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D.M. 22 d'apres CCP(CCINP) MP 2017, solutions

Q1.Par la formule des probabilites totales (carX0=1 etX0=2 forment un systeme complet d'evenements) : :12 =14 par l'enonce. De m^eme 14 =18 . On conclut que :P(X1=1)=38 etP(X1=2)=58 :Q2.Soitn?N. D'apres l'enonce,Xn+1( )?{1;2}. D'apres l'enonce, siP(Xn=1)>0 alors : P

Xn=1(Xn+1=2)=1?2 etPXn=1(Xn+1=1)=1?2;

et sinon nous adopterons ces egalites comme denition des probabilites conditionnelles (non denies a priori).

De m^eme siP(Xn=2)>0, alors :

P

Xn=2(Xn+1=1)=1?4 etPXn=2(Xn+1=2)=3?4;

et sinon nous adopterons ces egalites comme denition des probabilites conditionnelles (non denies a priori). Avec ces conventions, la formule des proba. totales donne alors que pour toutj?{1;2}: Donc ?P(Xn+1=1)P(Xn+1=2)?=?P(Xn=1)P(Xn=2)??1?2 1?2

1?4 3?4?i.e. :

n+1=nA.

Q3.import numpy as np

A = np.array([[1/2, 1/2], [1/4, 3/4]])

mu = np.array([1/2, 1/2]) for i in range(5): mu = np.dot(mu, A) print(mu)

Avec pour achage :

[0.33349609 0.66650391]

Donc arrondi au centieme :[0.33,0.67].

Q4.Par def. puis par formule des proba. composees :P(T=1)=P((X1=1)∩(X0=2))=

P(X0=2):PX0=2(X1=1)=12

:14 =18 Soitk≥2, par def.P(T=k)=P((X0=2)∩(X1=2)∩:::∩(Xk-1=2)∩(Xk=1))puis par la formule des proba. composees, on obtient :

Mais l'hyp.

≪cha^ne de Markov≫formulee de maniere vague dans le debut de l'enonce P X0=X1=:::=Xi-1=2(Xi=2)est egal aPXi-1=2(Xi=2)et de m^eme pour le dernier facteur, mutatis mutandis. On obtient ainsi : P(T=k)=P(X0=2):PX0=2(X1=2):PX1=2(X2=2)::::PXk-2=2(Xk-1=2):PXk-1=2(Xk=1) (?) 1 N.B.Bien s^ur toutes ces probabilites conditionnelles n'ont du sens que si a chaque etape, les evenements par rapport auxquels sont on conditionne sont de probabilite non nulle. Mais ceci se prouve par recurrence immediate avec la formule qu'on va donner pourP(T=k). Par les hypotheses de l'enonce : pour chaquei,PXi-1=2(Xi=2)=3?4 etPXk-1=2(Xk=1)=

1?4 donc avec la formule(?), on conclut que :P(T=k)=12

:?34 ?k-1 :14 =18 ??34 ?k-1 :Q5.Par def.est valeur propre deAssi ker(A-I)≠{0}ssi det(A-I)=0 ssiP()=0.

Or ici on calcule??R;P()=(12

-)(34 -)-18 =2-54 +14 =(-1)(-14

DoncAadmet deux valeurs propres distinctes,1=14

et2=1. Ceci sut pour savoir si on note"iun vecteur propre pour la valeur propreipouri=1;2 et si on notefl'endomorphisme canoniquement associe afi.e tel queA=MatB0(f)ou B

0=(e1;e2)est la base canonique deR2, alors dans la baseB=("1;"2), on a MatB(f)=

diag(1?4;1). Donc par formule de changement de baseA=Qdiag(1;2)Q-1ouQ=PB0;B Pour calculerQon cherche explicitement ker(A-1?4:I)et ker(A-I).

On trouve par exemple queQ=?2 1

-1 1?convient Q6-7J'ai fait admettre les resultats desQ6 et 7 du sujet CCP.car on y parle de limite de suites de matrices donc de topologie dans l'espace des matrices, mais tout est tres naturel ici. L'egaliteA=Qdiag(1;2)Q-1de la question precedente donne pour toutn?N,An=

Qdiag(n1;n2)Q-1:

Avec la def. donnee de la convergence d'une suite de matrices, on sait que diag(n1;n2)?→n→+∞diag(0;1).

