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Lyc´ee La Martini`ereMPSI2013

Optique g´eom´etrique

Chapitre 1 - Bases de l"optique g´eom´etrique

I Introduction `a l"optique g´eom´etrique

1 La lumi`ere est un ph´enom`ene ondulatoire

1.1 Caract´eristiques de l"onde lumineuse

La lumi`ere est uneonde ´electromagn´etiquecaract´eris´ee par les amplitudes coupl´ees du champ

´electrique et du champ magn´etique.

Cette onde se propage dans le vide avec une vitesse ´egale `a lac´el´erit´e de la lumi`ere dans le vide:

c?3.108m.s-1 L"onde peut aussi se propager dans un milieu mat´eriel, avecune vitessev?c. L"onde lumineuse peut ˆetre caract´eris´ee : - par sa vitessevdans le milieu, - par sa longueur d"onde dans le videλ0, - par sa fr´equenceν.

D´efinition : lumi`ere

direction de propagationE B Unchamp ´electriqueest par exemple cr´e´e par un condensateur. Il est not´e?E, l"unit´e associ´ee est le Volt par m`etre. La foudre met en jeu des champs ´electriques de l"ordre de 300 kV.m -1. Unchamp magn´etiqueest cr´e´e par exemple par un aimant, ou par une bobine parcourue par un courant ´electrique (sol´eno¨ıde). Il est not´e?Bet l"unit´e associ´ee est le Tesla. Un aimant cr´e´e un champ magn´etique de l"ordre de10-3T. Des bobines supraconductrices peut g´en´erer un champ de l"ordre de1 T.

Pour une onde ´electromagn´etique, la longueur d"onde dansle videλ0et la fr´equenceνde l"onde sont li´ees

par :

0ν=c

Selon la fr´equenceνde l"onde ´electromagn´etique, on parle plutˆot d"onde lumineuse, ou d"onde radio, de

rayons X, etc...

λen mνen Hzλen mνen Hz

rayonsγ10-14- 10-121022- 1020infrarouge8.10-7- 10-34.1014- 1011 rayons X10-12- 10-91020- 1017communication satellite10-2- 10-11010- 109 ultraviolet10-9- 4.10-71017- 1015ondes radar10-1- 1109- 108 visible4.10-7- 8.10-78.1014-4.1014ondes radio10-1- 104109- 104

Exercice 1 : Lumi`ere visible

L"oeil est sensible aux longueurs d"onde entre 0,4μm (violet) et 0,8μm (rouge), c"est la lumi`ere

visible.

1. Le maximum de sensibilit´e de l"oeil humain est dans le jaune : pourquoi?

2. Calculer les fr´equences correspondant aux extr´emit´es duspectre visible.

3. Qu"appelle-t-on?lumi`ere infrarouge?et?lumi`ere ultraviolette??

2/41Optique g´eom´etrique

Chaque couleur correspond `a une longueur d"onde approximative : violet bleu vert jaune orange rouge

λenμm0,4 0,47 0,52 0,58 0,6 0,65

λen nm400 470 520 580 600 650

λen°A4000 4700 5200 5800 6000 6500

1.2 La lumi`ere transporte de l"´energie

L"´energie lumineuse permet la photosynth`ese des plantes, la formation des nuages et des vents, le bronzage

de la peau, selon des processus plus ou moins complexes.

L"´energie transport´ee par la lumi`ere ne varie pas continuement, mais de fa¸condiscr`ete(par saut). La plus

faible quantit´e d"´energie possible est unquantum d"´energie, appel´e photon. L"´energieEd"un photon ne d´epend que la fr´equenceνde l"onde :

E=hν

o`uhest la constante de Planck :h?6,62.10-34J.s

Relation ´energie - fr´equence

2 Propagation dans des milieux transparents

Soitvla vitesse de la lumi`ere dans un milieu mat´eriel transparent :v?c.

L"indicendu milieu est d´efini par :

n=c/v donc :n?1 Le milieu est d"autant plusr´efringentquenest grand.

D´efinition : indice d"un milieu mat´eriel

Quelques valeurs num´eriques :

vide n=1 par d´efinition air n=1,0003 valeur approch´ee :n?1 eau n=1,33n?4/3 verre n=1,5 verre ordinaire diamant n=2,4

Le chemin optique?parcouru par la lumi`ere est :

?=nd o`udest la longueur g´eom´etrique du trajet lumineuxC.

