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ThèsedeDoctorat

présentée par

Isabelle

BARAQUIN

Pour obtenirlegradede

Docteur

enMathématiquesdel'UniversitéBourgogneFranche-ComtéAnalyse etprobabilité surles groupesquan tiques(localement) compacts etles groupes duauxThèsesoutenuele2juillet2019,devantlejurycomposéde: Uwe

FranzDirecteurdethèse

AmauryFreslonExaminateur

Y uliaKuznetsovaExaminatrice

ChristianLeMerdyPrésidentdujury

RolandVergniouxExaminateur

MoritzWeberRapporteur

Remerciements

Je voudraisprofiter del"occasionqui m"estdonnée icipourremercier toutd"ab ordles membresdu juryqui ont accepté d"étudiercetra vail.Mercien particulieraux rapporteurs qui ontpris letempsdelire ceman uscrita vec atten tion. Je voudraistoutparticulièr ement remercierUweFranz quim"aproposé defaireune thèse àla suitedes projets demaster. Ilaétéun professeurrigoureux, exigeant etatten tif pourme permettre dedécouvrirle mondeno ncommutatifet celuide larec herche. La rechercheenmathématiquesdemandeb eaucoupde discussionset derencon tres pouréc hangerdesidéesou denom breusesque st ions.Duran tcestroisannées, j"aieu l"occasionde faireplusieurs vo yages financésparlesPartenariatsHubertCurien Sakura, Poloniumet Procop e,auJapon,enP ologneet enAllemagne.Jetiens àremercier non seulementles organismesfinanceurs, maisaussi lesp ersonnesqui m"ont accueillielors de mes déplacements:BenoîtCollins, GunjanSapra etSushma Kumarià Kyoto, l"IMPAN et plus particulièrementAdam SkalskiàVa rsovie, MoritzW eber,LauraMaassenetMiguel Pulma àSarrebruc k,AnnaWyso czańska-Kulaet BiswarupDasàWro cław. Leurssourires ontrendu letra vail agréable,malgrélafatiguedes trajets. Cetra vail étaitaussisoutenu par leprogramme "In vestissemen tsd"Avenir»,projetISITE-BF C(contratANR-15-

IDEX-03).

l"école doctoraleCarnot-Pasteur.Ces évènementsrythme nt laviedesdoctorants etsont toujours l"occasionderencon tresh umainesricheset intéressantes. Le travailauLmBne seraitpas possible sansle soutiende labibliothèque etdes services administratifetfinancier,et informatique. MerciàOdileet Émiliep ourleurdis- ponibilitée tlesrecherc hesd"articles quandceluiquinousint éresseest justement celuiqui n"est pasaccessible parles voies habituelles(et, plusdifficile,pour cellessur lefonction- nementd"ADUM !).MerciàCat herine,P ascaline,Lydie, ClaudiaetCharlènep ourleur accueil etleurs cons eilspourl"organisationdesséminaireset conférences,lesprêts d"or- dinateurs portables(lefameux PS09a vec lap etitepochette est vraimenttrèspratique), les bonsdecommande etles remb oursements. Mercià Richard,Christopher,Jean-Pierre et Olivierp ourlesdépannagesinforma tiquesquand lecopie uroul"imprimante nev eulent plus fairece qu"onleur demande.Merci aussià Sylviep ourson sourireet lebureau tout propre malgréles pouss ièresdestravaux!Les conditions matériellesrendentlequotidien plus oumoins agréable,les pério desde travauxont étédifficiles maistoutcepersonnel contribueà aiderle doctoran t. Pourfinir, jeremercie mafamille pour sonsoutien. Vous nesaureztoujourspas très bien ceque jefais, maisv ousp ourrezlire lespremierschapitres enfrançais! ii

