[PDF] Correction – physique – CCP TSI 2014

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Mickaël Melzani -www.mmelzani.frRévisions

Correction - physique - CCP TSI 2014Problème I - Ondes électromagnétiques Première partie - Propagation des ondes électromagnétiques dans le vide 1 - div ~E=

0;!rot~E=@~B@t

div ~B= 0;!rot~B=0~j+00@~E@t Dans un espace vide de charges et de courants on a= 0et~j=~0, d"où : div ~E= 0;!rot~E=@~B@t div ~B= 0;!rot~B=00@~E@t

2 -?On part de l"égalité!rot(!rot~E) =!grad(div~E)~E.

On a div

~E= 0(pas de charges). Puis !rot!rot(~E) =!rot @~B@t =@@t !rot~B=@@t

00@~E@t

On obtient donc :~E00@2~E@t

2=~0:?Pour le champ magnétique on procède de même :!rot(!rot~B) =!grad(div~B)~B.

On a div

~B= 0. Puis !rot(!rot~B) =!rot

00@~E@t

=00@@t !rot~E=00@2~B@t 2.

On obtient donc :~B00@2~B@t

2=~0:3 -L"onde se propage selon lesxcroissants.

Elle est plane car elle ne dépend que d"une seule coordonnée cartésienne : les surfaces d"onde

sont des plans.

Elle est progressive car elle s"écrit sous la formef(xvt): il y a donc propagation sans déformation

du profil. Elle est monochromatique car la dépendance temporelle est du typecos(!t+cst)(àMfixé). creprésente la célérité de l"onde, donc sa vitesse de propagation. On a ~k=k~ex, aveck=!=c >0sa norme.

4 -Il faut calculer :

2~E@t

2=~E0(!2) cosh

txc i =!2~E correction - CCP physique TSI 20141 / 8Pierre de Coubertin | TSI2 | 2017-2018

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~E= Ex~ex+ Ey~ey+ Ez~ez = n E

0ycosh

txc io ~e y+ n E

0zcosh

txc io ~e z:

Calculons la composante selon~ey:

n E

0ycosh

txc io =E0y@2@x 2cosh txc i =E0y!2c 2cosh txc i

De même sur~ez:

n E

0zcosh

txc io =E0z@2@x 2cosh txc i =E0z!2c 2cosh txc i

À la fin on obtient

~E=!2c 2~E:

L"équation de d"Alembert impose donc que!2c

2~E00(!2)~E=~0, et il faut donc que :

00=1c

2:5 -On sait que pour une OPPM dans le vide, les équations de Maxwell imposent la relation~B=

~k^~E! (on peut le démontrer en appliquant Maxwell-Faraday,!rot~E=(@=@t)~B, si besoin).

Ceci indique directement que

~Eet~Bsont perpendiculaires.En prenant la norme, et en utilisant le fait que pour une OPPM dans le vide

~Eet~ksont perpendiculaires, on obtientk~Bk=k~kkk~Ek! =!=ck~Ek! , d"oùk~Bk=k~Ekc :Calculons : ~B=k~ex! ^(E0y~ey+E0z~ez)cosh txc i 1c (E0y~ezE0z~ey)cosh txc i

On a doncB0y=E0zcetB0z=E0yc

:6 -1/ Le vecteur de Poynting est défini comme~R=~E^~B

0:Son unité est le watt par mètre carré (Wm2).

Il donne la puissance électromagnétique passant par unité de surface. ~R!dSest ainsi égal à la puissance des champs passant à travers la surface élémentaire!dS.

2/On passe les calculs, on arrive à :

R=c0E20cos2h

txc i ~e

x:On prend ensuite la valeur moyenne sur une périodeT, en sachant que celle d"un cosinus au carré

de pulsation2=!donne1=2. On a donc h ~Ri=c0E202 ~ex:correction - CCP physique TSI 20142 / 8Pierre de Coubertin | TSI2 | 2017-2018

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Deuxième partie - réflexion d"une OPPM sur un conducteur parfait en incidence normale

7 -La direction de polarisation du champ électrique est~ey.

