[PDF] Recueil des oraux de mathématiques PC* — lycée Henri Poincaré

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Lycee Henri Poincare | PC

*| mathematiques | recueil des exercices oraux | ete 20161

Recueil des oraux de mathematiques

PC *| lycee Henri PoincareExercice 1. (Mines-Ponts PC, 2016, Meryem Ragbaoui) On denit une suite reelle (an)n2Nen posant (a0;a1) = (1;1) puisan+1=an+2n+ 1an1pour tout entiern>1.

1.Trouver le rayon de convergence de la serie entierePanxn.

2.Calculer S(x) =+1P

n=0a nxn.

Interlude.

Enoncer les theoremes d'integration terme a terme.Exercice 2. (Mines-Ponts PC, 2016, Meryem Ragbaoui)

Soit E un espace vectoriel de dimension nie. Soitfun endomorphisme de E.

Prouver l'inegalite dim(Ker(f2))62dim(Ker(f)).

Commentaire de la candidate.L'examinateur etait correct et respectueux.Exercice 3. (Centrale-Supelec PC, 2016, Mathilde Zoch)

On note (E) l'equation dierentiellejxjy0+ (1x)y=x.

Montrer que (E) admet une unique solution surR.Exercice 4. (Centrale-Supelec PC, 2016, Hugo Dupeyras)

On posefn(x) =Z

+1

0dt(t2+x4)n.

a.Pour toutn2N, montrer que la fonctionfnest denie sur ]0;+1[. b.Pour toutx >1, prouver que la suite (fn(x))n>1converge vers 0. c.Pour toutx >1, prouver que la seriePfn(x) est convergente et exprimer sa somme.

d.Prouver que la seriePfn(1) est divergente. On raisonnera par l'absurde.Exercice 5. (Centrale-Supelec PC Python, 2016, Mathilde Zoch)

On se donne un entierp>2. On appellematrice-bande associeeau triplet (a;b;c) la matrice deMp(R) dont les coecients diagonaux valentb, les coecients juste au-dessus de la diagonale valentcet les coecients juste en dessous de la diagonale valenta, les autres coecients etant tous nuls. On note A la matrice-bande associee au triplet (1;3;1).

1.Montrer que la matrice A est inversible.

2.On note B la colonne deRpdont tous les coecients valent 1. Montrer que l'equation AX = B

possede une unique solution, notee X

3.Trouver une matrice C telle que AX = B soit equivalent a X = CX + B=3.

On denit alors T : X7!CX + B=3. Que vaut T(X)?

Lycee Henri Poincare | PC

*| mathematiques | recueil des exercices oraux | ete 20162 4. Ecrire une fonctionmatBande(p, a, b)qui prend en entree un entierpet deux ottantsa etb, et qui renvoie la matrice bande deMp(R) associee au triplet (b;a;b). 5.

Ecrire une fonctionT(p, X)qui renvoie CX + B=3.

6.On munitRpde la norme innie. Montrer que T est lipschitzienne relativement a cette norme

et trouver la meilleure constante de Lipschitz, c'est-a-dire la plus petite constantektelle que

8(X;Y)2(Rp)2;jjT(X)T(Y)jj16kjjXYjj1:

7.On xe X0dansRppuis on pose Xn+1= T(Xn) pour toutndansN. Obtenir une majoration

dejjXnXjj1. Qu'en deduit-on?

8.Pour chaque valeur depdans [[2;7]], determiner Xpar cette methode iterative et comparer

avec le resultat que donnenumpypar inversion directe de la matrice A.Exercice 6. (ENS Lyon PC, 2016, Leonor Groell)

Trouver tous les polyn^omes P deC[X] tels que P(X2) = P(X)2.Exercice 7. (Centrale PC, 2016, Imane Benhayoun)

Pour toutndansN, on poseun=1n!Z

n 0 ettndt. a.Prouver que la suite (un)n2Nconverge.

b.Prouver que sa limite est inferieure ou egale a 1=2.Exercice 8. (Mines-Ponts PC, 2016, Maxime Verges)

Nature de la serie de terme generalnnY

p=1

1 +(1)ppp

.Exercice 9. (Mines-Ponts PC, 2016, Maxime Verges) Soit E un espace vectoriel de dimension nie. Soient A et B deux sous-espaces vectoriels de E.