Tabledes matières

1 Introduction1

1.1 Étudedes traces depuissancesdes représenta tions. .. .. .. .. .. .. .2

1.2 Marchesaléatoireset group esquan tiquesfinis. .. .. .. .. .. .. .. .3

1.3 Présentationdesrésultats. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4

1.4 Conventionsetnotations. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .5

I Mathématiquesnon commutativ es7

2 Outilsnécessaires 9

2.1 Algèbres. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 9

2.2 Produittensoriel. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .11

2.3 Produitlibre. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 12

2.4 Bigèbreset algèbresde Hopf. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .13

3 Groupesquantiques 15

3.1 Duclassique auquan tique. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 15

3.2 Propriétés. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .16

3.2.1 Étatde Haar. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .16

3.2.2 Théoriedes représentations . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .16

3.2.3 TransforméedeF ourier. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 17

3.3 Exemples. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .19

3.3.1 Groupesquantiques orthogonaux. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 19

3.3.2 Lafamille desSUq(N). .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 19

3.3.3 GroupedeKac-P aljutkin. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .20

3.3.4 FamilledeSe kine. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .21

4 Groupesduaux23

4.1 Définitions. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .23

4.2 Legroup edualunitaire. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 24

5 Théoriedes probabilitésnon commutativ es27

5.1 Espacesde probabilité noncommutatifs. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .27

5.2 Différentesnotionsd"indépendance . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .29

5.2.1 Casclassique :l"ind épendance tensorielle. .. .. .. .. .. .. .. 29

5.2.2 L"indépendancelibre. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .29

5.3 Cumulants. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .31

iii

TABLEDES MATIÈRES

5.3.1 Partitionsnoncroisées . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 31

5.3.2 Cumulantslibres. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .32

IIFinite quantum groups35

6 Kac-Paljutkinfinitequan tumgroup 37

6.1 Representationtheory. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 37

6.1.1 Thegroup ofgroup-lik eelemen ts. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 37

6.1.2 Matrixelemen tsandfundamental representation . .. .. .. .. .. 38

6.1.3 Fusionrules. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 39

6.2 Tracesof thefundamentalrepresen tationand itspow ers. .. .. .. .. .40

6.2.1 Powersofthefundamenta lrepresen tation . .. .. .. .. .. .. .. 40

6.2.2 Independence. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .42

6.3 Randomw alks. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .43

6.3.1 Upperandlo wer bounds. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .44

6.3.2 Asymptoticb ehavior. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .45

7 Sekinefamily offinite quan tumgroups 47

7.1 Representationtheory. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 47

7.1.1 Casenodd. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 47

7.1.2 Caseneven. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 47

7.1.3 Fusionrules. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 49

7.2 Characterspaces . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .49

7.2.1 Characters. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .49

7.2.2 Algebraof characters . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .50

7.2.3 Acomm utative(sub)algebra. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .51

7.3 Asymptoticprop ertiesofcharacters associated withtherepresentations Xu,v53

7.3.1 Asymptoticdistributions . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .53

7.3.2 Asymptoticpairwise independence . .. .. .. .. .. .. .. .. .56

7.4 Randomw alks. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .57

7.4.1 Conditionsfor conv ergence. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 58

7.4.2 Distancetouniformity . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 59

7.4.3 Cut-offphenomenon . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .60

7.4.4 Asymptoticb ehavior. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .63

7.5 Thedual family . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 68

7.5.1 Representationtheory. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 69

7.5.2 Tracesofp ow ersofthegeneratingrepresentation. .. .. .. .. .69

7.5.3 Randomw alks. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 69

IIIStudyof dualgroups 71

8 Asymptoticasp ectsoftheunitary dualgroup 73

8.1 Mixed?-moments. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .73

8.2 Asymptoticdistributions . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .76

iv

TABLEDES MATIÈRES

9 Theorthogonal dualgroup 79

9.1 RealC-algebra. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 79

9.2 Freeproducts ofrealunital-algebras. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .80

9.3 Orthogonaldual group. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 81

9.4 TheHaar st ateintheone-dimensionalcase. .. .. .. .. .. .. .. .. .83

9.5 Thenon-existence ofthe Haarstate inthe freeand tensorcases, nλ?. .83

9.6 Thenon-existence ofthe Haarstate andthe Haartrace inthe bo oleancase,

nλ?. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 85

9.7 Thenon-existence oft heHaar stateandtheHaar tracein themonotone

and antimonotonecases,nλ?. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 85

9.8 Existenceof theHaar tracefor thefree andthe tensorcon volution, nλ?. 86

9.9 Constructionof thefree Haartrace, nλ?. .. .. .. .. .. .. .. .. .87

Appendix89

A Traceofthe squareof thefundamen talrepresen tationof O+n91 B Multiplicationand fusionrules inthe finitequan tumgroup dKPn95 C CumulantofR-cyclicmatrices andunitary dualgroup 97

