[PDF] E221XS3 Statistique pour les SHS en licence 1





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TD 3 La dispersion autour des valeurs centrales

une distribution statistique. ? Raison : La valeur centrale ne nous renseigne pas sur la dispersion des valeurs autour de cette valeur centrale 



E221XS3 Statistique pour les SHS en licence 1

dispersion : c'est une valeur qui renseigne sur l'éloignement des La valeur a = 2 est plus proche des données que a = 1 et a = 3 pour la dispersion ...



Exercices Corrigés Statistique et Probabilités

Les valeurs de la dispersion de la distribution : variance l'écart type et Compléter le tableau statistique (valeurs centrales



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21-Jun-2011 Pacifique Est. La dispersion moyenne des vitesses de phase du mode ... _1)TD$FIG] ... autour de la ré gion des failles transformantes ...



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Statistiques descriptives et exercices

2.7 La dispersion d'une série statistique autour de sa moyenne . 3.1 Une représentation de la distribution des valeurs à l'intérieur d'une classe.



Chapitre 4: Mesures de dispersion et mesure de forme

tendance centrale. Elles indiquent autour de quelle valeur se situent les données mais ne donnent pas une description suffisante de la variable statistique 



III PARAMÈTRES DE DISPERSION D'UNE VARIABLE STATISTIQUE

III PARAMÈTRES DE DISPERSION D'UNE VARIABLE STATISTIQUE MOTIVATION: Les paramètres de position tels que le mode la médiane moyennes sont intéressants comme indicateurs de tendance centrale cependant ils ne disent rien sur la façon dont l’ensemble des valeurs de la distribution se répartissent autour de cet indicateur central



S13 La dispersion statistique

On appelle dispersion statistique la tendance qu'ont les valeurs de la distribution d'un caractère à s'étaler à se disperser de part et d'autre d'une valeur centrale On distingue la dispersion absolue(mesurée dans l'unité de mesure du caractère) et la dispersion relative(mesurée par un nombre sans dimension)



MESURES DE TENDANCE CENTRALE ET DE DISPERSION - L2S UMR 8506

MESURES DE TENDANCE CENTRALE ET DE DISPERSION On considère sur un échantillon de N individus la variable statistique X = (X 1;X 2;:::;X N) 1 INDICATEURS DE TENDANCE CENTRALE Les mesures de tendance centrale permettent de résumer un ensemble de don-nées relatives à une variable quantitative Elles permettent de déterminer une va-



1 - Mesure de la disparité - eloge-des-sescom

Le but des valeurs centrales est de résumer en une seule valeur l'ensemble des valeurs d'une distribution statistique La moyenne la médiane et le mode sont des valeurs centrales 1 - Mesure de la disparité La mesure de la disparité a pour objectif de mesurer l’écart entre les valeurs centrales (ici on a utilisé la moyenne) qui



Moyenne - Écart-type

La variance permet de mesurer la dispersion des valeurs du caractère autour de la moyenne On obtient une valeur exprimée dans l’unité de mesure de la série statistique au carré (par exemple si la variable est exprimée en cm la variance obtenue est en cm)



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de l' "emplacement" du centre et une mesure de la dispersion des observations autour de ce centre Dans ce chapitre nous examinerons la première des deux caractéristiques d'une v s quantitative soit les mesures de tendance centrale On peut distinguer trois types de mesure relative au centre de la distribution qui sont utilisés les plus

Qu'est-ce que la dispersion statistique?

    On appelle dispersion statistique, la tendance qu'ont les valeurs de la distribution d'un caractère à s'étaler, à se disperser, de part et d'autre d'une valeur centrale. On distingue la dispersion absolue(mesurée dans l'unité de mesure du caractère), et la dispersion relative(mesurée par un nombre sans dimension).

Quels sont les différents types de mesures de dispertions ?

    On peut dé?nir deux types de mesure de dispertions : –Les mesures dé?nies par la distance entre deux valeurs représentatives de la distribution. –Les mesures calculées en fonction de la déviation par rapport à une valeur centrale.

Comment calculer la dispersion absolue?

    Elle exprime la dispersion dans une unité de l’ordre du carré de l’unité de mesure du caractère. • Pour obtenir un paramètre de dispersion absolue, on calcule la racine carrée de la variance •L'écart type, noté?xest la racine carré de la moyenne des carrés des écarts à la moyenne,

Comment calculer la tendance centrale ?

    MESURES DE TENDANCE CENTRALE ET DE DISPERSION. On considère sur un échantillon de N individus la variable statistique X = (X. 1;X. 2;:::;X. N). 1. INDICATEURS DE TENDANCE CENTRALE. Les mesures de tendance centrale permettent de résumer un ensemble de don- nées relatives à une variable quantitative.

