[PDF] Chapitre 5 Ondes acoustiques Feb 5 2021 L'onde

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NotesdecoursLP201(ondesm´ecaniquesetlumineuses)2010/2011 -DanIsra¨el

Chapitre5

Ondesacoustiques

Undeuxi`emeexempleimportantd"ondesm´ecaniquesestdonn´eparlesondes acoustiques,correspondant`alapropagation depetitesperturbationsdansun fluide. L"ondesera alorscaract´eris´eeindiff´eremmentparled´eplacementdes´elementsde fluideou parlavariation depressionautourdelapressionmoyenne.Cetexemple permettra aussid"aborderlapropagation desondes`atroisdimensions,cequin"est

´evidemmentpaspossiblesurunecordevibrante.

5.1Descriptiond"unfluide

Onconsid`erequelespropri´et´esd"un fluideconsid´er´evarientcontinuementd"un point`al"autredesonvolume;onseplaceainsidansl"approximation desmilieux continus.Cetteapproximationseracorrectelorsquelesph´enom`enesd´ecritsauront des´echellescaract´eristiquestr`esgrandesdevantlelibreparcoursmoyendesparticules constituantlefluide. Lesdiff´erentesquantit´esphysiquescaract´erisantlefluidesontdoncdeschamps, c.-`a.-d.desfonctionsdelaposition?xetdutempst(description diteeul´erienne).Les diff´erentschamps`aconsid´ererparlasuitesont -le champdedensit´eρ(?x,t)quidonnelamassevolumiquelocaledu fluidedans unvolumeinfinit´esimalcentr´eau point?x,`al"instantt -le champ detemp´eratureT(?x,t) -le champ depressionP(?x,t),quiserad´efiniplusend´etaildanslasuitedutexte -le champ devitesse?v(?x,t)quidonnelavitessemoyennedel"´ecoulementpour volumeinfinit´esimaldefluidecentr´eau point?x,`al"instantt toutescesquantit´essontdesmoyennesstatistiqueseffectu´ees`al"instanttsurles particulespr´esentesdansunvolumeinfinit´esimalcentr´eautourdu point?x. Pour´ecrireleprincipefondamentaldeladynamique,onconsid`ereraplutˆotle syst`emeconstitu´ed"un petitvolumedefluide,dontonvasuivrelesd´eplacements etd´eformationsaucoursdutemps(description ditelagrangienne).Cet´elementde fluide,quisetrouvait`aunepositionmoyenne?x≡?x(0)`al"instantinitialt=0,se trouve`alaposition?x(t)`auninstantult´erieur.Cettederni`ereestdoncunefonction

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NotesdecoursLP201(ondesm´ecaniquesetlumineuses)2010/2011 -DanIsra¨el dutemps,correspondant`alapositionmoyennedesparticulesdel"´el´ementdefluide consid´er´e,`al"instantt. On peutalorsd´efinirled´eplacementdecet´elementdefluitecomme

ψ(?x,t)=?x(t)-?x(0),(5.1.1)

quidonneled´eplacementdu petitvolumedefluidequisetrouvaitau point?x`at=0 (c.-`a.-d.que?ψ(?x,0)=0).

5.1.1Ondesacoustiques`aunedimension

Danslasuitedecettepartie,poursimplifiermath´ematiquementl"´etudedesondes acoustiques,noussupposeronsquetousleschampscaract´erisantl"ondened´ependent qued"uneseulecoordonn´eex.Danslecaso`ulemilieudepropagationestinfini, celas"appliquenaturellementdanslecaso`u nousconsid´ereonsuniquementuneonde plane; ilsuffitalorsdeprendrel"axeOxparall`eleauvecteurd"onde?k. Cettehypoth`eseestaussivalablesinousconsid´eronslapropagation desondes acoustiquesdansuntuyau desection petitedevantsalongueur,enn´egligeantles effetsdebord provenantdelaviscosit´edu fluide.Ilsuffitl`aencoredeprendrel"axe

Oxparall`ele`al"axedutuyau.