Index101

Bibliographie103

v

TABLEDES MATIÈRES

vi

Chapitre 1

Introduction

L"histoire desmat hématiquesaétéen partie dirigéepar l"idéede généralisationpour

mieux comprendrecertainsob jetsou relierdesconceptssimilaires prov enant dec hamps mathématiques distincts.Les mathématiquesnon commuta tives n"yfontpasexception. Cette démarchea,en treautres, donnénaissanceà lathéorie desgroup esquantiques,des groupesdua uxetàce lledes probabilitéslibres. L"idée principaleest dedéfinir les objets mathématiquesclassiques,nonplus comme ensemblede poin ts,maisàtravers l"algèbrede leursfonctions àvaleurscomplexes,puis de supprimerl"h ypothèsedecommutativitédans cettedernière. Parexemple, pour Xun espacetop ologiquecompact,l"ensemble C(X)des fonctions continuessurXet àv aleurscomplexesest uneC-algèbre commutative.Réciproquement, touteC-algèbre commutativeest decetteforme,d"aprèslethéorème deGelfand-Naimark. Cela nousin vitedoncàconsidére rles C-algèbres noncomm utativescommelesalgèbresde fonctions d"espacescompacts "non commutatifs ».Si, deplus,nousregardons ungroup e compact abélienG, laC-algèbreC(G)peutêtre munie d"unestructuresupplémentaire qui enfait une?-algèbre deHopf unifère. Dans ceca s,ladualitédeP ontry aginnous assurealors queGest canoniquement isomorphe àson bidual^^G, etil estp ossibled"étendre cetterelationsymétrique auxgroup es abélienslo calementcompacts.Malheureusement,ce n"estplusle caslorsquelegroup e étudié estnon abé lien.Ilfautdonctrouver unecatégorie d"algèbresde Hopf,con tenantla sous-catégorie desgroup esabélienslo calementcompacts,et vérifiantunedualitéparfaite. De nombreusestentativ esontétéfaitesdans cettedirection,dév eloppées defaçon indépendantepardiffére nts mathématiciens.Parexemple,Kacet Vainerman, etEnock et Schwartzontdévelopp éenparallèlela théoriedesalgèbresdeKac [ 15 ], quiadmetten t un dualdu mêmet ype etgénéralisentlesrésultatsconn us.C"e stdanscecon texte,à la fin desannées 1980,que Worono wicza définileconceptdepseudo-groupe, quia ensuite pris lenom degroup equan tique[ 41
,22], àl"aide d"uneC-algèbreAet d"uncopro duit .A →A ?A coassociatifv érifiantlesrèglesdebisimplifiabilité quantique. Cette théorieest trèsric he,et denombreuses notionsdéfi niesp ourlesgroupescom- pacts classiquess egénéralisentau casquantiqueou ytrouv ent desnotionssimilaires. C"est parexemple leca sde lathéoriedesreprésen tations,de l"étatd eHaar oude la transformée deF ourierquenousprésen teronsdans lec hapitre3. Il estaussi possible degénéraliserlesgroup esclassiques dansle cadrenon commutatif à l"aidedu produit libred"algèbres.Cetteidée nousp ermetde définirles groupes duaux 1

CHAPITRE 1.INTR ODUCTION

au sensde Voiculescu [ 39
]. Remarquonsque cettenotion degroup edual estdifféren tede celle priseen comptedans ladualité deP ontry agin.Dans cecadre, lecoproduitprend ses valeursdansle produit librede l"algèbreavec elle-mêmeet ilne luiest plusimposé de satisfaireles règlesde bisimplifiabilitéquan tique.En revanc he,ilestdema ndéque deux autres-homomorphismes existent,ils"agit dela counité.A !Cqui jouele rôle de l"élémentneutred"un groupe classiqueGet l"antipode.A !A qui jouecelui de l"opérationin versedansG. Laprésen tationdecesgr oupes duauxfait l"objetduchapitre 4 D"autre part,enétudian tles algèbresdevon Neumanndes group eslibres F\àn générateurs, Voiculescuain troduit lanotiondeliberté,ce quia conduitau développ e- mentde lathéorie desprobabilités libres,e tplus largement àcelle desprobabilitésnon commutatives. Dans lesannées 70et 80,les probabilitésnon commutativ esson tdev enues unchampde rechercheimportan t,quigénéraliselathéoriedes probabilitésform uléepar Kolmogoro v. Certaines partiesressemblen taucasclassique,maisil existeaussi desdifférences signifi- catives.L"une d"ellesest lanotion d"indépendance. Alorsqu"il n"existequ"une définition d"indépendancep ourdeuxvariables aléatoiresclassiques, ilenexistecinq différentes dans le casdes probabilitésnon commutativ es. La théoriedesprobabi litéslibres possèdedesliens étroitsa vecde nombreux domaines, de lathéorie desop érateursaux matricesaléatoires[ 36
], dela combinatoire [ 30
] àla théorie desreprésen tationsdesgroupes symétriques.Nous présenteronsdansle chapitre

5les élémentsessentiels pournotretra vail.