On suppose que A et B ont la m^eme dimension.

Prouver que A et B possedent un supplementaire commun dans E.Exercice 10. (Mines-Ponts PC, 2016, Maxime Verges)

Une urne contient M pommes vertes et N pommes rouges. On les mange une par une et on s'arr^ete quand on a mange la derniere pomme rouge.

Calculer la probabilite d'avoir mange toutes les pommes.Exercice 11. (Mines-Ponts PC, 2016, Guillaume Peiert)

Trouver toutes les fonctionsf2 C0(R;R) telles que

8x2R; f(x) = 1 + 2Z

x 0 f(t)cos(xt) dt: Interlude.Tout sur l'integration terme a terme.Exercice 12. (Mines-Ponts PC, 2016, Guillaume Peiert) Pour tout polyn^ome reel P, on posef(P) = (X3X)P0(X21)P. Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres def.

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*| mathematiques | recueil des exercices oraux | ete 20163 Exercice 13. (Centrale PC avec Python, 2016, Imane Benhayoun) Une urne contient des boules numerotees de 1 an. Le premier joueur tire des boules de l'urne sans remise; il s'arr^ete quand il obtient la boule portant le numeron. On note X1le nombre de tirages eectues par le premier joueur. Le deuxieme joueur eectue ensuite des tirages sans remise jusqu'a ce qu'il obtienne la boule portant le numero maximal parmi les boules restantes. On note X 2 le nombre de tirages eectues par le deuxieme joueur (avec la convention X

2= 0 si X1=n).

a.Determiner la loi, l'esperance et la variance de X1. b.Determiner la loi de X2sachant [X1=j]. En deduire la loi de X2ainsi que son esperance. c.

Ecrire une fonction qui simule X1et X2.

Note du transcripteur.C'est bien s^ur l'exercice 16 de la cheMaths avec Python, que nous avons corrige le samedi 11 juin.Exercice 14. (Centrale PC, 2016, Stevie Gayet) Soit M une matrice stochastique deMn(R) (cela signie que ses coecients sont positifs et que sur chaque ligne, la somme des coecients vaut 1). a.Verier que 1 est une valeur propre de M. b.Montrer que les valeurs propres de M ont un module majore par 1.

c.Soitune valeur propre de M de module 1. Montrer quevaut 1.Exercice 15. (Centrale PC, 2016, Thibaut Froeliger)

Soitn2N. On note nle graphe de la fonctionfn:x7!cosn(x) sur [0;=2]. On notednla distance de l'origine O a n, c'est-a-dire le nombre deni par d n= inffOM ; M2ng: a.Montrer qu'il existe exactement un point M de nqui verie l'egalitedn= OM. L'abscisse de ce point est noteexn. b.Montrer la relation cos2n1(xn) =xnnsin(xn). c.Montrer quexntend vers 0 quandntend vers +1.

d. (Ajout du transcripteur.)Trouver un equivalent dexnquandntend vers +1.Exercice 16. (CCP PC, 2016, Beno^t Supiot)

On note (E) l'equation dierentielle 2(xx2)y00+ (x2)y0y= 0.

1.Montrer que la fonctiony0:x7!x2 est solution de (E) surR.

Dans les questions 2 et 3, la lettre I designe indieremment l'intervalle ]1;2[ ou ]2;+1[.

2.Soityune fonction deux fois derivable sur I. Pour toutxdans I, on pose

z(x) =y(x)x2: Montrer queyest solution de (E) sur I si, et seulement si, la fonctionz0est solution sur I d'une equation dierentielle lineaire d'ordre 1 a determiner.

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3.On denit la fonction:x7!(x1)1=2x2sur l'intervalle I.

3.a.Montrer queest derivable sur I et calculer sa derivee.