5.1.2Forcesdepression

N´egligeantl"influencedesforcesvisqueuses(frottementsfluides)etdela gravita- tion, lesforcess"exer¸cantsurun´el´ementdefluideinfinit´esimalsontuniquementdes forcesdepression.Commeexpliqu´epr´ecedemment,onconsid`ereuntuyau,remplide fluide,telquel"airedesasectionestdonn´eepars.`Aunedimension,touteslesquan- tit´esvectorielles,commelesforces,deviennentdesquantit´esalg´ebriques,c.-`a.-d.des nombrespositifsou n´egatifs. Entoutpointdu fluideon d´efinitle champ depressionP(x,t)delamani`ere habituelle.On noteF(x,t)laforce(alg´ebrique)au pointxet`al"instanttexerc´eepar lapartiedu fluidesitu´eedanslar´egionyx.Le champ depressionestalorsd´efiniparF(x,t)=s×P(x,t). Forcenetteappliqu´ee`aun´el´ementdefluide Consid´eronsun´el´ementdevolumedefluided"´epaisseurinfinit´esimaledx,d´elimit´e pardeuxfacesd"aires,situ´eesenx-dx

2etx+dx2.

Lasommedesforcesappliqu´eesausyst`emesera alorsdonn´eeparlasommedes forcesdepressionsurlesdeuxfaces,voirfigure5.1.Cesforcesappliqu´eesau fluide serontdirig´eesversl"int´erieurdel"´el´ementdefluide.Laforcedepressionsurlaface situ´eeenx-dx

2estdonn´eeentermesduchamp depression par

F|x-dx

2=P(x-dx2,t)s(5.1.2)

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F(x+dx/2)F(x-dx/2)

x+dx/2x-dx/2 Fig.5.1 -Forcespressantesappliqu´ees`al"´el´ementdefluide. Laforcedepressionsurlafaceoppos´ee,situ´eeenx+dx

2,estorient´eeverslesx

d´ecroissants(carversl"int´erieurdel"´el´ementdefluide):

F|x+dx

2=-P(x+dx2,t)s(5.1.3)

Additionnantlesdeuxcontributionsdesdeuxfacesnousobtenons

F|x-dx

2+F|x+dx2=[P(x-dx2,t)-P(x+dx2,t)]s? -∂P(x,t)∂xdxs(5.1.4)

o`u nousavonssuppos´el"´epaisseurdelatranchedefluideinfinit´esimale.

5.1.3Principefondamentaldeladynamique

Leprincipefondamentaldeladynamique,`aunedimension,pourl"´el´ementde fluidesoumis`adesforces(alg´ebriques)Fis"´ecritdonc,danslecaso`ulesperturbations ned´ependentqued"unedimension:1 m ∂v(x,t) ∂t=? iF i(5.1.5) Lamassedusyst`eme,constantepard´efinition,estdonn´eepar m=ρ(x,t)δV=ρsdx(5.1.6) enfonction delamassevolumiquedu fluideρ(x,t).Enutilisantl"expression(5.1.4) pourlesforcesdepressions"exer¸cantsurl"´el´ementdefluide,leprincipefondamental deladynamiquedonnel"´equationsuivanted"´evolution:

ρ(x,t)∂v(x,t)

∂t=-∂P(x,t)∂x(5.1.7)

1.Entouterigueur, letermedegauchecontientuned´eriv´eeparticulaireparrapportautemps,

quicomporteuntermesuppl´ementaireditd"advection:dv/dt=∂v/∂t+(∂v/∂x)v.Eneffetpour

appliquerlepfdilestnatureldesuivrel"´evolutiond"un´el´elementdefluide,decontenuenparticules etmasseconstantes,doncd"adopterladescriptionlagrangienne.Lad´eriv´eeparticulairecorrespond`a

lad´eriv´eed"unchampli´e`aladescriptioneul´erienne(champdevitesse)endescriptionlagrangienne.

Notonsque,pouruneondesepropageantdansun fluidestatiquedansl"approximationlin´eaire,ce termesuppl´ementairenejouepasderˆole.