E221XS3

Statistique pour les SHS en licence 1

C. Joutard, L. Piccinini, E.O Lochard & C. Trottier

Université Paul Valéry - Montpellier 3

Année universitaire 2011-2012

(UPV)E221XS32011/2012 1 / 54

Organisation

12h00 CM - 2h00 TD par semaine sur 10 semaines

TD: site http://www.univ-montp3.fr/miap/ens/

lien "Inscriptions aux TD de statistique" - affichage des groupes - inscription tardive - changement de groupe2ÉvaluationContrôle terminal en semaine 11, 12 ou 13

3Informations et documents (à imprimer) sur lesite

http://www.univ-montp3.fr/miap/ens/ lien "StatL1S2" (UPV)E221XS32011/2012 2 / 54 Chapitre 4 : Définitions et premiers indices simples On se concentre, dans cette 2e partie du cours, sur lesvariables quantitatives. Les valeurs observées d"une variable se positionnent donc sur uneéchellede valeur. Tous les indices présentés visent àrésumerladistributionde la variable, i.e. larépartitiondesvaleurs observées.(UPV)E221XS32011/2012 3 / 54

I - Définitions

À la vue des observations d"une variable quantitative, on peut s"intéresser à résumer l"information de la distribution par des indices de : localisation: c"est une valeur qui reflète un endroit sp écifiquede l"échelle où se situent les valeurs observées. !une position sur l"échelle dispersion: c"est une valeur qui renseigne sur l"éloignement des valeurs observées les unes par rapport aux autres. !un "écartement" sur l"échelle Attention: ces 2 types d"indices renseignent sur des notions très différentes. (UPV)E221XS32011/2012 4 / 54

II - Des indices simples

2 indices naturels delocalisation:

le minimum (min): la valeur minimale observée. !à partir d"où se situent les valeurs sur l"échelle le maximum (max): la valeur maximale observée. !jusqu"où se situent les valeurs sur l"échelle

1 indice naturel dedispersion(qui en découle) :

l"étendue (et): la valeur et = max - min. !éloignement entre la valeurminet la valeurmax(UPV)E221XS32011/2012 5 / 54

III - Le mode d"une distribution

Cas d"une variable quantitative discrète:

le modeest la valeur observable la plus fréquemment observée. !valeur la plus répétée dans l"échantillon, i.e. associée à l"effectif (ou la fréquence) le (la) plus élevé(e) dans le tableau de la distribution !valeur du bâton le plus haut dans la représentation graphique de la distribution et "marche" la plus haute dans la représentation graphique de la distribution cumulée.

Cas d"une variable quantitative continue:

On parle d"abord declasse modale: la classe la plus représentée. Attention: les classes ne sont pas toutes de même amplitude, pour les rendre comparable, on compare les densités. !classe dedensité maximale(UPV)E221XS32011/2012 6 / 54 !classe du rectangle le plus haut dans l"histogramme, i.e. de morceau de droite de pente maximale dans le graphe de la fonction de répartition. On définit alorsle modecomme le centre de laclasse modale. Lemodeest un indice delo calisation(UPV)E221XS32011/2012 7 / 54

A SAVOIR

1localisation: c"est une position des valeurs sur l"échelle.

minimum: la valeur observée minimale maximum: la valeur observée maximale mode: le mode est une valeur observable qui concentre la plus grande quantité d"observations2dispersion: c"est un éloignement des valeurs les unes par rapport aux autres sur l"échelle. étendue: l"écart entre le minimum et le maximum.(UPV)E221XS32011/2012 8 / 54

Chapitre 5 : Indices basés sur les rangs

On commence ici parrangerles individus parordre croissantdes valeurs de la variable. !le min est la première valeur dans ce classement !le max est la dernière valeur dans ce classement La série des valeurs est ditetriéeetordonnée. On peut alors proposer commeindice de localisationune valeur qui séparel"échantillon avec une certaineproportiond"individus ayant des valeurs plus petitesque cette valeur là, et les autres individus ayant des valeurs plus grandes.(UPV)E221XS32011/2012 9 / 54

I - La médiane

Intuition:La médiane ("Med")est une valeurobservable qui pa rtageen

deuxeffectifs égaux l"échantillon rangé par ordre croissant de la variable.ExemplesDéfinitionCaractérisationExercices

(UPV)E221XS32011/2012 10 / 54

Exemples:

Quelle est la médiane des séries statistiques suivantes?