En admettant la continuite du produit de matrices, on en deduit queQdiag(n1;n2)Q-1?→n→+∞

Qdiag(0;1)Q-1.

DoncA n?→n→+∞Qdiag(0;1)Q-1=13 ?1 2

1 2?, et

n?→n→+∞?13 23
Q8On noteEla matrice colonne aplignes dont tous les coecients valent 1. Alors leiemecoecient du vecteurAEest la somme des coecients de laiemeligne deA, donc 1. Ou encore :AE=E, avecE≠0, ce qui montre que 1 est valeur propre deA.

Q9Pouri?[[1;p]]:?(A:x)(i)?=?p

k=1?ai;kxk?=p k=1ai;k??X??∞=??x??∞car

Aest stochastique.

Q10Si?Cest valeur propre deA, on a un vecteur colonnexnon nul tel queAx=x. Q11C'est une simple normalisation. On a un vecteur colonneXnon nul tel queAX=X.

On posex=1??X??∞X.

On verie immeditatement que??x??∞=1, et queAx=xcar tous les elements de la droite

R:Xsont propres pour la valeur propre.

Q12On regarde laiemeligne de l'egaliteAx=xqui donnen∑ k=1ai;kxk=xi.

Donc(-ai;i)xi=∑

k≠iai;kxk, donc en passant au module, puisque?xi?=1 : 2 ?-ai;i?=?∑ k≠i?ai;k?=∑ k≠iai;k=1-ai;icarAest stochastique.

Q13- Siest une valeur propre deA, par Q12 on a :

?-12 ,?-16 et?-13 , donc en notantD(a;R)le disque ferme de centrea(en confondant axe et point) et de rayonR:?D(12 ;12 )?D(16 ;56 )?D(13 ;23

Q14- On remarque que :

B ′non inversible???X?Mp;1(R);X≠0;B′X=0??0 est valeur propre deB′. par le resultat admis.

Donc≥ai;p>0 carAest strictement positive.

Donc≠0, 0 n'est pas valeur propre deB′, etB ′est inversible. Q15- Par la Q14,Badmet une matrice extraiteB′de rangp-1 , donc rg(B)≥p-1, et alors D'autre part, 1 etant valeur propre deA, dim(ker(A-Ip))≥1.

Doncdim(ker(A-Ip))=1.

Q16-B=?0 1

1 0?. Q17-Best stochastique, non strictement positive, et pour tout entier natureln, on a : B

2n=I2etB2n+1=B.

Donc(Bn)ne converge pas (on a deux suites extraites de limites dierentes). 3 Donc la proposition est faussesi on ne suppose pas la matrice strictement positive. Q18- On notefl'endomorphisme canoniquement associe aN, et(e1;:::;en)la base canonique deCn. On notekl'indice de nilpotence deN. CommeNk-1≠0, on peut prendre un vecteuru?Cptel quefk-1(u)≠0.

Lemme :la famille(u;f(u);:::;fk-1(u))est libre.

Dem du lemmeSi(0;:::;k-1)?Cnsont tels quek-1∑ i=0ifi(u)=0, on raisonne par l'absurde en les supposant non tous nuls.

On notejle plus petit des coecients non nuls.

On a donc

k-1∑ i=jifi(u)=0, et en appliquantf k-1-jfois, on trouvejfk-1(u)=0 (car f k=0), donc, puisquefk-1(u)≠0,j=0, contradiction ce qui demontre le lemme. Avec le lemme, la famille(u;f(u);:::;fk-1(u))est une famille libre dansCp, donc son car-

Donc puisqueNk=0,N

p=0.

Q19- On a(nk)=n:(n-1):::(n-(k-1))k!.

Le nombre de termes du numerateur estk, independant den, et chacun des facteurs du numerateur est equivalent, quandn→+∞, an(et le resultat reste vrai sik=0).

Donc(nk)≂n→+∞n

kk!.

Donc(nk)n-k≂n→+∞n

kk!n-k. Puisque??<1, par croissances comparees (ou d'Alembert), on trouve( nk)n-k?→n→+∞0.

