontrer le théorème de Brouwer.

Théorème 2.2.1 (Théorème du point fixe de Brouwer)Toute application continue de la boule unité

fermée deRndans elle-même admet un point fixe. 8 CHAPITRE 2. THÉORÈME DU POINT FIXE DE BROUWER Preuve.Raisonnons par l"absurde et supposons qu"il existe une application continuef:Bn!Bnsans

point fixe. On va construire à partir defun champ de vecteurs tangent continue et non-singulier surSn.

Considérons l"application

w:B n!Rn x7!xf(x)(1 hx;xi)1 hx;f(x)i:

La définition est légitime car le dénominateur ne s"annule pas. En effet, supposons qu"il existex2Bntel

que1 =hx;f(x)i. Par inégalité de Cauchy-Schwarz,quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14

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