D´efinition : chemin optique

3 Sources lumineuses

3.1 Lampe `a incandescence

Dans l"ampoule d"une lampe ordinaire, un filament de tungst`ene est port´e `a haute temp´erature (2 800 K en-

viron), dans une atmosph`ere inerte, sans oxyg`ene. Il n"y apas combustion, ni fusion du m´etal (sa temp´erature

de fusion ´etant sup´erieure `a 2800 K).

Le filament ´emet alors de la lumi`ere, dont le spectre est donn´e sur la figure jointe : il s"agit d"unrayon-

nement thermique. Le spectre estcontinu, il recouvre le domaine du visible : la lumi`ere est blanche.Le

spectre s"´etend au-del`a du visible, dans l"infrarouge notamment.

L"allure du spectre ´emis par rayonnement thermique d´epend de latemp´eraturedu filament. Ainsi, pour

le Soleil, la lumi`ere ´emise contient des UV et de l"infra rouge, et le maximum d"intensit´e lumineuse correspond

`a une couleur jaune. Pour une lampe `a filament classique, il n"y a pas d"UV, mais beaucoup d"infrarouges.

Optique g´eom´etrique3/41

3.2 lampes spectrales

Une ampoule contient un gaz atomique (Sodium, Mercure, Hydrog`ene,...) Le gaz est alors soumis `a des d´echarges ´electriques entredeux ´electrodes.

Les atomes sont excit´es ; certains atteignent des´etats d"´energie ´elev´es, puis reviennent `a un niveau d"´energie

plus faible - voire le fondamental - en ´emettant un photon : il y a donc ´emission de lumi`ere.

La fr´equence des photons ´emis d´epend donc des niveaux d"´energie atomiques, les valeurs de ces ´energies

´etant fix´ees par les lois de la m´ecanique quantique.

Le spectre de la lumi`ere ainsi produite est unspectre de raies, ou spectre discret; les raies sont caract´eristiques

Application :

En d´eterminant les fr´equences desraies d"absorptiond"un nuage de poussi`eres interstellaire ´eclair´e par

une ´etoile, on peut d´eterminer certains des ´el´ements qui le composent.

3.3 laser

Laser (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation) : source de rayonnement monochroma-

tique (une seule fr´equence). Un faisceau laser pr´esente,de plus, une faible section et une faible divergence.

Principe de fonctionnement : une onde lumineuse effectue des aller-retours dans une cavit´e, dans laquelle

elle traverse un milieu amplificateur, qui permet d"obtenirdes photons de plus en plus nombreux. Ces

photons sont tous en phase, et de mˆeme fr´equence, et ils constituent `a leur sortie un faisceau de lumi`ere

laser. Le spectre d"un laser monomode comporte une seule fr´equence.

Exercice 2 : Modes propres d"un laser

La cavit´e d"un laser est analogue `a une corde de Melde : les fr´equences laser sont fonction de la longueur

Lde la cavit´e et de la c´el´erit´e de l"onde, icic= 3.108m.s-1.

1. Donner la relation liantL,cet la fr´equence laserν, pour un mode r´esonnant d"indicen.

3.4 Sources secondaires

réflexion

diffusionTout objet ´eclair´e (par une source primaire, par exemplepar une lampe), est une source secondaire de lumi`ere : ilrenvoie de la lumi`ere par r´eflexion, diffusion, ...

L"avion furtif am´ericain F-117A

?Night Hawk?est couvert de facettes r´efl´echissant les ondes radar dans des directions diff´erentes de celle du radar ´emetteur, qui ne peut donc pasle d´etecter. L"avion est ´egalement recouvert d"un revˆetement qui absorbe les ondes radar. Les F-117A volent d`es 1977, mais restent secrets pendant plus de

11 ans.

Ils participent au bombardement Bagdad en 1991 (suite `a l"inva- sion du Kowe¨ıt par l"Irak).

3.5 Source `a l"infini

D"une source plac´ee `a l"infini, on re¸coit des rayons lumineux tous parall`eles entre eux. Exemple : le Soleil

(attention aux effets de perspective!)