8 -Les relations de passage (qui ne sont plus exigibles dans les programmes post-2014) sont :

E2~E1=

0~n12et~B2~B1=0~js^~n12;

avec~n12un vecteur unitaire qui va du milieu 1 vers le milieu 2,~E1le champ électrique total dans le milieu 1 au niveau de l"interface,~E2le champ électrique total dans le milieu 2 au niveau

de l"interface, et de même pour~B1et~B2,la densité surfacique de charge à l"interface, et~jsla

densité surfacique de courants à l"interface. 9 -

1/ D"après la relation précédente pour~E, on sait que la composante tangentielle au plan du

champ électrique est continue. Ici la direction de propagation de~Eiet de~Erest selon~ex, donc

le champ électrique associé à chacune de ces OPPM est justement dans le plan du conducteur :

on a affaire uniquement à des composantes tangentielles, il y a donc continuité de~E.Enx= 0, on a côté conducteur~Etot(x= 0+;t) =~0, et côté vide~Etot(x= 0;t) =~Ei+~Er=

E

0~eycos(!t) +~E0rcos(!t).

Il faut donc queE0~eycos(!t) +~E0rcos(!t) =~0, on a donc~E0r=E0~ey;et on a donc

Er=E0cos(!t+kx)~ey:Et on rappelle que

Ei=E0cos(!tkx)~ey:2/On utilise encore la relation~B=~k^~E! , qui est valable indépendamment pour chacune des

OPPM dans le vide.

On a donc

~Bi=k~ex^~Ei! =E0c cos(!tkx)~ez:Et ~Br=k~ex^~Er! =E0c cos(!t+kx)~ez:3/On utilisecos(a+b) = cosacosbsinasinbetcos(ab) = cosacosb+sinasinbpour arriver au résultat demandé, à savoir que

E=~Ei+~Er= 2E0sin!tsinkx~eyet~B=~Bi+~Br=2E0c

cos!tcoskx~ez:Il s"agit d"ondes stationnaires.

10 -?Compte tenu du fait que le milieu 1 est le vide, le milieu 2 est le conducteur où donc~E2=~0,

la relation de passage s"écrit ~0~E1= 0~ex. Or ~E1est le champ total dans le vide enx= 0. L"expression précédente montre qu"il est nul. On a donc= 0:?pour~Bon a aussi~B2=~0dans le conducteur. On a~B1=~B(x= 0;t) =2E0c cos!t~ez.

La relation de passage est donc

~02E0c cos!t~ez=0~js^~ex.

Le vecteur

~jsest dans le planyz. D"après la relation ci-dessus, il doit être exclusivement selon ~e y. Posons donc~js=js~ey. correction - CCP physique TSI 20143 / 8Pierre de Coubertin | TSI2 | 2017-2018

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On a alors

~02E0c cos!t~ez=0js~ey^~ex=0js~ez, d"oùjs=2E0

0ccos!t, et finalement (en

utilisant aussi00c2= 1) : js= 20cE0cos!t~ey:11 -1/ !dFL=~jsdS^~Bi = 20cE0cos!t~eydS^E0c cos(!t)~ez = 20E20cos2!tdS~ex:

Pour obtenir la force totale on intègre sur toute la surfaceS. Comme rien ne dépend des variables

spatiales, on obtient directement

FL= 20E20cos2!tS~ex:2/On remarque que cette force de Laplace est perpendiculaire à la surface. La pression est donc

donnée par la norme de la force de Laplace divisée par la surface :P= 20E20cos2!t:On prend la valeur moyenne sur une période :hPi=0E20:12 -

~R=~E^~B

0et on prend les champs totaux de la question 9.3.

On obtient alors

~R= 4c0E20sin!tsinkxcos!tcoskx~ex=c0E20sin(2!t)sin2kx)~ex:La valeur moyenne est nulle. C"est normal, car la réflexion étant parfaite l"onde incidente amène

autant d"énergie que l"onde réfléchie n"en transporte dans l"autre direction. Il n"y a donc pas de

transport en moyenne.

