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CHAPITRE1
Formalisme lagrangien
1.1 Exercices
1.1.1Exercice
1. Rappeler ce qu"est un d´eplacement virtuel et qu"appelle-t-on par le travail virtuel
en g´en´eral? Que devient ce travail si le syst`eme est statique ou se d´eplace avec un mouvement uniforme?2. Consid´erons une massemplac´ee enAet reli´ee par deux tiges rigides aux points
OetB. Les barres de logueurOA=AB=lsont articul´ees enA. Le support de l"articulationOest fixe et le patin articul´e enBpeut glisser sans frottement le long de l"axe horizontal, figure 1.4. Les articulations sontsuppos´ees parfaites et les masses des tiges et du patin sont negligeables. (a) Quel est le nombre de degr´es de li- bert´e de ce syst`eme? (b) En appliquant le principe de d"Alembert, quelle force?Ffaut-il appliquer au patin pour que le sys- t`eme reste en ´equilibre? (c) D´eterminer la valeur de la r´eaction enB. Oy x A BORl lgmBR
FFigure1.1 - Syst`eme de treillis.
1.1.2Exercice
3Formalisme lagrangien
On consid`ere une sph`ere creuse (S) de
rayonadans un rep`ere galil´eenR(O,xyz).Une bille suppos´ee ponctuelle de massem
est astreinte `a se d´eplacer sans frottement `a l"int´erieur de la sph`ere, figure 1.51. Quelles sont les contraintes sur le
mouvement dem? En d´eduire le nombre de degr´e de libert´e de la bille.2. Calculer les composantes des forces
g´en´eralis´ees.3. En d´eduire les ´equations du mouve-
ment.4. Calculer l"´energie cin´etique de la
bille, en d´eduire les ´equations de La- grange et ensuite les ´equations du mouvement.5. Etudier le cas o`uθetφsontconstants.
Y Z X ?ρr θM ru θu ?u OFigure1.2 - Mouvent d"une bille `a l"int´e-
rieur d"une sph`ere.1.1.3Exercice
On consid`ere une perle de massemqui peut coulisser parfaitement sur un cerceau de rayonR. Le cerceau est vertical et tourne autour de l"axe vertical avec la fr´equence angulaire Ω =φfixe, figure 1.3.1. Relever les contraines sur le mou-
vement de la perle et montrer que la position de la perle est compl`ete- ment d´ecrite par la variableθ.2. Calculer l"´energie cin´etque et l"´ener-
gie potentielle. En d´eduire le lagran- gien de la perle.3. Calculer le moment conjugu´epde
θ. En d´eduire que l"expression du
hamiltonien peut se mettre sous la formeH(θ,p) =P2
2mR2+˜U(θ).
Interpr´eter les diff´erents termes de
H(θ,p).
4. D´eterminer les extremums de
˜U(θ).
En d´eduire les positions d"´equilibreet discuter les en fonction de Ω.Quelle sera la trajectoire de la perlesi les conditions initiales sontθ= 0
etθ= 0. Oz y x M RFigure1.3 - Mouvent d"une perle sur un
cerceau. Contact: elkacimi@uca.maD´epartement de Physique - FSSM 2015/20161.1 Exercices5
1.1.4Exercice
Dans un espace `a deux dimensions (x,z), on consid`ere un milieu mat´eriel d"indice de r´efraction n=n(z). La distance parcouruedsest li´ee `a l"indice de r´efraction pards= cdt/n, o`ucest la vitesse de la lumi`ere dans le vide. L"objectif est de chercher le chemin le minimum du chemin optique (Principe de Fermat).1. Ecrire l"expression du chemin optique comme une int´egrale sur le param`etrez. En
utilisant le principe de moindre action, montrer qu"il existe une int´egrale premi`ere.En d´eduire les lois de Snell-Descartes.
2. Ecrire le chemin optique comme une int´egrale sur le param`etrex. En utilisant
le principe de moindre action, montrer qu"il existe une int´egrale premi`ere. En d´eduire les lois de Snell-Descartes.3. Trouver la trajectoire lumineuse pour une variation lin´eaire de l"indice de r´efrac-
tionn(z) =n0+λz, sachant que les conditions initiales sontz(0) = 0 etz?(0) = 0.1.1.5Exercice
Soit un pendule de longueurlavec une masse plac´ee dans un champs de pesanteurg et astreint `a se d´eplacer dans un plan (x,y) muni de la base mobile (?ur,?uθ). La position du pointMest rep´er´ee par--→OM=l?ur.1. Calculer le nomde de degr´es de libert´e. En d´eduire que l"on peut d´ecrire le syst`eme
par la coordonn´eeθ.2. Calculer la vitesse et d´eduire l"expression de l"´energie cin´etique.
