Cours de Mécanique Quantique Avec Exercices corrigés
Solution. Il faut qu'il y ait absorption totale du rayonnement pour que la loi décrivant l'intensité du rayonnement émis soit universelle.
Mécanique Quantique III
Page 1. Mécanique Quantique III. Corrigés des exercices et probl`emes. (extraits). 26 VI 2018. Claude ASLANGUL. Page 2. Page 3. `A Anaıs Margaux
Examen de Mécanique Quantique
14/11/2013 La rotation de l'électron sur lui même ("spin" en anglais) peut être mise en évidence en plongeant par exemple
Mecanique quantique. Cours et exercices corriges
Introduction. 1. 1.1 Qu'est-ce que la mécanique quantique ? 1. 1.2 Brèves considérations historiques. 2. 1.3 La structure des théories physiques.
Mécanique quantique II – Corrigé série 6
06/11/2012 cas de l'oscillateur harmonique 1D (cf. exercice 2) ces éléments de matrice sont nuls sauf pour des états “voisins” ce qui simplifie beaucoup ...
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Mécanique Quantique 1 CORRIGÉ Séance dexercices 2 : états
PHYSH301/2019-2020. Mécanique Quantique 1 CORRIGÉ. Séance d'exercices 2 : états opérateurs et commutateurs. Exercice 1 a). [λ. ˆ. A + µ.
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Physique quantique 2. Examen Mécanique Quantique. Université de Bourgogne. Licence 3 de physique FC + FFA. Examen seconde session de Mécanique quantique 2018-
Exercices et problème.s corriges
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Examen de Mécanique Quantique
14 nov. 2013 La rotation de l'électron sur lui même ("spin" en anglais) peut être mise en évidence en plongeant par exemple
Cours de Mécanique Quantique Avec Exercices corrigés
Solution. Il faut qu'il y ait absorption totale du rayonnement pour que la loi décrivant l'intensité du rayonnement émis soit universelle.
Mécanique Quantique 1 —– CORRIGÉ Séance dexercices 1 : États
Exercice a. Notez d'abord que le puits étant infini il n'admet que des états liés ! À l'extérieur du puits
Mécanique Quantique III
extenso les corrigés des exercices et probl`emes proposés `a la fin de chaque chapitre de l'ouvrage Mécanique Quantique tomes I et II.
Mecanique quantique. Cours et exercices corriges
1.4 Aperçu des postulats de la mécanique quantique. 13. 1.5 Premières conséquences importantes. 16. Annexe 1.A : La physique quantique en quelques dates.
Mécanique Quantique 1 CORRIGÉ Séance déxercices 3 : états
PHYSH301/2014. Mécanique Quantique 1 CORRIGÉ. Séance d'éxercices 3 : états opérateurs et commutateurs. Exercice 1 a). [?. ˆ. A + µ.
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PHYSH301/2019-2020. Mécanique Quantique 1 CORRIGÉ. Séance d'exercices 2 : états opérateurs et commutateurs. Exercice 1 a). [?. ˆ. A + µ.
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Travaux Dirigés de Mécanique Quantique
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Mécanique Quantique 1 -- CORRIGÉ
La première partie de ce document donne la correction détaillée de la séance d"exercice 1 sur les
états liés du puits carré. La deuxième partie de ce document propose un exercice similaire mais sur
l"oscillateur harmonique. Ceci n"a pas été vu en classe, mais est lié à la matière du cours.
Séance d"exercices 1: États liés du puits carré.PUITS CARRÉ INFINI EN 1 DIMENSION
Exercice a
Notez d"abord que le puits étant infini, il n"admet que des états liés!À l"extérieur du puits, le potentiel étant infini, la fonction d"onde est nulle. Comme la fonction d"onde
doit être continue, on en déduit les conditions limites de la fonction d"onde à l"intérieur du puits :
(0) = (L) = 0 indépendante du temps, en une dimension, qui est donnée par : ~22m@ 2@x2+V(x)
(x) =E (x) Comme le potentiel est nul, cela devient simplement ~22m@ 2@x2 (x) =E (x)
ou encore, en posantk=p2mE=~, @2@x2 (x) =k2 (x):
La solution de cette équation différentielle est donnée par des sinus et cosinus. Ainsi, de façon générale,
la solution est (x) =Asin(kx) +Bcos(kx): En utilisant les conditions limites mentionnées précédemment, on trouve (0) = 0)B= 0 (L) = 0)Asin(kL) = 0)kL=n oùnest un entier positif. Ainsi, (x) =Asin nxL 1 Pour trouver la valeur deAil reste à normaliser la fonction : Z L 0 j (x)j2dx=A2ZL 0 sin nxL dx =A2LZ 1 0 sin2(ny)dyoù on a poséy=x=L =A2LZ 101cos(2ny)2
dy =A2Ly2 sin(2ny)4n 1 0 =A2L2 Puisque la norme de la fonction d"onde vaut1on trouve queA=p2=Let donc n(x) =8 :q2 L sin n xL si0xL0sinon
Notez quenreprésente ici le nombre quantique.