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5.1.4´Equationdeconservationdelamasse

Naturellement, l"´ecoulementdu fluidedoitˆetretelqu"ilconservelenombrede particules,c.-`a.-d.qu"ilconservelamasse.On peutconsid´ereralorsl"´evolution dela massedefluidecontenuedansun´elementdevolumefixeinfinit´esimal,pendantun intervalledetempsinfinit´esimal.Parunraisonnementanalogue`aceluidelasous- section5.1.2,onobtientl"´equationlocaledelaconservation delamasse ∂ρ(x,t) ∂t+∂∂x[ρ(x,t)v(x,t)]=0(5.1.8) Cette´equationstipulequelavariation delamassedansl"´el´ementinfinit´esimalest ´egale`aladiff´erenceentrelamasseentranteetlamassesortante. Laquantit´eρ(x,t)v(x,t),quialadimension d"unemasseparunit´edesurfaceet parunit´edetemps,estidentifi´eeaveclefluxdemassedefluide`atraversunesection transversedutuyausonore. Les´equationsfondamentalesdeladynamiquedu fluide,´eq.(5.1.7)et´eq.(5.1.8), nesontpassuffisantespourcaract´erisercompl`etementlefluide.Sitoutesdeuxfont intervenirle champ devitesse,lapremi`erefaitintervenirle champ depressionetla secondele champ dedensit´e.Pourobtenirunecaract´erisationcompl`etedusyst`eme ilfautintroduireune´equationd"´etatliantlapression, ladensit´eetlatemp´eraturedu fluide. Lavariation demassependantdtdue`al"´ecoulementestdonn´eeparlasommedes fluxdemasseentrants`atraverslesdeuxfacespendantcetintervalledetemps.La masseproprementditeestdonn´eepar (5.1.6).Consid´eronslafacesitu´eeenx-dx 2. Pendantunintervalledetempsdtlamassedefluideentrantparcettefaceestdonn´ee par

δm?

x-dx

2=ρ(x-dx2,t)×sv(x-dx2,t)dt????

volumedefluideentrantpendantdt(5.1.9) entermesduchamp devitessev,quiestorthogonal`alafaceconsid´er´ee.Demˆemela masseentrantparlafacesitu´eeenx+dx

2estdonn´eepara

δm?

x+dx

2=-ρ(x+dx2,t)sv(x+dx2,t)dt(5.1.10)

Additionnant´egalementlescontributionsdesautresfacesnousobtenonspourlava- riation delamassependantdt: s∂ρ(x,t)dx ∂tdt=?ρ(x-dx2,t)v(x-dx2,t)-ρ(x+dx2,t)v(x+dx2,t)?sdt ∂[ρ(x,t)v(x,t)] ∂xsdxdt Nousobtenonsfinalementl"´equationlocaledelaconservation delamasse(5.1.8). aLesignen´egatifestn´ecessairepourprendreencomptelefluideentrantparcettefacequise d´eplaceverslesxd´ecroissants.

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5.1.5Perturbationslin´eairesd"unfluideaurepos

Pour´etablirl"´equation d"onde,consid´eronsun fluideinitialementaurepos,c"est `adiretelqueleschampsdevitesse,pressionetdensit´esontdonn´esenl"absencede perturbation par ?v0(?x,t)=?0,P(?x,t)=P0,ρ(?x,t)=ρ0(5.1.11) parcouru parunepetiteperturbationcorrespondant`aun d´eplacementdefluidelongi- tudinal`acetteperturbation.Leschampsdepressionetdensit´esontalorsparam´etr´es comme P(?x,t)=P0+p(?x,t),ρ(?x,t)=ρ0+δρ(?x,t) (5.1.12) o`u noussupposonsque|p/P|?1,|δρ/ρ0|?1. Revenonsmaintenant`alapropagation`aunedimension.L"´equation dumouve- ment (5.1.7)pourle champ devitessedonne:

0+δρ(x,t)?∂v(x,t)

∂t=-∂p(x,t)∂x(5.1.13) Enlin´earisantau premierordredansle champ devitessev(x,t)etlasurdensit´e

δρ(x,t)onobtientsimplement

ρ0∂v(x,t)∂t=-∂p(x,t)∂x(5.1.14) etlaconservation delamassedonne ∂t+ρ0∂v(x,t)∂x=0(5.1.15) Cesrelationsnesontplusvalableslorsquelefluides"´ecoule(parexempleenpr´esence devent).