Q20-IpetNcommutent, donc par le bin^ome, pourn?N:

(Ip+N)n=n∑ k=0(nk)n-kNk. Pourn≥p, puisqueNp=0 (par Q18), on a(Ip+N)n=p-1 k=0(nk)n-kNk. La somme a un nombre de termes independant den(il vautp), et par Q19, chacun des termes tend vers la matrice nulle. Donc par somme de limites,(Ip+N)n?→n→+∞0. Q21- Par le resultat admis (c'est d'ailleurs le resultat qui manquait au DS 8), on ecrit :

A=Qdiag(1;1Ip1+N1;:::;rIpr+Nr)Q-1:

On en deduit pour toutn?N,

A n=Q:diag(1;(1Ip1+N1)n;:::;(rIpr+Nr)n)Q-1 Or par Q20, chacun des blocs (sauf le premier) tend vers une matrice nulle (car par la proposition 1, les valeurs propres autres que 1 sont de module strictement inferieur a 1), doncdiag(1;(1Ip1+N1)n;:::;(rIpr+Nr)n)tend vers diag(1;0;:::;0). Ainsi(An)converge versQdiag(1;0;:::;0)Q-1par la continuite du produit deja utilisee

Q6 et Q7.

Q22- Pour toutp?N, on axp;1+:::+xp;n=1, avec chaque coecient positif. Orxp;itend versxipour chaqueiquandptend vers+∞, donc par passage a la limite dans 4 l'egalite, on ax1+:::+xn=1, et par passage a la limite dans les inegalites, chaque coecient est positif.

Doncxest un vecteur stochastique.

Q23-?n?N;n+1=nAdonc par une recurrence immediate on a?n?N;n=0An. Mais on a vu,Aetant stochastique strictement positive, que(An)converge, donc (de maniere immediate en regardant les coecients),(n)converge.

Q24-•Pourientre 1 etp,(A)(i)=p

k=1mkak;i, doncetAetant positives,Al'est aussi. •Doncp i=1(A)(i)=p i=1p k=1mkak;i=p k=1mkp i=1ak;i=p k=1mkcarAest stochastique.

Etetant stochastique,p

i=1(A)(i)=1. Avec les deux points precedents,Aest stochastique. Q25- On a admis que∞A=∞c'est bien s^ur consequence de cette fameuse continuite du produit matriciel dont on a parle plusieurs fois. Par Q24,∞est la limite d'une suite de vecteurs lignes stochastiques, donc par Q22, il est stochastique. Donc ∞est une probabilite invariante parA.

Q26-etant stochastique, il est non nul, et :

est un probabilite invariante parA??A=(1) tAt=ten transposant (2) ce qui est equivalent a dire que test un vecteur propre detAassocie a la valeur propre 1, car t≠0. Q27- On sait que rg(A-Ip)=rg(t(A-Ip)=rg(tA-Ip), donc par theoreme du rang : dim(ker(tA-Ip))=dim(ker(A-Ip))=1 par Q15. Q28- SoitX?Mp;1(R)?{0}tel que ker(tA-Ip)=RX(car sa dimension est 1 par Q27). Par Q26, un vecteur ligne stochastiqueest une probabilite invariante pourAsi et seule- ment si t?ker(tA-Ip). Or en notantSla somme des coecients deX(non nulle), pour?R, la somme des coe- cients deXestS, etXest stochastique?S=1?=1?S(et lesXsont exactement les vecteurs de ker(tA-Ip).

D'oul'unicitedemandee.

Q29Le traditionnel algo. de calcul de max. : ca ne se refuse pas def norme(x): res=0 for val in x: if abs(val)>res: res=abs(val) return res Q30Ici bien respecter la consigne qu'on travaille dans le monde des listes Python 5 def itere(x,A): n=len(x) xA=[0]*n for j in range(n): for i in range(n): xA[j]+=x[i]*A[i][j] return xA

Q31def soustrait(a,b):

res=[] for i in range(len(a)): res.append(a[i]-b[i]) return res def probaInvariante(A,eps): n=len(A) x0=[1/n]*n x1=itere(x0,A) while norme(soustrait(x1,x0))>eps: (x0,x1)=(x1,itere(x1,A)) return x1 Ces questions Python etaient vraiment basique, d'ou l'inter^et de lire tout le sujet pour les faire m^eme si elles sont a la n. 6quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22

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