C"est danscet espritd"extension desrésultats classiquesau casquan tiqueque nous avonstrav aillédurantcestroisansde thèse.Résumonsd"abord cesrésultats ducas classique etcertaines deleurs extensionsau casnon commutatif, av ant d"exposer nos travaux.

1.1 Étudedes tracesde puissancesdes représenta -

tions

En 1991,Diaconis etShahshahani [

14 ] ontmontré quelestracesdes puissancesd"une matrice, choisieuniformément aléatoirementdansle groupeunitaire,son tasymptotique- ment(quand ladimension dela matricete ndv ersl"infini) desv ariablesaléatoiresindé- pendantes,gaussiennescomplexes etcen trées.De plus,la variancedecette loiest égaleà la puissancede lamatrice. Ils ontégalement étudiélesgroupes orthogonal,symple ctiqueet symétrique.Lesva- riables aléatoiresobten uessuivent asymptotiquementrespectiv ementlesloisnormales N(1?N(k);k)etN(1?N(k);k)et laloi deP oissonP(∞? ), oùkest lapuissance dela matrice, et1?Nla fonctionindicatrice desen tierspairs. Ces résultatspermetten tenparticulierd"étudierlesv aleurspropres d"unematrice aléatoire dansces groupes, commelemontre [ 12 ], etd"obtenir descon ve rgencesdemesures de probabilité.

Banica, Curranet Speic her[

3 ,4] ontréaliséle mêmet ype d"étude,dans lecontexte des groupesquantiques compacts"easy». Ilson tobten udes résultatssimilaires, dansle cadre dela théoriedes probabilitéslibres. Par exemple,p ourle groupeorthogonallibre, 2

1.2. MARCHESALÉATOIRES ETGROUPESQUANTIQUES FINIS

ils ontprouvé quelestraces despuissances dela représentationfondamen tale(uk)sont asymptotiquementdes variable saléatoires-libres, semi-circulairessi kκ2et circulaires lorsquekλ3. Pourcela ilson tutilisé d"autrestechniques, puisquenous nedisposonspas d"une définition satisfaisantedesv aleurspropres d"unematricedont lesco efficients sont les

élémentsd"une algèbrenon commutativ e.Ils ontfaitappelà lathéorie desreprésentations

et àla dualitéde Tannaka-Kre ın, prouvéeparWoronowicz[ 43
], puisaux matricesde Weingartenp ourdéterminerles momentsjoints puisles cumulantslibres decestraces. Remarquons quecette méthode permetderetrouv erlesrésultatsdu casclassique en supposantlacomm utativitéde l"algèbre. Malheureusement,cette technique nepeutse généraliserà touslesgroupes quantiques.

Parexemple, Banicaet Collins[

2 ] ontétudiéles matricesde Weingarten ducas unitaire libre, etn"on tpaspuobte nirde formule généralepourexprimer leursco efficients. ∞.? Mar??esaléa?o?rese? }rou⎷es qua\??ques \?s Pourun groupe finiclassiqueG, etun poin tfixéhdansG, choisissonsaléatoiremen t, suivantuneloi deprobabilité fixée,un élément g, etallons aup oint gh. Enrép étant cette procédure,av eclamêmeloideprobabilité ı, nousobtenons unesuite d"éléments h k=gkgkΓ1:::g1hdeGqui définissentunemarc healéatoire surlegraphede Cayley de G . Unequestion fréquemment poséeestde savoirqua ndla loide probabilitéı?kde la positionactuelle hksera prochedelaloi uniformesur G. Diaconiset Shahshahanion t réponduà cettequestion dans[ 13 ] pourlecas desgroup esde perm utations,enutilisant la théoriedes représentations. Ils ontaussiobserv équ"après moinsdetntranspositionsaléatoires unpaquet den cartes n"estpas bienmélangé, maisqu"après plusde tntranspositionsaléatoires, ilest bien mélangé,a vectn=1 nlog(n). Cephénomène estapp elé" cut-off»ouphénomène de seuil.P ourdeplusamples informationssur cettepropriété, lelecteur peut consulter l"article deSaloff-C oste[ 34
Les marchesaléatoiressur lesgroup esquan tiquesfinis ontétéétudiées pourlapremière fois parF ranzetGohm[ 16 ]. Commenousn"a vons pasaccèsauxéléments dugroup e quantique,il fauttraduire lespropriétés quinous intéressen t.P ourcela, remarquons que leslois deprobabilité desp ositionssuccessiv esfı?kgk1formentun semi-groupe de convolutiondansl"ensemble desmesures deprobabilitédéfiniessur legroup eGdans le casclassique. Dansle casquan tique,nous nousin téresserons doncaux semi-groupe sde convolutionfffi?kgk1dans l"ensembledesétats définissur l"algèbredu groupe quantique considéré.