4/41Optique g´eom´etrique

3.6 Exemples de sources lumineuses

ponctuelponctuel´etendu´etendu `a distance finie`a l"infini`a distance finie`a l"infini exemple deun pixel d"´ecran TVune ´etoiletube phosphorescentle Soleil sources primaires exemple deune tˆete d"´epingleune plan`eteune bicyclettela Lune sources secondaires

4 Diffraction

4.1 Premi`ere exp´erience, dans le but d"isoler un rayon lumineux

S source

écrandiaphragme

S source

écrandiaphragme

Soit le dispositif exp´eriental suivant : une source lumineuse ponctuelleS´eclaire un diaphragme, derri`ere lequel on place un ´ecran. •Si le diaphragme a un diam`etre sup´erieur `a 1 cm : Une partie des rayons lumineux issus deSsont arrˆet´es par le diaphragmeD. On obtient une tache lumineuse sur l"´ecran, dont le contourcorrespond aux rayons rectilignes issus deSet passant sur le bord du diaphragmeD. (figure ci-contre). Chaque pointM´eclair´e de l"´ecran est reli´e `a la sourceSpar une droite (SM) qui traverse le diaphragme, correspondant au trajet du rayon lumineux. •Si la taille du diaphragme est diminu´ee afin d"isoler un rayon lu- mineux : il se produit un ph´enom`ene de diffraction : le faisceau s"ouvre en traversant le diaphragme. La tache observ´ee sur l"´ecran est plus grande que celle pr´edite dans le cadre de l"approximation de l"optique g´eom´etrique.

Ce ph´enom`ene de diffraction est observ´e lorsque la dimension du diaphragme est de l"ordre de la longueur

d"ondeλde la lumi`ere. Typiquement,λ?600 nm = 0,6μm (jaune) est comparable `a la taille d"un cheveu : 1μm. En pratique, il est impossible d"isoler un rayon lumineux arbitrairement fin.

4.2 Deuxi`eme exp´erience : diffraction `a l"infini

Une source lumineuse `a l"infini produit des rayons lumineuxtous parall`eles entre eux. Exp´erimentalement,

on ´eclaire le diaphragme `a l"aide d"un laser.

Un ´ecran est plac´e `a grande distance.

Observation :sur l"´ecran, on observe des taches circulaires concentriques, appel´eestaches d"Airy.

La tache centrale est vue depuis le diaphragme sous un angleθavec : sinθ= 1,22λ d o`udest le diam`etre du diaphragme.

Explication.

L"onde lumineuse est une onde progressive sinuso¨ıdale. Lediaphragme limite son extension dans l"espace,

ce qui modifie les propri´et´es de l"onde; c"est comme si chaque point du diaphragme r´e´emettait l"onde dans

toutes les directions.

La diffraction de la lumi`ere est observ´ee lorsque la lumi`ere traverse des dispositifs dont la dimen-

sion est de l"ordre de la longueur d"ondeλde la lumi`ere.

Si il s"agit pas exemple d"un diaphragme, la figure de diffraction observ´ee d´epend de la forme du

diaphragme; si celui-ci est un disque, on obtient des tachesd"Airy.

La majeure partie de l"´energie diffract´ee l"est dans un cˆone de demi-angle au sommetθ, dont

l"ordre de grandeur est : sinθ?λ d

Figure de diffraction

Optique g´eom´etrique5/41

Exercice 3 : Dimension d"une tache de diffractionUn laser rouge de longueur d"ondeλ= 630 nm ´eclaire uniform´ement un trou circulaire de diam`etre

d= 100μm. Un ´ecran est plac´e `a 5 m`etres du trou.

1. Justifier qu"il y a diffraction; quel est le nom de la figure de diffraction observ´ee dans ce cas?

2. D´eterminer le diam`etre de la tache circulaire principale observ´ee sur l"´ecran.

4.3 G´en´eralisation de la notion de diffraction

Tout ph´enom`ene ondulatoire peut donner lieu `a de la diffraction : onde radar, onde m´ecanique, onde

acoustique, houle sur la mer...

5 Approximation de l"optique g´eom´etrique

5.1 Notion de rayon lumineux

exercice

Dans le cadre de l"approximation de l"optique g´eom´etrique, un faisceau lumineux est form´e d"une infinit

derayons lumineux(droites). L"´etude de la marche de ces rayons lumineux est le but de l"optique g´eom´etrique.

Pour cela, il faut que les objets dispos´es sur le banc d"optique aient des dimensions tr`es grandes devan

la longueur d"ondeλde la lumi`ere : sinon il y adiffraction.