3. Calculer le travail effectu´e lors d"un d´eplacement virtuelδ?r=lδθ?uθ. En d´eduire
l"expression de la composante de la force g´en´eralis´ee selonθ.4. En utilisant la relation entre l"acc´el´eration g´en´eralis´ee et la force g´en´eralis´ee selon
θ, d´eduire l"´equation du mouvement enθ.5. Calculer l"expression du Lagrangien et d´eduire l"´equation du mouvement en uti-
lisant l"´equation de Lagrange.1.1.6Exercice
Soit une massemastreinte `a se d´eplacer sur une tige ind´eformable faisant un angle θavec la verticaleOZ, en rotation impos´ee avec un vecteur de rotation?Ω = Ω?uZ. La masse est attach´ee `a un ressort de constante de raideurket de longueur `a videl0et glisse sans frottement. Elle est par ailleurs soumise `a son poids.Ce syst`eme est `a un degr´e delibert´e, on choisit la distancer=|--→OM. Le r´ef´erentiel choisi est celui du laboratoire. Il
est galil´een.1. Calculer la vitesse et d´eduire l"´energie cin´etiqueT.
2. Calculer la force g´en´eralis´ee associ´ee `a la coordonn´eer.
3. En utilisant les ´equations de Lagrange, ´etablir l"´equation du mouvement.
Contact: elkacimi@uca.maD´epartement de Physique - FSSM 2015/2016Formalisme lagrangien
1.1.7Exercice
On consid`ere deux billes de masses respectivesmetM (m < M), attach´ees entre elles par un fil inextensible de masse n´egligeable passant par un petit trou dans un plan horizontal. La petite bille est anim´ee d"un mouvement de rotation sur le plan horizontal. La grande bille est sus- pendue au fil et chute sous l"effet de son poids. On notel la longueur totale du fil et r la longueur du segment ho- rizontal. On noteθl"angle que fait le segment horizontal avec un direction fixe quelconque du plan.Plateau
z x y O m θr k i j reθe M1. Calculer le lagrangienL=T-Vpour les coordonn´ees g´en´eralis´ees (r,θ).
2. D´eterminer la coordonn´ee cyclique et reconnaˆıtre sonmoment conjugu´e. Pourquoi
est-il conserv´e?3. En d´eduire l"´equation diff´erentielle du mouvement pourr.
4. On s"int´eresse aux premiers instants de la chute. On poser=l(1-?) avec??1.
d´eterminer l"´equation diff´erentielle v´erifi´ee par?. Montrer pour qu"une valeur de
la vitesse angulaire initialeθ0, la chaˆıne ne peut pas tomber. Dans le cas o`u la chaˆıne tombe, que devient la vitesse angulaire initialeθ.1.1.8Exercice
On utilise le formalisme de Lagrange
pour ´etudier le syst`eme suivant : une masse ponctuellem1est reli´ee par un fil suppos´e sans masse de longueurl1`a un point fixeO.Une seconde massem2est reli´ee par un fil
sans masse de longueurl2`am1. Les deux masses ne peuvent pas se mouvoir que dans le plan vertical.O m1 m2θ1θ2l
1 2 l y x1. D´efinir les liaisons, le nombre de degr´es de libert´e et les coordonn´ees g´en´eralis´ees.
2. Calculer l"´energie cin´etique et l"´energie potentielle. En d´eduire l"expression du
Lagrangien.
3. Trouver les ´equations du mouvement.
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1.1.9Exercice : Machine d"Atwood
Le dispositif de la machine d"Atwood est d´ecrit par la figure ci-contre. La massem1est reli´ee `a la poulie 1 de masseMpar l"interm´ediaire d"une cordre inextensible de longueurLet de masse n´egligeable. Quant `a la massem2, elle est reli´ee `a la massem3par le biais d"une corde inexten- sible de longueurLest de masse n´egligeable.Les poulies 1 et 2 ont des rayons respectifsR1
etR2. La poulie 1 est accroch´ee par un fil inex- tensible de masse n´egligeable et de longueurl0.Les fils glissent sur les poulies sans frottement
et les moments d"inertie de ces derni`eres sont n´egligeables.Poulie 1
1mPoulie 2
2m 3m1. D´enombrer les forces appliqu´ees au syst`eme des massesmi,i= 1,2,3 etMet
relever les forces de liaison.2. Etablir les expressions des contraintes et dire de quellenature sont-elles. Justifier
les r´eponses.3. En d´eduire le nombre de degr´es de libert´e et pr´eciser les coordonn´ees g´en´eralis´ees
`a utiliser.4. En utilisant le formalisme de Newton, retouver les ´equations du mouvement et
d´eduire les expressions des acc´el´erations de chacune des masses, d"une part, et des forces de liaison, d"autre part.1.1.10Exercice
Un artisan utilise une ´echelle de hauteur
?--→AB?=Let de masseMpour peindre un mur. Les extr´emit´es de l"´echelle s"appuient sur le mur et le sol, voir figure ci-contre. Le pied de l"´echelle est attach´e au pointOdu mur par l"interm´e- diaire d"une corde inextensible de longueurlet de masse n´egligeable de fa¸con que l"´echelle fasse un angleθet assure sa stabilit´e. SoitGle centre de gravit´e de l"´echelle. Les frottements enAet enBsont nuls. gMy O xGA B l1. D´enombrer les forces appliqu´ees `a l"´echelle en distinguant les forces de liaison.