5.2Compressibilit´eet´equationd"onde

Les´equationsfondamentalesdeladynamiquedu fluide,´eq.(5.1.14)et´eq.(5.1.15), nesontpassuffisantespourcaract´erisercompl`etementlefluide.Sitoutesdeuxfont intervenirle champ devitesse,lapremi`erefaitintervenirle champ depressionetla secondele champ dedensit´e.Pourobtenirunecaract´erisationcompl`etedusyst`emeil fautintroduireune´equationd"´etatliantlapressionetlamassevolumiquedu fluide.

5.2.1Thermodynamiquedufluide

Nousdevonsutiliserdesrelationsthermodynamiquespour relierlasurpression, les variationsdedensit´eetdetemp´erature,etcaract´eriserainsicompl`etementlesyst`eme.

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NotesdecoursLP201(ondesm´ecaniquesetlumineuses)2010/2011 -DanIsra¨el Onconsid`erecommesyst`emeun´el´ementinfinit´esimaldefluide(descriptionla- grangienne).Commetoutsyst`emethermodynamique,ilestcaract´eris´eparson´energie interneU.Savariationinfinit´esimaleestli´ee`alaquantit´ede chaleur re¸cueetautravail exerc´eparlesforcesdepressionappliqu´eesau fluide: dU=δQ-PdV(5.2.1) Sidepluslatransformationestr´eversiblelavariationinfinit´esimaledesonentropie est`alachaleur re¸cueparlesyst`emeselon dS=δQ

T.(5.2.2)

Cettehypoth`eseestraisonnablepourlesondessonoresquin"impliquentpasde chan- gementextrˆemementbrutauxdanslefluide.Nouspouvonsfaireaussil"hypoth`eseque lafaibleperturbationinduiteparl"ondesonoren"induitpasdetransfertde chaleur danslefluide, c.-`a.-d.quelatransformationthermodynamiqueassoci´eeestadiaba- tique.Commeelleestenplusreversible,nousavonsunetransformation`aentropie constante,ouisentropique.Eneffet

δQ=0?dS=0(5.2.3)

danscecas.Pourunetelletranformation nousavonsalorsdU+PdV=0.

5.2.2Compressibilit´e

Ilnousrestemaintenant`aintroduireunerelationentrelesvariablesd"´etatdu syst`eme,ouend"autrestermesune´equationd"´etat.Nouschoisissonscommevariable d"´etatdusyst`emelapressionP, levolumeVetl"entropieS.Nouspouvonsalors exprimerparexemplelevolumeenfonction delapressionetdel"entropie:

V=V(P,S)=?dV=∂V

∂P? ?SdP+∂V ∂S? ?PdS(5.2.4) Lorsd"unetransformationisentropique,telquenousl"avonssuppos´e,nousavons dS=0,cequi impliquequelavariationinfinit´esimaledevolumeestsimplement dV=∂V ∂P? ?SdP(5.2.5) Nouspouvonsalorsintroduirelecoefficientdecompressibilit´eisentropique2,ouen d"autrestermeslavariation duvolumedu fluideenr´eponse`aunevariation depression, par s=-1

V∂V∂P?

?s(5.2.6) Onsupposequececoefficientestuneconstante,cequiestraisonnablepourlespetites perturbationsdu fluidesconsid´er´eesici.

2.Pourunetransformation`atemp´eraturefix´ee,onpeutaussid´efinirunecompressibilit´eiso-

therme.

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NotesdecoursLP201(ondesm´ecaniquesetlumineuses)2010/2011 -DanIsra¨el Pourlepetit´el´ementdefluidelavariation depressioncorrespond`alasurpression p(x,t).Levolumeinitialdefluideestdonn´eparδV0=sdx.Enpr´esenced"unchamp ded´eplacementψ(x,t)levolumedevient

δV(x,t)=s?x+dx

2+ψ(x+dx2,t)-?x-dx2+ψ(x-dx2,t)??

?δV0?