Un laser fournit pratiquement un rayon lumineux. N´eanmoins, le pinceau de lumi`ere a une dimension

transversale finie.

5.2 Principe d"ind´ependance des rayons lumineux

Dans le cadre de l"optique g´eom´etrique, les rayons lumineux sont ind´ependants les uns des autres.

5.3 Propagation rectiligne de la lumi`ere

Un milieu est dit homog`ene si toutes ses propri´et´es physiques sont les mˆemes en chaque point.

D´efinition : milieu homog`ene

Un milieu est dit isotrope si ses propri´et´es physiques sont les mˆemes dans chaque direction.

D´efinition : milieu isotrope

Dans un milieu homog`ene et isotrope, la lumi`ere se propageen ligne droite;les rayons lumineux sont des droites.

Ce spath d"islande pos´e sur le cours d"op-

tique de Bruhat est un cristal homog`ene et anisotrope.

5.4 Principe du retour inverse de la lumi`ere

6/41Optique g´eom´etrique

Le trajet de la lumi`ere est ind´ependant du sens de parcours. Si un rayon part d"un pointApour aller vers un pointA?en suivant un certain trajet, alors un autre rayon lumineux peut partir deA?et suivre le mˆeme trajet pour aller enA.

Principe du retour inverse de la lumi`ere

6 R´eflexion et r´efraction

6.1 Lois de Descartes

Un dioptre est une surface s´eparant deux milieux transparents homog`enes et isotropes, d"indices diff´erents.

Si la surface de s´eparation est plane, on a undioptre plan; si c"est une portion de sph`ere, on a

undioptre sph´erique.

D´efinition : dioptre

i1i'1 i

2rayonrayon

incidentrayon n 1 n 2n refléchi réfracté Soit un rayon incident, et soitIle point d"incidence sur le dioptre. SoitPle plan tangent enIau dioptre, et?nla normale enI`a ce plan (voir figure). On d´esigne par les indices 1 et 2 les milieux de part et d"autre du dioptre (figure ci-contre). Notonsi1l"angle form´e entre le rayon incident et la normale?n; il est appel´e angle d"incidence. Le rayon r´efl´echi forme un anglei?1avec la normale, appel´eangle de r´eflexion. Le rayon r´efract´e forme un anglei2avec la normale, appel´eangle de r´efraction. Leplan d"incidenceest d´efini par le rayon incident, le pointIet la normale ?n. - le rayon incident, le rayon refl´echi et le rayon r´efract´esont dans leplan d"incidence. - les angles d"incidencei1, de r´eflexioni?1et de r´efractioni2v´erifient : i

1=i?1loi de la r´eflexion

n

1sini1=n2sini2loi de la r´efraction

Lois de Descartes

On observe simultan´ement sur la photo ci-contre une r´efraction `a travers la vitre (image du paysage) et une r´eflexion partielle sur la vitre (image du b´eb´e). Une personne situ´ee `a l"ext´erieur du train pourrait voirle b´eb´e : `a l"angle d"incidence consid´er´e ici, environ 25% de l"´energie est r´efl´echie et 75% est transmise. Sous incidence normale, sur du verre, 4% de l"´energie est r´efl´echie, et 96% transmise.

6.2 Cons´equences des lois de Descartes

Lorsque la lumi`ere passe d"un milieu `a un milieuplus r´efringent, le rayon r´efract´ese rapprochede la

normale.

Lorsque la lumi`ere passe d"un milieu `a un milieumoins r´efringent, le rayon r´efract´es"´eloignede la

normale.

Optique g´eom´etrique7/41

2>n1nn

1

Figure2 - R´efraction dans un milieu plus r´efringent : les rayons ´emergent dans un cˆone de demi-angle au

sommet Λ.

En effet, la loi de la r´efraction

n

1sini1=n2sini2

implique : sin2> n1alorsi2< i1 sin2< n1alorsi2> i1 i1 n 1

2n 1 i 2n 1

2n >n1i2

6.3 R´eflexion totale sur un milieu moins r´efringent

1n 1 nn2< iΛ

Figure1 - R´eflexion totale

sur un milieu moins r´efringent lorsquei >Λ.Lorsque la lumi`ere passe d"un milieu d"indicen1`a un milieumoins r´efringentd"indicen2< n1, il existe une valeur de l"angle d"incidencequotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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