Théorie des nombres et applications physiques ( Sn>1 an = –1/12
18 janv. 2021 an = –1/12 effet Casimir
REGLES DE CALCULS
Lorsqu'on divise un nombre par 100 il grandit / réduit de 1 / 2 / 3 / 4 rangs p18 n°1 et 2 p21 n°24 et 31 p21 n°21. 3) Vocabulaire : Exemple : a) 4 + 5 ...
Bulletin officiel n°39 du 27 octobre 2016
27 oct. 2016 - Certificat supérieur d'organisation et de gestion des entreprises dispense des épreuves n° 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
14. 18. 14. 6. 4. 5. 12. 4. 13. 2. 4. 12. 1. 7. 4. 7. 13. 2. 4. 2. 6. 10. 10. 4. 5. 18. 3. 12. 7. 6. 18. 13. 19. 3. 5. 2. 12. 6. 3. 14. 14. 4.
PGCD ET NOMBRES PREMIERS
Tous les diviseurs de 60 sont : 1 2
ÉQUATIONS
4(x ? 2) = 4 (14 - 2) = 4 x 12 = 48 et 3x + 6 = 3 x 14 + 6 = 42 + 6 = 48 Exercices conseillés En devoir. Ex 1 (Page 8 de ce document) p88 n°71 p88 n°74.
Exo7 - Exercices de mathématiques
21 104.03 Racine n-ieme. 69. 22 104.04 Géométrie. 73. 1 1. (¬Q)?P ? ¬S. 2. S ? (¬P)?Q. 3. P ? R?S. 4. S?Q ? ¬P. 5. R?¬(S?Q) ? T. 6.
EXPRESSIONS NUMERIQUES I Calculer une expression À
Exercice 1 calculer les expressions. A= 7 + 25 × 2 – 9 B= 28 – (5 + 6 × 3). C = 7 × [4 + (1 + 2) Exemple : Factorise puis calcule N = 25 × 11 – 25 × 7.
Ch 1. Ensembles et dénombrement I. Ensembles II. Cardinaux
Définition 6 Soient (Ai)1?i?n n ensembles inclus dans remarque : (1
1+2+3+4+5+6+7+ = -1/12 - Science étonnante
27 mai 2013 · Prenez par exemple la somme suivante : 1+2+3+4+5+6+7 et ainsi de Je pense que n'importe quel écolier censé répondrait « l'infini »
1 + 2 + 3 + 4 + - Wikipédia
1 + 2 + 3 + 4 + ? la série des entiers strictement positifs pris dans l'ordre croissant est en analyse une série divergente La n-ième somme partielle de
Micmaths - YouTube
21 nov 2014 · L'addition de tous les nombres entiers positifs donne -1/12 Absurde ? L'incroyable Durée : 16:40Postée : 21 nov 2014
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1 Nombres entiers naturels Un nombre entier naturel est un nombre entier qui est positif L'ensemble des nombres entiers naturels est noté ? ?= 0;1;2;3;4
[PDF] Théorie des nombres et applications physiques (? an = -1/12 - HAL
Résumé Nous étudions quelques résultats de théorie des nombres touchant au pro- blème de la régularisation des séries divergentes
1+2+3+4+5+6+7+ - 1/12 ! PDF Série (mathématiques) - Scribd
fait si je fais tendre n vers linfini la somme tend vers linfini (aucun problme de limite) De plus et daccord avec Kristen une somme de termes positifs
Une somme qui sème la controverse - Accromath
-1/12 ont fait leur apparition sur le web Est-ce que la somme des entiers naturels peut vraiment donner -1/12? B = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 +
[PDF] Exo7 - Exercices de mathématiques
1 f est majorée ; 2 f est bornée ; 3 f est paire ; 4 f est impaire ; 5 f ne s'annule jamais ; 6 f est périodique ; 7 f est croissante ;
Le jour où linfini a été évalué à -1/12 - BlablaSciences
27 fév 2015 · Faisons donc ensemble un petit jeu d'esprit: A quoi pourrait être égale la somme des nombres entiers positifs: 1+2+3+4+5+6+7+ comme
La somme de tous les entiers fait-elle vraiment -1/12? - VideoDiMath
partout que la somme des entiers positifs 1+2+3+4+ serait égale à -1/12 Celle-ci possède en effet un sens mathématique précis qui n'est pas
Ch 1. Ensembles et d´enombrementI. EnsemblesD´efinition 1Un ensemble est une collection de choses