Dans sathèse [

23
], McCarthyadéveloppé lat héoriedeDiaconisetShahshahani,dans le cadredes groupes quantiquesfinis,p ourestimerladistance env ariationtotaleentre ffi ?ket lamesure deHaar. Ila également étudiéle phénomènede seuildanscecon texte 24
], maisn"a paspu endémon trerl"existence .F reslon[ 19 ,18] aétendu cesmétho desau groupequan tiquecompactlibre orthogonalO+net aobten uun"cut-off »dans cecadre. De plus,l"étude dela conv ergencedes marchesaléatoiresrepose enpartie surla connaissance deséta tsidempotents. Ilsontétédéterminéspar Pal [ 31
] pourlegroup e quantiquede Kac-Paljutkin etZhang[ 44
] arécemme ntclasséceuxdesgroup es quan- tiques finisde Sekine. 3

CHAPITRE 1.INTR ODUCTION

1.3 Présentationdesrésultats

Dans lecadre denotre doctorat, nousa vonstoutd"ab ordtra vaillésurlesgroupes quantiquesfinis pour étudierl"-distribution destraces despuissances desreprésen tations irréductibles, etla conv ergencedecertainesmarches aléatoires.Nous av onsensuiteregardé les tracesdes puissancesde lareprésen tationfondamen tale dugroupedual unitaireau sens deV oiculescu,parrapport àla tracedeHaarlibre, av ant d"étendrel"étude aucas du groupedualorthogonal. C"estce trav ailque nousprésen tonsici. Plus précisément,après avoirdéterminé lathéoriedesreprésentationsdes groupes quantiquesfinis deKac-P aljutkinKPet deSekine KPn, nousnous intéresserons aux traces despuissances deleurs représentations irréductibles.Nous montreronsqu"ellesson t

dans l"algèbredes caractères, c"est-à-direl"algèbreengendrée parlestracesdes représen-

tations irréductibles.C"est laraison pour laquellenous lesappelleronscaractères associés, même s"ilsne corresponden tpasàlatraced"une représentation dugroup equan tique. Remarquons qu"ilexiste desgroup esquan tiquesoùlestraces despuissancesdecertaines représentationsne sont pasdansl"algèbredes caractères,con trairement auxgroup esclas- siques oùelles leson ttoujour s. Nous identifieronsensuitel"-distribution, parrapp ortàl"étatdeHaar, dec hacunde ces caractèresasso ciés,définissurle groupe deKac-P aljutkinKP, etdétermine ronsles relations d"indépendanceentreeux. Nousrencontreronsdes loisdiscrètes définies comme combinaisoncon vexedemassesdeDirac. Dansle casde lafamille desgroup esquan tiques finis deSekine, nousétudierons toutd"ab ordde façonplus approfondiel"algèbreengendrée par lescaractère sirréductiblesetune sous-algèbrecomm utative ,a van tdedéterminerles -distributions asymptotiquesde cestraces, au sensde laconve rgencedes moments. D"autre part,nousregardero nscertaines marchesaléatoires surces groupesquantiques finis. Ellesseron tdéfiniesàpartir dela transforméede Fourier decom binaisonslinéaires des caractèresirré ductibles.Aprèsav oirtrouv édesconditionsnécessaireset suffisantes pourque cesmarc hesaléatoires soientbiendéfinies, nousétudierons leurconvergence, tout d"abordvers l"étatdeHaarà l"aidede lav ersionquan tiquede lathéorie deDiaconis et Shahshahani,puis nousdéterminerons lesétats limitesp ossibleset lesconditions de convergence.Enparticulier,nous montrerons queces limitess ontdes étatsidemp otent s centraux,i.e. vérifien t ? =et ?← =← ? pourtoute fonctionnellelinéaire ←. De plus,dans lecadre desgroup esde Sekine,nous nousintéresseronségalemen taux phénomènes deseuil. Nousétudierons unexemple demarc healéa toireet montrerons qu"il ne possèdepascette propriété.Nous regarderonsaussi lesgroup esduaux dKPn, engendrés par lesreprésen tationsirréductiblesdes groupesdeSekine KPn, etréaliserons dansce cadre lesmêmes études. L"ensemblede cesrésultats estpré senté dansla secondepartiedecedo cument, dans les chapitres6, pourl"étudedu groupe quantique finideKac-Paljutkin, et7, pourcelle de lafamille desgroup es quantiquesfinisdeSekineet deleursduaux. Dans unetroisième partie,nous noustournerons vers lecas desgroup esduauxau sens deV oiculescu.Nousréaliseronsune étudedes tracesdes puissancesde larepré- sentationfondame ntaledugroupedual unitairedans lechapitre8. Nousdéterminero ns l" -distribution dec hacunedecestraces parrapp ortà latrace deHaar libredéfinie par Cébronet Ulrich [ 7 ] etleurs relationsd"indép endancedans lecadredesprobabilités non commutatives.Nousmontrerons quece sontasymptotiquemen ttoutes desv ariables 4