3, 5, 6, 8, 10, 12, 14

4, 18, 12, 9, 7, 22, 10, 3, 6, 17, 14

1, 3, 2, 2, 3, 1, 4, 0, 2, 1, 3, 0, 2, 0, 1, 1, 3, 1, 3, 2, 2, 5, 1, 3, 5

1, 1, 2, 1, 2, 3, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 0, 3, 3, 0, 2

5, 9, 19, 21, 24, 18, 43, 25, 26, 19(UPV)E221XS32011/2012 11 / 54

Définition de la médiane:1Lorsque le nombre d"observations estimpair, n = 2 k + 1, alorsMed

est la(k+1)eobservation de la série ordonnée.2Lorsque le nombre d"observations estpair, n = 2 k, alors toutes les

valeurs observables situées entre lakeet la(k+1)evaleur sont candidates. Par convention, on choisira pourMedla valeur centrale (le milieu) entre lakeet la(k+1)esi elle est observable, sinon la valeur observable immédiatement inférieure. (UPV)E221XS32011/2012 12 / 54 Définition de la médiane:1Lorsque le nombre d"observations estimpair, n = 2 k + 1, alorsMed

est la(k+1)eobservation de la série ordonnée.2Lorsque le nombre d"observations estpair, n = 2 k, alors toutes les

valeurs observables situées entre lakeet la(k+1)evaleur sont candidates. Par convention, on choisira pourMedla valeur centrale (le milieu) entre lakeet la(k+1)esi elle est observable, sinon la valeur observable immédiatement inférieure. (UPV)E221XS32011/2012 12 / 54

Caractérisation de la médiane:

La médiane (Med) doit vérifier simultanément les 2 propriétésP1etP2 suivantes :1au moins 1 individu sur 2 dans l"échantillon a une valeurinférieure ou

égaleà Med :

P

1:freq(observationsMed)12

2au moins 1 individu sur 2 dans l"échantillon a une valeursupérieure

ou égaleà Med : P

2:freq(observationsMed)12

(UPV)E221XS32011/2012 13 / 54

Caractérisation de la médiane:

La médiane (Med) doit vérifier simultanément les 2 propriétésP1etP2 suivantes :1au moins 1 individu sur 2 dans l"échantillon a une valeurinférieure ou

égaleà Med :

P

1:freq(observationsMed)12

2au moins 1 individu sur 2 dans l"échantillon a une valeursupérieure

ou égaleà Med : P

2:freq(observationsMed)12

(UPV)E221XS32011/2012 13 / 54

Aspect graphique: Pour obtenir la médiane,1on cherche l"abscisse du ou des points d"ordonnée 0.5 du graphe de la

fonction de répartition.2si plusieurs valeurs sont possibles (cas du plateau à hauteur 0.5 pour

une variable discrète), par la même convention, on prendra la valeur centrale si elle est observable ou la valeur observable immédiatement inférieure sinon.3pour une variable continue, on pourra soit faire une lecture graphique, soit calculer la valeur par interpolation linéaire. (UPV)E221XS32011/2012 14 / 54

Exercices

Un tableau de distribution d"une variable quantitative discrète:

Nbre d"enfants dans une famille d"étudiantsN

bd"enfantsN bd"étudiants17 299
347
412
56
69

Total180

Donner le mode et la médiane de cette distribution? (UPV)E221XS32011/2012 15 / 54 Un tableau de distribution d"une variable quantitative continue: l"information étant non exhaustive (on ne dispose pas des données brutes)

on ne peut calculer qu"une approximation de la médiane.LongueurEff.Fréq. (en %)Fréq. Cumul. (en %)

de 30 à 3464.004.00 de 34 à 3664.008.00 de 36 à 382013.3321.33 de 38 à 403020.0041.33 de 40 à 423724.6766.00 de 42 à 442315.3381.33 de 44 à 462013.3394.67 de 46 à 5085.33100.00

Total150100

Donner la classe modale et la classe médiane de cette distribution? Donner une valeur du mode, et une valeur approchée de la médiane? (UPV)E221XS32011/2012 16 / 54

II - Les quartiles

Il y en a 3. Ils sont notés :Q1,MedetQ3.