1+∂ψ(x,t)

∂x? (5.2.7) Lavariationrelativedevolumeestdoncdonn´eeau premierordrepar

δV(x,t)-δV0

δV0=∂ψ(x,t)∂x(5.2.8)

Onobtientdoncd"apr`eslad´efinition delacompressibilit´eisentropiqueque,pour lespetitesperturbations,laquantit´esuivanteestconstante s=-1 p(x,t)∂ψ(x,t)∂x(5.2.9) Celaimpliqueenparticulier,end´erivantunefoispar rapportautemps,que ∂p(x,t) ∂t=-1χs∂v(x,t)∂x(5.2.10)

5.2.3´Equationd"onde

Nousavonsapprisdanslespagespr´ec´edentesqu"uneondesonoredefaibleampli- tude`aunedimension,dansun fluideaurepos,estcaract´eris´eeparlestrois´equations fondamentales(pfd,conservation delamasse,compressibilit´e): ∂v ∂t=-1ρ0∂p∂x(5.2.11a) ∂t=-ρ0∂v∂x(5.2.11b) ∂p ∂t=-1χs∂v∂x(5.2.11c) D´erivonsunefoispar rapportautempsl"´equation(5.2.11c).Aupremierordredans le champ devitessenousobtenonslarelation

2p(x,t)

∂t2=-1χs∂∂x? ∂v(x,t)∂t? (5.2.12) Enutilisantl"´equation dumouvement (5.2.11a),onobtientalors

2p(x,t)

∂t2=-1χs∂∂x? -1ρ0∂p(x,t)∂x? (5.2.13)

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Soitfinalement

ρ0χs∂2p(x,t)∂t2-∂2p(x,t)∂x2=0(5.2.14) Cette´equationestidentique`al"´equation d"onde(ou ded"Alembert)`aunedimension, pourlasurpression.Lac´el´erit´edesondessonores,ouvitesseduson,estalorsidentifi´ee comme c=1⎷ρ0χs(5.2.15) Nouspouvonsdoncr´e´ecrirel"´equation pr´ec´edentecomme: 1 c2∂

2p(x,t)∂t2-∂2p(x,t)∂x2=0(5.2.16)

Remarquonsquelaperturbationcorrespondant`auneondesonoreestli´eeau d´epla- cement?ψ(?x,t)des´el´ementsdefluide.Ced´eplacementestparall`ele`aladirection de propagation del"onde.Ils"agitdoncd"unexempled"ondelongitudinale. Contrairementauxondes sepropageantsurunecorde,lesondessonoressontde naturetridimensionnelle.Enconsid´erantdesperturbationsquid´ependentdestrois coordonn´eesspatiales,onobtientnaturellementl"´equation ded"Alembert`atroisdi- mensions:1 c2∂

2p(?x,t)∂t2-Δp(?x,t)=0(5.2.17)

Laformedelasolutiong´en´eraled´epend dessym´etriesdu probl`eme,li´ees`alaforme delasource´emettricedel"onde. Consid´eronsmaintenantlad´eriv´eepar rapportautempsdel"´equation(5.2.11a) etutilisonsensuite(5.2.11b):

2tv=-1

ρ0∂

x(∂tp)=-1ρ0∂ x? -1χs∂ xv? =c2∂2xv(5.2.18) Ainsinousobservonsquev(x,t)satisfait´egalementl"´equation d"onde: 1 c2∂

2v(x,t)∂t2-∂v(x,t)∂x=0(5.2.19)

Remarquonscependantquecelan"estpasvalablepourlesondes`atroisdimensions commelesondessph´eriques. Uneautrecons´equenceimportantedes´equations(5.2.11)estlarelationsuivante: xv=-χs∂tp=-1

ρ0∂

tδρ=?∂tδρ=ρ0χs∂tp(5.2.20) Onobtientdonclarelationp(x,t)=c2δρ(x,t)+α(x).Enimposantquel"ondes"annule pourt→±∞(c.-`a.-d.qu"ellen"existequedurantunintervallefinidetemps),ona

α(x)=0.Larelationobtenue

p(x,t)=c2δρ(x,t)(5.2.21) estunemani`ereded´efinirlavitesseduson.