qu"on appelle´el´ements. L"ensemble vide est not´e∅. Dans la suite, on consid`erera toujours un ensemble universel Ω(on lit"grand om´ega"), et tous les ensembles consid´er´es seront des parties deΩ. On noteP(Ω)l"ensemble des parties deΩ. Exemple. D´efinition 2SoientAetBdeux ensembles. On d´efinit : -A?B, l"union deAetB, est l"ensemble des´el´ements qui sont dansAou dansBou dans les deux. -A∩B, l"intersection deAetB, est l"ensemble des´el´e- ments qui sont dansAet dansB. -A\B, la diff´erenceAmoinsB, est l"ensemble des´el´e- ments qui sont dansA, mais pas dansB. -AΔB, la diff´erence sym´etrique deAetB, l"ensemble des´el´ements qui sont soit dansAsoit dansB, mais pas dansA∩B. -Acou A, le compl´ementaire deA, l"ensemble des´el´e- ments qui ne sont pas dansA. 1 On repr´esente graphiquement, d´es que c"est possible, les ensembles grˆace`ades diagrammes de Venn.Proposition 3Premi`eres relations :
- commutativit´e:A∩B=B∩A,A?B=B?A. - associativit´e:A∩(B∩C) = (A∩B)∩C=A∩B∩C,A?(B?C) = (A?B)?C=A?B?C.
- distributivit´e:(A?B)∩C= (A∩C)?(B∩C),A?(B∩C) = (A?B)∩(A?C).
-(A?B)c=Ac∩Bc,(A∩B)c=Ac?BcProposition 4 (R`egles de De Morgan)
n? i=1A i? ∩B=n? i=1(Ai∩B) n? i=1A i? ?B=n? i=1(Ai?B) n? i=1A i? c=n? i=1Aci,? n? i=1A i? c=n? i=1AciD´efinition 5SoientAetBdeux ensembles. On pose
C={(a,b) :a?A,b?B}. On appelleCl"ensemble
produit deAetBet on le noteA×B. 2 (exemples, g´en´eralisation) v´erifie les deux conditions : -Ai∩Aj=∅pour tousi?=j n? i=1A i= Ω (exemples, g´en´eralisation) D´efinition 7SoitA?Ω. On d´efinit surΩla fonction indicatrice deA,1lA, par : ?ω?Ω,1lA(ω) =?1siω?A0sinon
(exemple) 3II. Cardinaux
D´efinition 8SoitAun ensemble fini. Le cardinal deA, not´e|A|, est le nombre d"´el´ements que contientA. (exemple)Proposition 9Additivit´e
SoientAetBdeux ensembles finis, disjoints (c"est-`a-direA∩B=∅). Alors
|A?B|=|A|+|B|Proposition 10Multiplicativit´e
SoientAetBdeux ensembles finis, etC=A×B. Alors
|C|=|A| · |B| (preuve)Corollaire 11Principe du d´enombrement
On r´ealise deux exp´eriences qui peuvent produire respec- tivementnetmr´esultats diff´erents. Au total, pour les deux exp´eriences prises ensemble, il existen.mr´esultats possibles. Corollaire 12SoitAun ensemble fini de cardinaln. Le nombre de suites de longueurrconstitu´ees d"´el´ements deAestnr.
4Proposition 13 (Inclusion-exclusion)SoientAetB
deux ensembles finis. |A?B|=|A|+|B| - |A∩B| Plus g´en´eralement, pournensembles finisA1,...,An, |A1? ··· ?An|=n? i=1|Ai| -? iProposition 181)?n
p?=?n n-p? 2) ?n p?=?n-1 p?+?n-1 p-1?3)(x+y)n=?np=0?n
p?xpyn-p Corollaire 19SoitΩun ensemble fini de cardinaln. Le cardinal deP(Ω)vaut2n. preuve : il existe 1 partie`a0´el´ement, il existenparties`a1´el´ement, il existe?n p?parties`ap´el´ements, il existe 1 partie`an´el´ements.Finalement, le nombre total de parties est
n p=0? n p?=n? p=0? n p?1r1n-r= (1 + 1)n= 2n Th´eor`eme 20On consid`erenobjets, parmi lesquelsn1 sont indistinguables,...,nrsont aussi indistinguables. Le nombre de permutations diff´erentes estn! n1!···nr! exemple : combien d"anagrammes de STAT? 4!/2!=12 7 exemple :r´esultat du loto (6 num´eros). - mani`ere de voir 1 : on regarde en direct le tirage du loto et on obtient un arrangement de 6 nombres pris dans {1,...,49}. On a alorsω= (x1,...,x6): les 6 nom- bres sortis avec leur ordre d"arriv´ee. Quel est le nombre de tirages diff´erents? A 649= 49?48?47?46?45?44 = 10.068.347.520
Mais on peut gagner les 6 bons num´eros quel que soit l"or- dre de sortie des 6 num´eros... - mani`ere de voir 2 : on regarde les 6 nombres sortis sans s"occuper de l"ordre d"arriv´ee.On a alorsω={x1,...,x6}. D"o`uΩest l"ensemble des combinaisons de 6 nombres pris dans{1,...,49}.Quel est le nombre de tirages diff´erents?
