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Mécanique du solide

et des systèmes||

Jean-Claude Hulot

Professeur en classes préparatoires

Marc Venturi

Professeur de chaire supérieure

en classes préparatoires au lycée Carnot à Dijon© Nathan,classe prépa

Cet ouvrage fait partie de la collection " Classe prépa », une collectiond'ouvrages simples et accessibles couvrant l'ensemble des programmes

des classes préparatoires aux Grandes Écoles scientifiques. Élaborée pour aider les élèves à surmonter leurs difficultés, cette collec- tion est basée sur une approche pragmatique des programmes. Ainsi, chaque chapitre est constitué de cinq rubriques : • Retenir l'essentiel qui reprend les notions indispensables du cours et indique des conseils pour éviter les erreurs les plus fréquentes ; Avant la colle qui regroupe des QCM et des exercices d'application immédiate pour vérifier les connaissances ; Savoir résoudre les exercices qui, sur la base d'exercices " classiques », permet aux élèves de développer les méthodes indispensables en prépa : analyse de l'énoncé, démarche à suivre, réflexes à acquérir... terie d'exercices ; mentés.

Coordination éditoriale : Isabelle Ravilly

Relecture : Fanny Morquin

Composition : Softwin

Couverture : Marie-Astrid Bailly-Maître

Maquette intérieure : Thierry Méléard

© Nathan, 2009 - ISBN 978-2-09-160920-1

© Nathan,classe prépa

Avant-propos

La mécanique a non seulement pour but de décrire les mouvements des objets mais aussi d'en comprendre les causes (les forces). Les lois fondamen- tales de la mécanique newtonienne, associées à des modèles de forces, four- nissent les équations nécessaires à la compréhension et à la prévision des mouvements. Le domaine de validité des lois newtoniennes est vaste. Il s'étend des systè- mes ayant pour dimension celle de quelques molécules aux distances astro- nomiques entre les galaxies, à plusieurs centaines de millions d'années- lumière de la Terre, et englobe en particulier l'échelle des phénomènes de taille humaine. En dehors de ces domaines et pour quelques systèmes parti- culiers (superfluides, supraconducteurs...), la mécanique quantique ainsi que la mécanique relativiste restreinte et générale deviennent nécessaires. Le modèle du solide (au sens de système indéformable idéal) joue un rôle particulier mais extrêmement important. Les systèmes indéformables (ou quasi indéformables) sont fréquents autour de nous. La mécanique de ces objets acquiert ainsi un intérêt concret et directement utile. Même si les phénomènes en jeu nous semblent familiers (les forces de con- tact par exemple), leur compréhension et leur description mathématique restent difficiles. Loin d'être évident, le mouvement des objets ou la cause de ces mouvements restent parfois hors du " sens commun » et de l'intui- tion. Dans cet ouvrage destiné aux élèves de seconde année de CPGE, on rap- pelle dans le cours tous les théorèmes et relations au programme. Les exer- cices proposés sont issus pour la plupart d'écrits et d'oraux de concours d'entrée aux Grandes Écoles. Que ces exercices soient des vérifications et applications directes du cours ou qu'ils permettent de vérifier sa maîtrise et de s'entraîner, leur correction est toujours explicite et détaillée. Nous espérons que les étudiants trouveront ici les moyens de se familiariser avec les lois de la mécanique des systèmes. Nous voulons remercier très chaleureusement Philippe Fleury pour ses con- seils et ses remarques toujours judicieux et constructifs, les éditions Nathan, et tout particulièrement Isabelle Ravilly pour ses travaux d'éditions.

Jean-Claude Hulot

Marc Venturi

© Nathan,classe prépa

Sommaire

Avant-propos ......................................................................................................... 3

1Le centre de masse des systèmes matériels

1 - Définition et propriétés du centre de masse ............................................... 7

2 - Les symétries des systèmes matériels .......................................................... 11

savoir résoudre les exercices ........................................................................ 15

corrigés .......................................................................................................... 18

2Cinématique du solide

1 - Champ des vitesses d'un solide ................................................................. 23

2 - Cas particuliers de mouvements d'un solide ............................................. 24

3 - Contact entre deux solides ....................................................................... 26

4 - Rappel des lois de composition des vitesses

et des accélérations ........................................................................................

28

savoir résoudre les exercices ........................................................................ 33

s'entraîner ..................................................................................................... 36

corrigés .......................................................................................................... 37

3La résultante et le moment cinétiques

1 - La résultante cinétique ............................................................................. 41

2 - Le moment cinétique ............................................................................... 43

3 - Théorème de Koenig ................................................................................ 44

savoir résoudre les exercices ........................................................................ 49

s'entraîner ..................................................................................................... 52

corrigés .......................................................................................................... 54

4Moment cinétique d'un solide

1 - Moment d'inertie d'un système par rapport à un axe .............................. 61

2 - Moment cinétique d'un solide en un point d'un axe de rotation ............ 63

3 - Moment cinétique d'un solide

par rapport à un axe de rotation ...................................................................

65

savoir résoudre les exercices ........................................................................ 72

s'entraîner ..................................................................................................... 81

corrigés .......................................................................................................... 83

5Les actions sur un système

1 - La résultante des actions .......................................................................... 91

2 - Le moment des actions ............................................................................ 94

3 - Exemples d'actions sur des systèmes ......................................................... 96

savoir résoudre les exercices ...................................................................... 103

s'entraîner ................................................................................................... 108

corrigés ........................................................................................................ 113

6Énergie cinétique d'un système matériel

1 - Définition et expressions de l'énergie cinétique ..................................... 125

2 - Le second théorème de Koenig ............................................................. 127

savoir résoudre les exercices ...................................................................... 131

© Nathan,classe prépa

s'entraîner ................................................................................................... 138

corrigés ........................................................................................................ 141

7Les travaux des actions sur un système - Énergie potentielle

1 - Puissance et travail d'un système de forces ............................................. 147

2 - Puissance et travail des actions exercées sur un solide ............................ 149

savoir résoudre les exercices ...................................................................... 155

s'entraîner ................................................................................................... 159

corrigés ........................................................................................................ 162

8Théorème de la résultante cinétique

1 - Le théorème de la résultante cinétique ................................................. 171

2 - La loi de conservation de la résultante cinétique ................................... 172

savoir résoudre les exercices ...................................................................... 176

s'entraîner ................................................................................................... 185

corrigés ........................................................................................................ 188

9Théorème du moment cinétique

1 - Théorème du moment cinétique appliqué à un point matériel (rappel) .... 195

2 - Théorème du moment cinétique des systèmes matériels ........................ 196

3 - Théorème du moment cinétique scalaire ............................................... 197

4 - Conservation du moment cinétique ...................................................... 198

savoir résoudre les exercices ...................................................................... 202

s'entraîner ................................................................................................... 211

corrigés ........................................................................................................ 213

10Théorème de l'énergie cinétique

1 - Système fermé de points matériels .......................................................... 221

2 - Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide .......................... 222

3 - Système de solides .................................................................................. 224

4 - Énergie potentielle et énergie mécanique ............................................. 225

savoir résoudre les exercices ...................................................................... 231

s'entraîner ................................................................................................... 237

corrigés ........................................................................................................ 239

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