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5.2.4Gazparfait

Consid´eronsmaintenantlecasparticulierd"ungazparfait.Ilsatisfaitl"´equation d"´etatbienconnue:

PV=NkbT(5.2.22)

enfonction delaconstantedeBoltzmannkb,etpourNparticules.Deplus,on peut montrerquelorsd"unetransformation`aentropieconstante,legazparfaitv´erifiela loideLaplace:

PVγ=constante(5.2.23)

Nouspouvonsais´ementcalculerlecoefficientdecompressibilit´eisentropique.Nous avons s=-1

V∂V∂P=1γP(5.2.24)

Pouruneondesonore,lasurpresssionpestfaibledevantlapressionaureposP0.Nous avonsdonc s?1

γP0=1γVNkBT(5.2.25)

Lac´el´erit´edesondessonoresestalorsdonn´eepar: c=1 ⎷ρ0χs=?γkBTNρ0V(5.2.26) Cetteexpressionfaitapparaˆıtrelamasseaureposρ0Vdel"´el´ementdefluide.En introduisantlamasssemolaireMdesparticulesconstituantlefluide,ainsiquela constantedesgazparfaits

R=NAkB(5.2.27)

nousavonsfinalement c=?γRT

M(5.2.28)

Nousvoyonsquepluslatemp´eratureestbasse,pluslac´el´erit´edusonestfaible.C"est pourcelaqu"ilestplusfacilepourlesavion depasserlesmursduson`ahautealtitude! Donnonsunordredegrandeurdecettequantit´e.L"airestconstitu´ed"unm´elange deplusieursgazdiff´erentsmaispeutˆetremod´elis´ecommeungazparfaitavecγ=1,4 etdemassemolaireM=28,95g·mol-1.`Alatemp´eraturedeT=293Kelvins,on trouveune c´el´erit´edec=343m·s-1.

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NotesdecoursLP201(ondesm´ecaniquesetlumineuses)2010/2011 -DanIsra¨el LoideLaplacepourungazparfaitLorsd"unetransformationisentropique,nous avons dU=-PdV=CvdT(5.2.29) Onconsid`ereaussiun deuxi`emepotentielthermodynamique,l"enthalpieH,appropri´e pourd´ecrirelestransformations`apressionconstante(plutˆotqu"`avolumeconstant)d´efini parH=U+PV.Ilv´erifiedonc dH=TdS+VdP(5.2.30) Pourunetransformationisentropiquenousavonssimplement: dH=VdP=CpdT.(5.2.31) Nousavonsintroduitlescapacit´esthermiques`avolumeconstantet`apressionconstante d´efiniespar C v=T∂S/∂T|VetCp=T∂S/∂T|P(5.2.32)

Enintroduisantlecoefficient

γ=Cp

Cv,(5.2.33)

quiestconstantpourungazparfait,on d´eduitdecesrelationsl"´equationsuivante

γ=-dP/P

dV/V(5.2.34) Cequi impliqueCv(γ-1)dT=d(PV)=NkBT.Doncnoustrouvonslarelation C v(γ-1)=NkB(5.2.35) On peutmontrerquepourungazparfaitmonoatomiquenousavonsCv=3

2NkB,alors

quepourungazdiatomique,Cv=5

2NkB.Danslesdeuxcas,lecoefficientest´egal`ala

moiti´edu nombrededegr´esdelibert´edesconstituantsdugaz.Ils"ensuitqueγestune constante,doncenint´egrant (5.2.34)ontrouvequ"unetransformationisentropiqued"un gazparfaitesttelleque

PVγ=constante(5.2.36)

lelongdelatransformation.

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5.3Tuyauxsonores

Nousabordonsmaintenantleprobl`emedesconditionsauxlimitespourlesondes acoustiques.Nousavonsd´ej`afaitcette´etudepourlacordevibrante,maisdansle pr´esentcontexteon peuts"autoriserdesconditionsauxlimitesdiff´erentes.Danstoute lasuite,onconsid`ereraun´ecoulement`aunedimension,dansuntuyausonorede section d"aires,voirfig.5.2. Sionconsid`erequeletuyauestorient´eselonl"axeOx,etquelapropagation s"effectueselonlemˆemeaxe,lasurpressionp(x,t)satisfaitl"´equation d"onde(2.1.1)`a unedimension.L"ondeest´egalementcaract´eris´eeparle champ ded´eplacementψ(x,t) etle champ devitessev(x,t).Toutescesquantit´esned´ependentpasdescoordonn´ees yetztransverses`al"onde.Le champ devitessesatisfaitalors´egalementl"´equation d"onde 1quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

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