Intuition: les 3 valeursQ1,Med,Q3sont des valeursobservables qui partagent enquatreeffectifs égaux l"échantillon rangé par ordre croissant de la variable. Q

1,Med,Q3sont des indices delo calisation. Ils sont fondamentaux.(UPV)E221XS32011/2012 17 / 54

Exemples:

Quel est le 1er quartile (Q1) des séries statistiques suivantes? (n=12) 3, 7, 8, 10, 11, 12, 14, 18, 20, 23, 24, 27 (n=13) 3, 7, 8, 10, 11, 12, 14, 18, 20, 23, 24, 27, 29 (n=14) 3, 7, 8, 10, 11, 12, 14, 18, 20, 23, 24, 27, 29, 30 (n=15) 3, 7, 8, 10, 11, 12, 14, 18, 20, 23, 24, 27, 29, 30, 35 Convention: quand plusieurs valeurs sont possibles, on choisit la valeur centrale (milieu) si elle est observable, sinon la valeur observable immédiatement inférieure. (UPV)E221XS32011/2012 18 / 54

Caractérisation:

!Q1vérifie simultanément les 2 propriétésP1etP2suivantes :1au moins 1 individu sur 4 dans l"échantillon a une valeurinférieure ou

égaleàQ1:P1:freq(observationsQ1)14

2au moins 3 individus sur 4 dans l"échantillon ont une valeur

supérieure ou égaleàQ1:P2:freq(observationsQ1)34

!Q3vérifie simultanément les 2 propriétésP1etP2suivantes :1au moins 3 individus sur 4 dans l"échantillon ont une valeurinférieure

ou égaleàQ3:P1:freq(observationsQ3)34

2au moins 1 individu sur 4 dans l"échantillon a une valeursupérieure

ou égaleàQ3:P2:freq(observationsQ3)14 Aspect graphique:Q1,MedetQ3sont les valeurs où le graphe de la fonction de répartitionFfranchit respectivement les ordonnées 0.25, 0.5 et

0.75 (en utilisant si besoin la même convention et l"interpolation linéaire).

(UPV)E221XS32011/2012 19 / 54

Exercices

Donner la valeur des quartilesQ1etQ3dans les 2 exemples ci-dessus :Exercices

Définition:

À l"aide des quartiles, on peut définirl"écart inter-quartiles (EIQ):

EIQ=Q3Q1

C"est l"écart entre le premier et le troisième quartile. C"est donc un indice dedispersion.(UPV)E221XS32011/2012 20 / 54

Représentation graphique:le box-plot

Il existe une représentation graphique fondée sur la médiane et les quartiles ("boîte à pattes", "boîte à moustaches", box and whiskers) : (UPV)E221XS32011/2012 21 / 54

III - Les quantiles et intervalles

Autres indices basés sur les rangsLes déciles (D1àD9): les 9 valeursD1,D2,D3,D4,Med,D6,D7,D8,D9, partagent endix

effectifs égaux l"échantillon rangé par ordre croissant de la variable.Les centiles (C1àC99): ... De façon générale,un quantile ( q)p eutêtre asso ciéà toute

proportiond"invididus dans l"échantillon ayant des valeurs plus petites queqet 1ayant des valeurs plus grandes queq.

Caractérisation

: qvérifie simultanément les 2 propriétés : P

1:freq(observationsq)

P

2:freq(observationsq)1

q est une valeurobservable de la va riable.

Exemples

: q0:5=q50%=Med ouq0:03=q3%=C3

Tous ces indices sont des indices de

lo calisation (UPV)E221XS32011/2012 22 / 54

Intervalles basés sur les rangs

À l"aide des indices précédents, on peut construire de nombreux intervalles centrés autour de la médiane (intervalles centrés au sens des quantiles). Ce sont autant d"indicateurs despositions centralesdes valeurs de

l"échantillon.l"intervalle à 50% centré autour de la médiane :[Q1;Q3]l"intervalle à 80% centré autour de la médiane :[D1;D9]l"intervalle à 60% centré autour de la médiane :[D2;D8]l"intervalle à 95% centré autour de la médiane :[q2:5%;q97:5%](UPV)E221XS32011/2012 23 / 54

A SAVOIR

Lorsque les observations ont été ordonnées, on peut alors définir :1comme paramètres delocalisation:

la médiane (Med): une valeur observable vérifiant qu"au moins 50% des valeurs de l"échantillon sont plus petites qu"elle et au moins 50% plus grandes qu"elle. les quartiles, déciles, centiles le quantile d"ordre(q): une valeur observable vérifiant qu"une proportion au moinsdes valeurs de l"échantillon sont plus petites qu"elle et au moins 1-sont plus grandes qu"elle.2comme paramètre dedispersion: l"écart inter-quartile: l"écart entre le 1er et 3ème quartile.(UPV)E221XS32011/2012 24 / 54

Chapitre 6 : Distance, dispersion,

indice de localisation centrale

I - Définition intuitive

Un indice delocalisation centraleest :

une valeur "résumé" qui se situele mieux possible au milieudes données. Elle seraproche de tousles individus de l"échantillon à la fois.