3.b.Resoudre (E) sur I. On pourra utiliser le calcul suivant

43x2x(x1)(x2)=2x

1x24x2:

4.Resoudre (E) sur ]1;+1[.Exercice 17. (CCP PC, 2016, Beno^t Supiot)

Soitfun endomorphisme d'un espace vectoriel de dimensionn.

1.Sifest un projecteur, quel est le lien entre rg(f) et tr(f)?

2.Si rg(f) = tr(f) = 1, montrer quefest un projecteur.Exercice 18. (Mines-Telecom PC, 2016, Beno^t Supiot)

Pour toutndansN, on note Anla matrice deMn(R) denie par (A n)i;j=8 :2 sii=j

1 sijijj= 1

0 sinon.

On notednle determinant de la matrice An.

1.Montrer la relationdn+2= 2dn+1dn.

2.Exprimerdnen fonction den.

3.La matrice Anest-elle diagonalisable?

4.La matrice Anadmet-elle 0 pour valeur propre?Exercice 19. (Mines-Telecom PC, 2016, Beno^t Supiot)

Soit N dansN. Soitpdans ]0;1[. On poseq= 1p.

On se donne des variables aleatoires X

1;:::;XNmutuellement independantes qui suivent la loi

geometrique de parametrep.

1.Pour toutidans [[1;N]] et toutndansN, calculerP(Xi> n).

2.On denit la variable aleatoire YN= min(X1;:::;XN). Pour toutndansN, calculerP(YN> n).

3.Montrer que YNpossede une esperance et calculer sa valeur.Exercice 20. (Centrale PC, 2016, Leonor Groell)

SoitndansN. Soit M dansMn(R). On suppose que M est nilpotente, ce qui signie qu'il existe un entierkpour lequel la matrice Mkest nulle.

1.Que dire du rang de M?

2.Que dire de la trace de M?

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Exercice 21. (CCP PC, 2016, Meryem Ragbaoui)

On pose F(x) =Z

x

01p1 +t4dt.

1.Montrer que F est denie et de classeC1surR.

2.Montrer que F est impaire et croissante.

3.Montrer que F possede une limite nie en +1.

4.Montrer l'existence d'une suite reelle (an)n2Nveriant l'identite

8x2]1;1[;F(x) =+1X

n=0(1)nan4 nx4n+1:

5.Pour toutx >0, prouver l'egalite F(x) + F(1=x) = 2F(1).

6.Soitp2N. Pour toutxdans ]0;1[, prouver la majoration

F(x)pX

n=0(1)nan4 nx4n+1614p+ 5:Exercice 22. (CCP PC, 2016, Meryem Ragbaoui) Soit X une variable aleatoire de loiP(). On considere une variable aleatoire Y telle que pour toutndansN, la loi de Y sachant [X =n] soit la loiB(n;p). Trouver la loi de Y.Exercice 23. (Centrale PC avec Python, 2016, Stevie Gayet)

Pour toutx >0, on posef(x) = ln(x)=x.

1. Etudier les variations de la fonctionfet la tracer a l'aide de Python.

2.Resoudre l'equationab=ba, l'inconnue etant un couple (a;b) d'entiers strictement positifs

aveca < b.

3.Pour toutxdans [e;+1[, montrer qu'il existe un uniqueydans ]1;e] veriant l'egalitexy=yx.

Cet elementyest note'(x) dans la suite.

4.a.Montrer que la fonction'est continue sur [e;+1[ et de classeC1sur ]e;+1[.

4.b.Tracer le graphe de la fonction'.

4.c.Eectuer un developpement limite a l'ordre 2 def(e(1+h)) quandhtend vers 0. En deduire

la relation '(e(1 +h)) = e(1h+ oh!0(h)):

5.Pour toutt >0, prouver l'encadrement

1 +1t t A l'aide de Python, verier l'identite' 1 +1t t! 1 +1t t+1

6.b.Prouver cette identite rigoureusement.