1.4. CONVENTIONSET NOTA TIONS

aléatoires circulaires-libres. Dans lec hapitre9, nousétudierons legroup edual orthogonaldéfiniparV oiculescu, et montreronsquel"étude sedéduit enpartie decelle dugroup edual unitaire.

1.4 Conventionsetnotations

Sauf mentioncontr aire,nousconsidé reronslesespacesv ectoriels,etlesalgèbres,surle corps desnom brescomplexesC. Deplus, lesalgèbres seront, pardéfinition, associatives, mais pasnécessairemen tcommutatives. Lesproduitstensorielsmentionnés seront alorsles produitstensorie lsalgébriquessurC. Cesnotions sont définiesavec plusde précisiondans la premièrepartie, quiprésen teles outilsnécessairesautra vail exposé dansce documen t. Pourtout espacede Hilbert H, l"algèbredes opérateurs bornésestnotée B?H?, etla notationK?H?désigne l"ensembledesop érateurscompacts. L"ensembledes entiers naturelsestnotéNet, suivantlaconv ention anglo-saxonne,ne contientpas?. Nousnoterons Znl"ensembledes entiers modulon:Zn=Z/nZ. Nous utiliseronsplusieurs loisclassiques deprobabilité. Voici lesprincipales notations:

ˆδxdésigne lamasse deDirac aup oint x

ˆU?xT?correspondà laloi uniformesur lem ultipledu cercleunité Tdans l"ensemble des nombrescomplexesC ˆμarc?x;y?est laloi arcsinus surl"intervalle ouvert réel]x∅y?, c"est-à-direla loide probabilité defonction dede nsit ét7!Cp t-x??y-t?1]x∅y??t?, oùCest laconstan tede normalisation d"inverse Z y x∞p t-x??y-t?dt. 5

CHAPITRE 1.INTR ODUCTION

6

Première partie

Mathématiques noncomm utatives

7

Chapitre 2

Outils nécessaires

Nous présentonsiciles outilsnécessaires àl"étude quiv asuivre. Noussupp osonsque le lecteur connaîtles notionsde based"algèbre linéaireet dethéorie desespaces deHilb ert. La plupartdesdéfinit ionset résultatsdonnésici sont despropriétésclassiques,qu"il est possiblede trouver dansdenombreuses références.