On a donc besoin des 2 notions :1pour le mot" proche"on a b esoinde définir une notion de distance

entre deux valeurs.2pour l"expression" proche de tous"on a b esoinde définir une notion dedispersiondes valeurs de l"échantillon autour d"un point.(UPV)E221XS32011/2012 25 / 54

II - Distance et dispersion

Soit une variableXobservée surnindividus. On désigne donc par x

1;x2;:::;xi;:::xn, lesnvaleurs observées.

Soitaune valeur réelle quelconque (une position quelconque sur l"échelle). On définit :d(xi;a): la distanceentre la valeurxiet la valeura On choisit généralement comme distancenaturelle:

1. la distance au sens desvaleurs absolues:d(xi;a) =jxiaj

2. la distance au sens descarrés:d(xi;a) = (xia)2Disp(a) =nX

i=1d(xi;a): la dispersiontotale des valeurs observées de la variableX(les valeurs de l"échantillon) autour deaet associée à la distanced. C"est un résumé (la somme) des distances de toutes les valeurs de l"échantillon à la valeura.(UPV)E221XS32011/2012 26 / 54

Exemple numérique

pour la va riableX, lesxi5891518 poura=2, lesjxiaj3671316 poura=2, les(xia)293649169256 poura=8, lesjxiaj301710 poura=8, les(xia)290149100 poura=12, lesjxiaj74336 poura=12, les(xia)249169936 a=2a=8a=12Disp (jj)(a) =P5 i=1jxiaj452123 Disp (2)(a) =P5 i=1(xia)2519159119 La valeura=8est plus p rochedes données que a=2et a=12p ourla dispersion Disp (jj) La valeura=12est plus p rochedes données que a=2et a=8p ourla dispersion Disp (2)(UPV)E221XS32011/2012 27 / 54 Cas d"une variable discrète présentée sous la forme du tableau de distribution.n

1individus prennent la valeurv1

n

2individus prennent la valeurv2...

n

Kindividus prennent la valeurvK

La dispersionDisp(a) =nX

i=1d(xi;a)peut alors aussi s"écrire :

Disp(a) =KX

k=1n kd(vk;a)

Ce qui pour les 2 distances envisagées donne :

Disp (jj)(a) =KX k=1n kjvkajDisp(2)(a) =KX k=1n k(vka)2(UPV)E221XS32011/2012 28 / 54

Exemple

Nbre d"enfants dans une famille d"étudiants

cas de la Disp (jj)Disp (jj)v k1 2 3 4 5 6 n k7 99 47 12 9 6 a=1: jvkaj0 1 2 3 4 5 a=1: nk jvkaj0 99 94 36 36 30295 a=2: jvkaj1 0 1 2 3 4 a=2: nk jvkaj7 0 47 24 27 24129 a=3: jvkaj2 1 0 1 2 3 a=3: nk jvkaj14 99 0 12 18 18161 La valeura=2est plus p rochedes données que a=1et a=3p ourla dispersion Disp (jj)(UPV)E221XS32011/2012 29 / 54

Nbre d"enfants dans une famille d"étudiants

cas de la Disp (2)Disp (2)v k1 2 3 4 5 6 n k7 99 47 12 9 6 a=1: (vka)20 1 4 9 16 25 a=1: nk(vka)20 99 188 108 144 150689 a=2: (vka)21 0 1 4 9 16 a=2: nk(vka)27 0 47 48 81 96279 a=3: (vka)24 1 0 1 4 9 a=3: nk(vka)228 99 0 12 36 54229 La valeura=3est plus p rochedes données que a=2et a=1p ourla dispersion Disp (2)(UPV)E221XS32011/2012 30 / 54

III - Indice de localisation centrale

Unindice de localisation centraleest la valeura:

quiminimisela dispersion telle queDisp (a) =nX i=1d(xi;a)estminimale !Un tel indicedépendbeaucoup de ladistancedchoisie.(UPV)E221XS32011/2012 31 / 54 a - Pour la dispersion Disp (jj)pourla va riableX, lesxi5891518 poura=2, lesjxiaj3671316 poura=8, lesjxiaj301710 poura=9, lesjxiaj41069 poura=10, lesjxiaj52158 poura=12, lesjxiaj74336 a=2a=8a=9a=10a=12Disp (jj)(a)4521202123 On peut montrer quea=9est la valeur la plus prochede ces données pour la dispersion Disp (jj)(UPV)E221XS32011/2012 32 / 54

Propriété

Avec la distanced(xi;a) =jxiaj, le minimum de la dispersion est obtenu pour a = Med la médiane des observations). Nbre d"enfants dans une famille d"étudiantsquotesdbs_dbs17.pdfusesText_23
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