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7.Proposer un arc parametre pour representer la fonction'.Exercice 24. (Centrale PC, 2016, Guillaume Peiert)

Soit A une matrice symetrique deMn(R). On suppose que A estdenie positive, ce qui signie qu'elle verie la propriete suivante

8X2 Mn;1(R)n f0g;XTAX>0:

1.Montrer qu'il existe une matrice B deMn(R) symetrique denie positive telle que B2= A.

2.On notela plus grande valeur propre de A etla plus petite.

Pour tout vecteur X deMn;1(R), demontrer l'encadrement jjXjj46(XjAX)(XjA1X)6(+)24jjXjj4:Exercice 25. (Centrale PC avec Python, 2016, Leonor Groell)

On pose S(x) =+1P

n=0x n2n+ 1.

1.Trouver le rayon de convergence de cette serie entiere.

2.Tracer le graphe de S sur un intervalle adapte.

3.On pose T(x) =xS(x2) quand c'est possible. Exprimer T0(x) puis T(x).

4.Obtenir une expression de S(x) valable pour toutx >0 (dans l'intervalle de convergence) puis

une expression valable pour toutx <0.

5.On prendydans [1=p2;p2] et on poseu=1y1 +y.

Montrer la majorationjuj61=4 et l'egalite 2T(u) = ln(y). 6. Ecrire une fonctionapprox(y)qui prendyen entree et renvoie la valeur de 26P n=0u n+12n+ 1, ou l'on a pose de nouveauu= (1y)=(1 +y).

7.Montrer queapprox(y)approche ln(y) a 1010pres.Exercice 26. (CCP PC, 2016, Paul Toniolo)

On se donne une fonctionfdenie sur ]0;+1[, a valeurs reelles. Pour toutndansNet toutx dans [0;+1[, on pose u n(x) =f(n+x)f(n):

On pose F(x) =+1P

n=1u n(x) quand c'est possible.

1.Pour tout N dansN, prouver l'egalitePN

n=1un(1) =f(N+1)f(1). En deduire que l'existence de F(1) equivaut a la convergence de la suite (f(n))n>1.

2.On prendf:x7!x1 +x

x . Montrer que F(1) existe et donner sa valeur.

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3.On prendf:x7!sin(x+px=2).Etudier l'existence de F(1). Indication : considerer

f((2n+ 1)2).

4.Dans cette question, on fait l'hypothese que la serieP

n>1f(n) est convergente. Sa somme est notee S. a.Montrer que pour toutpdansN, le nombre F(p) existe. b.Montrer que+1P p=0(F(p)F(p+ 1)) existe et exprimer sa valeur en fonction de S.

5.Pour tout entierp>2, on note Cpl'enoncele nombre F(p) existe. Trouver une condition

necessaire et susante sur la fonctionfpour l'enonce Cpsoit vrai.

6.Montrer que la fonction de la question 3 verie C2.Exercice 27. (CCP PC, 2016, Paul Toniolo)

On note A la matrice deMn(R) denie comme suit : la premiere ligne, la derniere ligne et la premiere colonne sont constituees de 1, les autres coecients de la derniere colonne valent 2, les autres coecients sont nuls.

Determiner le rang de A et son image. Prouver que A est diagonalisable.Exercice 28. (CCP PC, 2016, Marie Menetre)

Pour toutndansN, on poseun=Z

=2 0 cosn(t) dt. On admet la relation de recurrenceun+2=n+ 1n+ 2un. On note (E) l'equation dierentielle (x21)y00(x) + 3xy0(x) +y(x) = 0.

1.Pour touttdans [0;=2], determiner la limite de cosn(t) quand l'entierntend vers +1.

2.Montrer que la suite (un)n2Nconverge vers 0.

3.Determiner le rayon de convergence de la serie entierePu2n+1x2n+1.

Pour toutxdans ]1;1[, on poseg(x) =+1P

n=0u

2n+1x2n+1.

4.Pour toutxdans ]1;1[, prouver l'egalite

(x21)g00(x) + 2xg0(x) +g(x) =+1X n=0 (2n+ 2)2u2n+1(2n+ 2)(2n+ 3)u2n+3x2n+1:

En deduire quegest solution de (E) sur ]1;1[.