2.1 Algèbres

Malgré leurnom degroup e,nous nousintéressonsà desalgèbres. Elles peuvent prendre différentesformes etstructures algébriques. Définition 2.1.1.Une algèbreAsur lecorps Kest unK-espace vectorielmunid"une multiplication .A A !A (x∅y)7!xy telle que,p ourtout(x∅y∅z)2 A A Aet tout(≥∅)2KK, (x+y)z/xz+yz, x (y+z) /xy+xz, (≥x)(y) /( ≥)xy, (xy)z/x(yz). SiAcontientunélémen tneutre pourcettem ultiplication,l"algèbre seraditeunifère et l"élémentneutre,noté1Aou1s"il n"ya pasde confusionp ossible,sera appelé l"unité deA. Sila multiplication estcommutativ e,l"algèbre seraditecommutative. Nous parleronsde sous-algèbrep ourun sous-espacestableparla multiplication. S"il contientl"unitéde A, cesous-espace seradit unifère.Un homomorphismed"algèbres {.A !B est unhomomorphisme d"espacesv ectorielscompatible avecles multiplica- tions, c"est-à-diretel que{(xy) /{(x){(y)pourtout (x∅y)2 A A. SiAetBsont unifères, l"homomorphisme{.A !B sera ditunifère s"ilpréserv el"unité, c"est-à-dire vérifie{(1A) /1 B. 9

CHAPITRE 2.OUTILS NÉCESSAIRES

Définition 2.1.2.Une-algèbreAest unealgèbre munie d"uneinvolution .A !A , c"est-à-dire d"uneapplic ationvérifiant, pourtout(x,y)2 A Aet toutλ2K, (x+λy)/x+μλy (x)/x (xy)/yx où

μdésigne laconjugaison complexe.

Une sous-algèbre,d"une -algèbre, stablepar l"inv olutionseraappeléeune-sous- algèbre. Un-homomorphisme estun homomorphismed"algèbres f.A !B compatible avecl"inv olution,i.e.telquef(x) /f(x)pourt outx2 A. Définition 2.1.3.Un étatφsur une-algèbre unifèreAest unefonc tionnellelinéaire

positiveunifère,c"est-à-dire quipréserv el"unité :φ(1A) /1 . Celasignifie queφest une

application linéaireà valeurs dansCtelle que 8 x2 A, φ(xx)0. Une traceest unétat telque pour tout(x,y)2 A A,φ(xy) /φ(yx). Nousparlerons d"état fidèles"il vérifie

8x2 A, φ(xx) /0 )x/ 0.

En particulier,tout étatφest hermitien,c"est-à-dir eφ(x) /φ(x)pourto utx2 A. Définition 2.1.4.Un espacede probabiliténon commutatif estla donnéed"une-algèbre unifèreAmunied"un étatφ. Lesélémen tsdeAsontapp elésdesvariables aléatoiresnon commutatives. Nous pouvonsaussimunir lesalgèbres d"unetopologielorsqu"elles sont définiesà partir d"un espacev ectorielnormé. Définition 2.1.5.UneC-algèbre estune -algèbreAsurCmunied"une normecomplète vérifiant,pourtout (x,y)2 A A,kxyk k xkkyketkxxk/kxk?. Remarquons quetout -homomorphisme entreC-algèbre estcon tinu,denormeinfé- rieure ouégale à1. Unétat surune Calgèbre peutalorsêtre définicomme uneforme linéaire positivedenorme1. Définition 2.1.6.SoitHun espacede Hilbe rt.Unealgèbredevon Neumannest une -sous-algèbre unifèredeB(H)fermée pourlatop ologieforte, i.e.latopologie laplus grossière quirend contin uel"application x.A !C a7! kaxk quel quesoit x2 H. Proposition2.1.7. Toutealgèbr edevonNeumann estune C-algèbre. Nous dironsqu"une algèbrede von NeumannAest dedimension finielorsqu"il existe un entiern1tel queAest isomorpheà une-sous-algèbre unifèrede M\(C), celaest équivalentaufaitque l"algèbreA, vuecomme espacev ectoriel,est dedimensionfinie. 10

2.2. PRODUITTENSORIEL

2.2 Produittensoriel

Définition 2.2.1.SoientE1etE2deuxK-espaces vectoriels.Lepro duittensoriel deE1et E

2est leK-espace vectorielE1?E2associéà l"application:E1×E2→E1?E2vérifiant

la propriétéuniv ersellesuivante :pourtoutK-espace vectorielF, ettoute application bilinéairef:E1×E2→F, ilexiste uneunique applicationlinéaire ˜f:E1?E2→Ftelle quef=˜f◦, i.e.telle quele diagrammesuiv ant commute : E

1×E2E1?E2

Fffi f Ainsi lepro duittensorielE1?E2peutêtre identifié commelequotient del"espace vectorielengendré parl"ensem bleE1×E2par lesrelations (x;y)-(x;y),(x;y)-(x;y),quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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