Problème II - L"oscilloscope cathodique

Première partie : création et accélération d"un faisceau d"électrons

1 -Le champ électrique est selon l"axez. Il pointe vers les bas potentiels, donc vers~ez. On a donc

E=UACd

~ez. 2 - ~f=e~E=eUACd ~ez(on prende >0, la charge de l"électron est donce).

3 -La force électrostatique est de l"ordre de10191030:1= 1015N, et le poids de l"ordre demeg

10

3010 = 1029N.

Le poids est donc largement négligeable devant la force électrostatique.

4 -Théorème de l"énergie cinétique appliqué à l"électron, entre les points C et A :

E c(A)Ec(C) =WCA(~f) =eUACd ~ezd~ez=eUAC:

OrEc(A) =12

mev20etEc(C)est négligeable devantEc(A). On en déduit : v

0=r2eUACm

e= 1:9107m=s:Ceci est élevé, mais reste petit devant la vitesse de la lumière, ce qui montre que notre analyse

utilisant la mécanique classique est valide. correction - CCP physique TSI 20144 / 8Pierre de Coubertin | TSI2 | 2017-2018

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Deuxième partie : Dispositif de déflexion du faisceau d"électrons

5 -La différence de potentielle est positive. Elle est donc associée à un champ électrique~E=UyL

1~ey. La force s"exerçant sur les électrons est donc ~f0=e~E=eUyL

1~ey:Elle est dirigée vers lesypositifs : les électrons sont donc déviés vers le haut.

6 -Principe fondamental de la dynamique appliqué à un électron (dans le référentiel galiléen du

laboratoire) :me~a=~f0, d"où~a=eUym eL1~ey:7 -On projette8>>>< >>:x= 0; y=eUym eL1; z= 0:

On intègre :

8>>>< >>:_x=A= 0; _y=eUym eL1t+B=eUym eL1t; _z=C=v0:

On a déterminé les constantes d"intégrationA,BetCen utilisant le fait que àt= 0, l"électron

arrive enO1avec une vitessev0~ez.

On intègre encore, en prenant en compte le fait que àt= 0l"électron est en(0;0;0)pour éliminer

les constantes d"intégration :8>>>< >>:x= 0; y=eUy2meL1t2; z=v0t: Pour obtenir l"équationy(z), on écrit quet=z=v0, et on injecte dans l"expression dey: y=eUy2meL1v20z2:8 -1/ Enz=ZE=L2on aXE= 0etYE=eUy2meL1v20L22:2/La tangente est donnée pardydz=eUym eL1v20z, et donc enz=L2elle vautp=eUyL2m

eL1v20:3/Après la sortie, l"électron n"est plus soumis à aucune force. Il voyage donc en ligne droite.

4/L"équation esty=p(zZE) +yE, soity=p(zL2) +eUyL222meL1v20:5/Le point d"impact est pourXs= 0(il n"y a pas de mouvement selonx), pourZs=L22

+D, et sa coordonnéeyest donnée en prenantz=L22 +Ddans l"équation de la droite précédente, doncYS=eUyL2m eL1v20 L22 +DL2 +eUyL222meL1v20, soitYS=eUyL2Dm eL1v20:correction - CCP physique TSI 20145 / 8Pierre de Coubertin | TSI2 | 2017-2018

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9 -Ysest proportionnel àUy. Ceci permet donc de prévoir facilement le point d"impact sur l"écran,

et de réaliser un affichage sur l"écran de l"oscilloscope. Problème III - Pince ampèremétrique à induction Remarque :Dans tout ce problème on se place dans le cadre de l"ARQS magnétique, qui permet

d"utiliser l"équation de Maxwell-Ampère simplifiée!rot~B=0~j, et donc d"avoir le théorème d"Ampère

et les propriétés de symétries du champ comme en magnétostatique.

1 -Il s"agit du phénomène d"induction : la présence d"un courantI(t)variable dans le fil central crée

un champ magnétique variable, dont le flux à travers les spires varie, ce qui crée une fem induite

et donc un courant dans les spires.