On admet que la fonctionf:x7!+1P

n=0u

2nx2nest egalement solution de (E) sur ]1;1[.

5.Exprimer l'ensemble des solutions de (E) sur ]1;1[ a l'aide des fonctionsfetg.

6.Pour toutxdans ]1;1[, prouver l'egaliteg(x) =Z

=2

0x1x2cos2(t)cos(t) dt.

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7.En deduire une expression deg(x) a l'aide des fonctions usuelles.Exercice 29. (CCP PC, 2016, Marie Menetre)

On rappelle que la formule (PjQ) =Z

1 0

P(x)Q(x) dxdenit un produit scalaire sur l'espace

vectorielR[X]. Pour toutndansN, on considere le polyn^ome Pn=pn(1X)n.

1.Pour toutndansN, calculerjjPnjj2.

2.Montrer qu'il n'existe pas de polyn^ome T deR[X] tel que

8P2R[X];(TjP) = P(0):Exercice 30. (CCP PC, 2016, Lucas Leonard)

Pour tout couple (n;p) deNN, on note En;ple nombre de solutions de l'equation max(jx1j;:::;jxnj) =p; d'inconnue (x1;:::;xn)2Zn.

1.Calculer E1;1et E2;2.

2.On note Sn;ple nombre de solutions de l'inequation max(jx1j;:::;jxnj)6p.

Exprimer E

n;pa l'aide de certains des Sn;k.

3.Montrer l'egalite En;1= 3n1.

4.Plus generalement, prouver l'egalite En;p= (2p+ 1)n(2p1)nsip>1.

5.En deduire qu'il existe une constante C telle que En;nsoit equivalent a C(2n)n.

6.Compter le nombre de solutions du systeme

max(jx1j;:::;jxnj) =p;min(jx1j;:::;jxnj) =p1:Exercice 31. (CCP PC, 2016, Lucas Leonard)

Trouver l'unique solution du probleme de Cauchy

y

002y0+ 2y= 1; y(0) = 2; y0(0) = 2;

noteef.

Pour toutndansN, on poseun=f(n+1)(0). Trouver une relation de recurrence sur lesun.Exercice 32. (Centrale PC avec Python, 2016, Guillaume Peiert)

On considere une fonctionfdenie et derivable sur [0;1] et on suppose qu'elle verie la relation

8x2[0;1]; f0(x) =f(x2):

1. Ecrire une fonctionindice(x, h=0.01)qui prend en entree un elementxde [0;1] et renvoie l'entieritel queti6x < ti+1, ou l'on noteti=ih.

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2.Avec la methode d'Euler, creer la liste des nombresf(ti) pourivariant de 0 an, avecn=

indice(1).

3.Avec Python, representer graphiquement la fonctionfsur [0;1].

4.On fait l'hypothese quefest developpable en serie entiere sur [0;1] et on introduit son

developpement f(x) =+1X k=0a kxk: a.Pour toutpdansN, prouver la relationa2p+1=ap=(2p+1). Obtenir egalement l'egalitea2p= 0 pour toutpdansN. b.Pour toutpdansN, prouver la relationa2p1=a0p Y i=112 i1. c.On rappelle que tout entiernpossede une decomposition de la formen=nP i=0" i2i, ou les"i valent 0 ou 1.

Montrer que si l'un des"iest nul, alorsanest nul.

5.Synthese : construire une fonctionfsolution sur [0;1] du problemey0(x) =y(x2).Exercice 33. (CCP PC, 2016, Mathilde Zoch, Thibaut Froeliger)

On pose J(t) =+1P

n=0t n(n!)2.

1.Montrer que la fonction J est denie surR.

2.Pour toutt >0, prouver l'inegalite J(t)>1. Montrer que J(t)1 est equivalent atquandttend

vers 0.

3.Montrer qu'il est possible, pour toutt >0, de poser

N(t) = J(t)Z

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