2. Quel est le type de liaison en B? Justifier la r´eponse. Montrer que lorsque l"´echelle
se d´eploie, avant d"atteindre sa position d"´equilibre stable, le nombre de degr´e de Contact: elkacimi@uca.maD´epartement de Physique - FSSM 2015/2016Formalisme lagrangien
libert´e est ´egal `a 1.On utilise dans la suite de l"exercice la coordonn´ee g´en´eralis´ee
3. On se propose de calculer la tension du fil
?T. On cherche `a ´eliminer les r´eactions du mur sur l"´echelle,?RA, et du sol sur l"´echelle,?RB.3-a)Quel d´eplacement virtuel doit-on effectuer? Justifier le choix.
3-b)Exprimer la composante g´en´eralis´eeQθde la tension?T.
3-c)En utilisant le principe des travaux virtuels, montrer que
?T?=12Mgcotgθ.
1.1.11Exercice
On consid`ere un cerceau (C) de centreOet de
rayonafaisant partie du plan vertical (Oxy).SoitABune barre de longueurl=a⎷
3 et dont
les extr´emit´esAetBglissent sans frottement sur (C), voir figure ci-contre. La barreABsup- porte, en plus de son poids, deux massesm1et m2(m1> m2) assimilables `a deux points ma-
t´erielsM1etM2et situ´ees respectivement aux milieux deAGet deGB,G´etant le centre de masse de la barreAB. On note parθl"angle que fait--→OGavec la verticale. On consid`ere le syst`eme (Σ) form´e par la barre (AB) et les deux masses m1etm2.
O xy AB1M2MG(C)
1. Etablir le bilan des forces en relevant les forces de liaison.
2. Identifier les contraintes sur le syst`eme (Σ) et montrer que le nombre de degr´e de
libert´e est ´egal `a 1. En d´eduire la coordonn´ee g´en´eralis´ee `a utiliser.3. En choisissant un d´eplacement virtuel, ne faisant pas travailler les r´eactions aux
pointsAetB, trouver l"angleθ`a l"´equilibre en fonction deM,m1etm2.4. On se propose de calculer le module de la r´eaction au pointB. Quel d´eplacement
virtuel doit-on adopter pour annuler le travail de la r´eaction au pointA? En d´eduire la valeur de la r´eaction enBen fonction deM,m1,m2,getθ.1.1.12Exercice
Consi´erons une fonctionnelleI[y], c"est une fonction de l"espace des fonctions d´eri- vables dansR, qui `a une fonctiony(x) fait correspondre le nombre r´eelI[y] =?
x2 x1F(y,y?,x)dx
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o`uy?=dydxetx1,x2les bornes d"int´egration fix´ees. On cherche la fonctionyqui rend la fonctionnelleI[y] extr´emale avec les contraintesy(x1) =y1ety(x2) =y2,y1et y2donn´es. Soity(x) la solution `a ce probl`eme et l"on note la famille des fonctions
z(x,α) =y(x) +αη(x) o`uη(x) est une fonction d´erivable quelconque.On d´efinit
I(α) =I[z(x,α)] =?
x2 x 1F? z(x,α),∂z ∂x(x,α),x? dx.1. Calculer
d˜I dα.2. Sachant queI[y] est extr´emale sid˜I
dα|α=0= 0, montrer que cela implique ∂F ∂y-ddx? ∂F∂y?? = 0 ce que l"on appelle l"´equation d"Euler.3. Appliquons cette derni`ere pour revisiter le principe deFermat. La fonctionnelle
est le chemin optiqueLety(x) est la trajectoire de la lumi`ere. Le chemin optique est donn´e parL=?ndso`unest l"indice de r´efraction, que l"on suppose constant, etdsest un ´el´ement de distance dont l"expression est donn´ee pards2=dx2+dy2. En utilisant l"´equation d"Euler, montrer que la trajectoire de la lumi`ere est une droite.1.1.13Exercice
SoitR(Oxyz) un rep`ere galil´een et soitABune
barre homog`ene pesante de massemet de lon- gueur 2aet de section n´egligeable. L"extr´emit´eAde la barre glisse sans frottement le long de
Ozet l"extr´emit´eBglisse sans frottement sur le planOxy. On d´esigne par?l"angle que faitOBavecOx,θcelui que faitABavecAO. Soit
R1(Ox1y1z1) le rep`ere relatif tel queOx1est
port´e parOB, voir figure ci-contre. y 1z=z x1x1 y A B OG 1u 2u 3uquotesdbs_dbs18.pdfusesText_24[PDF] examen national 2015 math maroc rattrapage
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