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et de même pour pnm(t). 1Remarques concernant la bibliographie: Il existe de nombreux ouvrages de référence en mécanique quantiques. Certains sont cités dans la

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Bibliographie : [1] : Mécanique Quantique Tomes 1 et 2

Mecanique quantique II

PHQ-430Alexandre Blais

Departement de Physique

Universite de Sherbrooke

Fevrier 2014

Table des matieres

Table des matieres 1

1 Notation de Dirac 7

1.1 Rappel sur les fonctions d'ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Espace des etats : notation de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.1 Introduction des kets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.2 Produit scalaire et introduction de l'espace dual . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3 Operateurs dans l'espace de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.1 Operateur adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.2 Operateur hermitique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.3 Algebre des commutateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.4 Fonction d'un operateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.5 Derivation d'un operateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.6 Operateurs inverses et operateurs unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4 Representations dans l'espace des etats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.1 Relations caracteristiques d'une base orthonormee : cas discret . . . . . . . .

1.4.2 Relations caracteristiques d'une base orthonormee : cas continu . . . . . . . .

1.4.3 Representation des kets et des bras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.4 Representation des operateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.5 Changement de representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.6 Trace d'un operateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5 Information quantique I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26
1.6 Equations aux valeurs propres et observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

1.6.1 Valeurs et etats propres d'un operateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6.2 Observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6.3 Ensembles d'observables qui commutent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.7 Representations et operateurs R et P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.7.1 Representation de position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.7.2 Representation d'impulsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.7.3 Relation entre les representations de position et d'impulsion . . . . . . . . . .

4 TABLE DES MATI

ERES1.7.4 Operateurs R et P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

1.8 Produit tensoriel d'espaces d'etats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.8.1 Denition et proprietes du produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43
1.8.2 Etats deE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

1.8.3 Produit tensoriel d'operateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.8.4 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.9 Information quantique II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.9.1 Impossibilite de copier l'information quantique . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.9.2 Registre de qubits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.9.3 Operations logiques quantiques et circuits quantiques . . . . . . . . . . . . .

1.10 Problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Postulats de la mecanique quantique 53

2.1 Enonce des postulats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53

2.1.1 Description de l'etat d'un systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.2 Description des grandeurs physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.3 Mesure des grandeurs physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.4 Resultat de mesure des grandeurs physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.5 Reduction du paquet d'ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55
2.1.6 Evolution dans le temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56

2.1.7 Regles de quantication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Mesures en mecanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.1 Valeur moyenne d'un ensemble de mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57
2.2.2 Ecarts types et relations d'incertitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58

2.2.3 Compatibilite des observables et preparation d'un etat . . . . . . . . . . . . .

2.2.4 Mesure d'un sous-espace et enchev^etrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.5 Application aux cas continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64
2.3 Evolution temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66

2.3.1 Conservation de la norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.2 Theoreme d'Ehrenfest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67
2.3.3 Evolution d'un systeme conservatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69

2.3.4 Frequences de Bohr et regles de selection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.5 Relation d'incertitude temps-energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4 Niveaux instables et temps de vie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5 Problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Systemes a deux niveaux 79

3.1 Espace de Hilbert a deux dimensions et sphere de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Exemples de systemes a deux niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

TABLE DES MATI

ERES 53.2.1 Polarisation d'un photon (?) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82

3.2.2 Experience de Stern et Gerlach et Spin 1=2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83

3.2.3 Restriction a un systeme a deux niveaux et spin 1/2 eectif . . . . . . . . . .

3.3 Spin 1/2 et precession de Larmor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4 Spin 1/2 dans un champ transverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.1 Champ transverse faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.2 Champ transverse intense . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5 Oscillations de Rabi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6 Problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Oscillateur harmonique 97

4.1 Importance de l'oscillateur harmonique en physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.1 Loi de Hooke et approximation harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.2 Champ electromagnetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 Oscillateur harmonique quantique a une dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

100

4.2.1 Operateurs de creation et d'annihilation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

101
4.2.2 Energies propres et action des operateurs d'echelle . . . . . . . . . . . . . . .102

4.2.3 Representation matricielle des operateurs d'echelle . . . . . . . . . . . . . . .

105

4.2.4 Representation des etats propres dans l'espace des positions . . . . . . . . . .

106

4.2.5 Valeurs moyennes et ecarts quadratiques moyens . . . . . . . . . . . . . . . .

108

4.3 Oscillateurs harmoniques isotropes a trois dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . .

109

4.4 Interaction lumiere-matiere : modele Jaynes-Cummings . . . . . . . . . . . . . . . .

110
4.4.1 Etats et energies propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114

4.5 Problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

116

5 Moment cinetique en mecanique quantique 119

5.1 Passage au cas quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

119

5.1.1 Moments cinetiques orbitaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

119

5.1.2 Relations de commutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

120

5.2 Moments cinetiques et rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

120

5.2.1 Denition de l'operateur rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

120

5.2.2 Rotations innitesimales et moment cinetique . . . . . . . . . . . . . . . . . .

121

5.2.3 Invariance sous rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

122

5.2.4 Generalisation au spin intrinseque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

123

5.3 Theorie generale du moment cinetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

124

5.3.1 Les operateursJ+etJ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125

5.3.2 Valeurs propres deJ2etJz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126

5.3.3 Action deJsur les etatsjj;mi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129

5.3.4 Mesures deJxetJy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129

6 TABLE DES MATI

ERES5.3.5 Representations standardsjk;j;mi(?) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130

5.3.6 Representation matricielle du moment cinetique . . . . . . . . . . . . . . . . .

131

5.4 Application au moment cinetique orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

133

5.4.1 Valeurs et fonctions propres deL2etLz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133

5.4.2 Base standard de l'espace des fonctions d'onde (?) . . . . . . . . . . . . . . .138

5.4.3 Mesures et previsions physiques concernantL2etLz(?) . . . . . . . . . . . .139

5.5 Problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

142

6 L'atome d'hydrogene 143

6.1 Systemes a deux corps : mouvement relatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

143

6.2 Mouvement dans un potentiel central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

145

6.3 Atome d'hydrogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

146
6.3.1 Equation radiale reduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147

6.3.2 Solution asymptotique et quantication des energies . . . . . . . . . . . . . .

151
6.3.3 Etats propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152

6.4 Problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

155

A Theorie quantique de la mesure 157

Chapitre 1

Notation de Dirac

1.1 Rappel sur les fonctions d'ondesEn mecanique quantique, la fonction d'onde (r;t) represente notre connaissance de l'etat du

systeme. La mecanique quantique a une interpretation probabiliste : j (r;t)j2d3r(1.1) est donc la probabilite que la particule soit trouvee dans le volumed3rautour du pointrau temps t. Il s'agit de la regle de Born. On en deduit que la fonction d'onde est normee : Z j (r;t)j2d3r= 1:(1.2) En mecanique quantique, on s'interesse donc a l'espaceL2des fonctions de carres sommables

(i.e. celles pour lesquelles l'integrale ci-haut converge). Cet espace est toutefois trop general. On

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