2 -?On considère un pointM. Le plan(M;~er;~ez), notésur le schéma ci-dessus, est un plan de

symétrie de la distribution de courants.

Conséquence : le champ

~Bau pointMest orthogonal à ce plan. Il est donc selon~e.

On a donc

~B=B(r;;z;t)~e(en régime variable il y a également la dépendance ent). ?La distribution de courants est invariante par rotation autour de l"axez(d"angle). Les composantes de~Bne dépendent donc pas de la coordonnée.

On a donc

~B=B(r;z;t)~e:3 -On va utiliser le théorème d"Ampère.?On considère un pointMde coordonnées(r;;z), qui est à l"intérieur des spires.

?Le contour choisi est un cercle dont le centre est sur l"axez, perpendiculaire à l"axez, et passant par le pointM(donc de rayonr).

On orientece contour pour que sa normale soit orientée selon+~ez. D"après la règle de la main

droite, il faut donc procéder comme sur la figure. On a alors!dl=dl~e. D"où : C ~B!dl= C B (r;z;t)~edl~e=B(r;z;t) C dl=B(r;z;t)2r: ?On exprime ensuite le courant enlacé :Ienlacé=I(t) +Ni(t)car dans le contour passent le fil du centre (courantI(t)), et chacune desNspires (couranti(t)par spire). correction - CCP physique TSI 20146 / 8Pierre de Coubertin | TSI2 | 2017-2018

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?On applique le théorème d"Ampère : C ~B!dl=0Ienlacé, ce qui donne, après avoir isoléB: B (r;z;t) =0(I(t) +Ni(t))2r;d"où~B=0(I(t) +Ni(t))2r~e:4 - x

Sunespire~

B!dS 3a r=2a a=2 z=a=2

0(I(t) +Ni(t))2r~edS~e

3a r=2a a=2 z=a=2

0(I(t) +Ni(t))2rdS

3a r=2a a=2 z=a=2

0(I(t) +Ni(t))2rdrdz

0(I(t) +Ni(t))2

3a r=2adrr a=2 z=a=2dz

0(I(t) +Ni(t))2ln3a2aa

0(I+Ni)2aln32

:On vient de donner l"expression du flux du champ magnétique à travers une spire. Or la pince comporteNspires. Le fluxtotà travers tout le bobinage de la pince ampèremétrique est donc tot=0N(I+Ni)2aln32 :5 -Le circuit considéré ici est le bobinage de la pince, parcouru par un couranti(t). Par définition des coefficientsLetM, le flux total du champ magnétique à travers le circuit

s"écrittot=Li+MI:On a alors bien, par identification avec le résultat de la question 4, les expressions de l"énoncé.

6 -La fem induite est en convention générateur, et sa valeur est donnée par la loi de Faraday :

e=dtotdt=MdIdtLdidt:7 -On écrit l"équation électrique du circuit à l"aide d"une loi des mailles :

On ae=Ri, soitRi+Ldidt=MdIdt.

On passe en régime complexe :Ri+j!Li=j!MI.

On en déduitH=

iI= j!MR+j!L:8 -jHj=!MpR

2+ (!L)2:Lorsque!RL

on ajHj !MR et qui tend vers 0. correction - CCP physique TSI 20147 / 8Pierre de Coubertin | TSI2 | 2017-2018

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Lorsque!RL

on ajHj ML =1N On peut donc mesurer des intensités dans la gamme de fréquences où l"amplitude deiest pro- portionnelle à celle deI, donc pourfR2L.

À basse fréquence on n"a plus proportionnalité, la mesure devient donc plus complexe. À fréquence

nulle (courant continu),idevient nul et on ne peut plus faire de mesure. On s"y attendait car le

phénomène d"induction nécessite un flux variable du champ magnétique, et non pas constant.

9 -L"intérêt d"une telle pince est qu"on peut faire une mesure de courant sans "couper" le circuit

pour placer un ampèremetre en série. correction - CCP physique TSI 20148 / 8Pierre de Coubertin | TSI2 | 2017-2018quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

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