496?=49?48?47?46?45?44
6?5?4?3?2= 13.983.816
remarque :(1,2,3,4,5,6)?= (2,1,3,4,5,6), mais {1,2,3,4,5,6}={2,1,3,4,5,6} 8Ch 2. Le mod`ele probabiliste
I. Ensemble fondamental et ´ev´ene-
ments D´efinition 21Une exp´erience al´eatoire est une action, une proc´edure, qui donne un r´esultat impr´evisible, mais dont on connaˆıt pr´ecis´ement l"ensemble des r´esultats pos- sibles. Cet ensemble, not´eΩ, est appel´eensemble fonda- mental ou univers ou ensemble des possibles.Exemples :
- lancer d"un d´e. On observera un r´esultatk? {1,...,6}. - sondageaupr`es de 1000 utilisateursd"un t´el´ephoneportable.On observera le nombre d"abonn´es`aorange.
- questionnaire`a100 r´eponses binaires. On observera des suitesωde 100 r´eponses prisesdans{0,1};ω? {0,1}100. - parcours d"un taxi. On observera une fonction continue (trajectoire). - mise en service d"un ordinateur. On observera sa dur´ee de fonctionnement qui appartient`aR+. 9 D´efinition 22Onappelle´ev´enement´el´ementairetout´el´e- mentωdeΩ. C"est un r´esultat possible de l"exp´erience al´eatoire. On appelle´ev´enement toute partie deΩ. Pour d´esigner des´ev´enements, on utilisera souvent des let- tres capitales du d´ebut de l"alphabet (A,B,...). Exemples : - on lance un d´e. AlorsΩ ={1,...,6}. L"´ev´enementA:"on obtient un chiffre pair"est consti- tu´edes trois´ev´enements´el´ementaires 2, 4 et 6. On a :A={2,4,6}.
- on lance trois fois une pi`ece de monnaie. Il est bon que les´ev´enements´el´ementaires d´ecrivent le plus pr´ecis´ement possible le r´esultat de cette exp´erience. On choisit donc de d´ecrireωpar un triplet(r1,r2,r3)qui donne les r´esul- tats des trois lancers (dans l"ordre). L"´ev´enementB:"on obtient pile au deuxi`eme lancer"estB={(f,p,f),(f,p,p),(p,p,f),(p,p,p)}
Il n"est parfois pas n´ecessaire de connaˆıtre tous ces d´etails. On pourra aussi choisir :ωrepr´esente le nombre de"face" obtenus. Alors,Ω ={0,1,2,3}. Le mod`ele est beau- coup plus simple, mais ne permet pas de d´ecrire des´ev´ene- ments tels queB. Et les calculs qui vont suivre ne sont pas forc´ement simples, eux. Il existe plusieurs mani`eres de mod´eliser l"ensemble fonda- mental. Le choix du mod`ele est un des aspects difficiles de ce cours. 10Vocabulaire probabiliste
Nous allons manipuler des ensembles, mais en utilisant un vocabulaire propre aux probabilit´es. Si le r´esultatωde l"exp´erience al´eatoire appartient`aA, on dit queωr´ealiseA, ou queAest r´ealis´e. Ainsi,Ω, qui est toujours r´ealis´e, est appel´e ´ev´enement certain. Et∅, qui n"est jamais r´ealis´e, est appel´e ´ev´enement impossible.SiAetBsont deux´ev´enements,
-A?Bse dit"AimpliqueB"(car siAest r´ealis´e,B aussi), -A?Bse dit"AouB"(car siA?Best r´ealis´e,AouBest r´ealis´e),
-A∩Bse dit"AetB", -Acest l"´ev´enement contraire deA, -A∩B=∅se dit"AetBsont incompatibles", ou encore disjoints. Exemple : On lance un d´e. On poseΩ ={1,...,6}. Soit Al"´ev´enement"on obtient un chiffre pair". Le contraire de A,Ac, est l"´ev´enement"on obtient un chiffre impair". 11II. Probabilit´es
Pensez`aquelques phrases de la vie courante qui conti- ennent le mot"probabilit´e". On constate qu"on parle tou- jours de la probabilit´ed"un´ev´enement. Consid´erons donc un´ev´enementA. Que repr´esente la probabilit´edeA, not´eeP(A)? Il existe plusieurs mani`eres de voir.