Exercice b
Puisque, de l"exercice précédent on tire quek=p2mE=~etkL=n, on en déduit facilement que les énergies propres du puits infini sont E n=k2~22m=n22~22mL2 . Puisquenest entier, on comprend ici que l"énergie est quantifiée.Remarquez que si le puits carré est de profondeur finieV0, on a une solution (x)non nulle à l"extérieur
du puits, comme on le verra à l"exercice 3. Dans ce cas là, il y aura également un nombre fini d"états
liés.PUITS CARRÉ INFINI EN 3 DIMENSIONS
Exercice a
~22m @2@x2+ +@2@y
2+@2@z
2 +V(3)(x;y;z) (x;y;z) =E (x;y;z) En supposant que la solution a la forme (x;y;z) = 1(x) 2(y) 3(z), on trouve2(y) 3(z)
~22m@2 1(x)@x
2+V1(x) 1(x)
+ 1(x) 3(z) ~22m@2 2(y)@y
2+V2(y) 2(y)
+ 1(x) 2(y) ~22m@2 3(z)@z
2+V3(z) 3(z)
= 2(y) 3(z)(E1 1(x)) + 1(x) 3(z)(E2 2(y)) + 1(x) 2(y)(E3 3(z)) 2où on a posé queE=E1+E2+E3. On a donc 3 fois un problème unidimensionnel qui se ramène en
fait au cas étudié à l"exercice1:~22m@ 2@x2i+Vi(xi)
i(xi) =Ei i(xi) pour i=1,2,3. La solution générale dépend alors de trois nombres quantiquesn1,n2etn3: n1;n2;n3(x;y;z) =r8 L1L2L3sin
n 1xL 1 sin n 2xL 2 sin n 3xL 3Exercice b
En se basant également sur le résultat de l"exercice1, on trouve que les énergies liées sont :
E n1;n2;n3=2~22m n21L21+n22L
22+n23L
23Remarquez que dans ce cas-là, certaines dégénérescences sont possibles.
Exercice c
Ici, on cherche à calculer le nombre d"états quantiqueN(E0)dans la boîte dont l"énergie est inférieure
à une certaine valeurE0. On cherche doncN(E0)tel que n 21L21+n22L
22+n23L
232mE0
2~2On remarque que c"est comme calculer le nombre d"états à l"intérieur d"une sphère de rayon
R=p2mE0~
en sachant que la densité de points estL1L2L3(l"unité de longueur de la coordonnéeiestni=Li).
On approxime le résultat en oubliant que lesnisont entiers et donc il suffit de calculer le volume de
la sphère multiplié par sa densité. Par contre, il ne faut pas oublier que lesnine peuvent être que
positifs et donc on ne prend qu"un huitième du volume de la sphère. :N(E0)18
volumedensité 18 43(2mE0)3=2
3~3L1L2L3
43p30L1L2L3h 3
où à la dernière ligne on a posé que~=h2etp0=p2mE0.p0représente l"impulsion d"une particule
de massemdont l"énergie cinétique estE0.Ainsi, on remarque dans la dernière équation queL1L2L3représente le volume dans l"espace des
positions alors que4p30=3représente le volume dans l"espace des impulsions.Dans une volume arbitraire de l"espace des phases, le nombre d"états quantiques indépendants est en
fait donné parNxyzpxpypzh
3 C"est comme si chaque état se trouvait dans une petit boîte de côtéh.Lorsqu"il s"agit de fermions, cela revient simplement à compter le nombre de particules dans la boîte
jusqu"à une certaine énergie, puisqu"il n"y a qu"une seule particule par niveau (on ne peut pas mettre
plus d"un fermion par petite boîte). Notez également que l"on ne connaît par précisémentxetpà
l"intérieur de la petite boîte. 3PUITS CARRÉ FINI EN 3 DIMENSIONS
Exercice a
H =E ,
~22mr2+V(r) (r) =E (r) où le laplacien en coordonnées sphérique est r 2=1r 2@@r r2@@r +1r 21sin@@
sin@@ +1sin 2@ 2@ 2! ~22mr2@@r r2@@r ~22mr21sin@@
sin@@ +1sin 2@ 2@ 2! +V(r)# (r;;) =E (r;;) En multipliant l"équation par2mr2, on peut rendre l"équation séparable : ~2@@r r2@@r ~21sin@@
sin@@ +1sin 2@ 2@ 2! + 2mr2V(r)# (r;;) = 2mr2E (r;;) ou encorequotesdbs_dbs14.pdfusesText_20[PDF] examen cytologique du liquide articulaire
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