- Proportion : On lance un d´e. Quelle est la probabilit´edeA="obtenir un chiffre pair"? Chaque face du d´ea la mˆeme chance, et il y en a 6. Quant aux chiffres pairs, ils sont 3. D"o`u, intuitivement,P(A) =36= 1/2.
- Fr´equence : On lance une pi`ece de monnaie. Quelle est la probabilit´e d"obtenir FACE? On lance une pi`ece un grand nombre de fois. Notonsknle nombre de FACE obtenus en lan¸cantn fois la pi`ece. AlorsP(FACE) = limn→+∞k
n n - Opinion : Quelle est la probabilit´epour que les´etudiants votent au second tour des pr´esidentielles? Quelle est la probabilit´e pour que l"´equipe de Montceau gagne la coupe? pour que l"OL soit championne de France? 12 D´efinition 23Soit une exp´erience al´eatoire etΩl"espace des possibles associ´e. Une probabilit´esurΩest une appli- cation, d´efinie sur l"ensemble des´ev´enements, qui v´erifie : - axiome 2 : pour toute suite d"´ev´enements(Ai)i?N, deux `adeux incompatibles, P i?NA i? i?NP(Ai) - axiome 3 :P(Ω) = 1 Remarque : les´ev´enements(Ai)i?Nsont deux`adeux in- compatibles, si pour tousi?=j,Ai∩Aj=∅. D´efinition 24Soit une exp´erience al´eatoire mod´elis´ee par un espace des possiblesΩet une probabilit´eP. On appelle le couple(Ω,P)un espace de probabilit´e. Corollaire 25SiΩest d´enombrable (c"est-`a-dire fini ou en bijection avecN), on peut num´eroter les´ev´enements ´el´ementairesω1,ω2,.... Les´ev´enements´el´ementaires sont deux`adeux incompatibles, et pour tout´ev´enementA, on peut´ecrireA=?ω?A{ω}et, d"apr`es le deuxi`eme ax- iome,P(A) =?
ω?AP(ω)
13 Que signifie"un´ev´enementAa pour probabilit´e..."?0.95 :Ava tr`es probablement se produire.
0.03 :Aa tr`es peu de chance d"ˆetre r´ealis´e.
4.0 : incorrect.
-2 : incorrect.0.4 :Ava se produire dans un peu moins de la moiti´edes
essais.0.5 : une chance sur deux.
0 : aucune chance queAsoit r´ealis´e.
Proposition 26SoientAetBdeux´ev´enements.
1) SiAetBsont incompatibles,
P(A?B) =P(A) +P(B).
2)P(Ac) = 1-P(A).
3)P(∅) = 0.
5)P(A?B) =P(A) +P(B)-P(A∩B).
(preuve) 14 Exemple :Trois´ev´enementsA,BetCsont repr´esent´es sur ce diagramme.Calculons
-P(A) -P(B∩Cc) -P(A?B) - la probabilit´epour que`ala foisBetCsoient r´ealis´es -Cest r´ealis´e, mais pasB - exactement l"un des trois´ev´enements est r´ealis´e. 15III. La probabilit´e uniforme
D´efinition 27Consid´erons une exp´erience al´eatoire, dont l"ensemble fondamentalΩest fini, et telle que chaque ´ev´enement´el´ementaire a la mˆeme probabilit´e. On parle, dans ce cas, d"´ev´enements´el´ementaires´equiprobables. No- tonspla probabilit´ecommune des´ev´enements´el´emen- taires. Alors1 =P(Ω) =?
ω?ΩP(ω) =?
ω?Ωp=p× |Ω|
D"o`up=P(ω) =1
|Ω|, pour toutω. La probabilit´eainsi d´efinie sur l"ensembleΩs"appelle probabilit´euniforme. Proposition 28Dans le cadre de la probabilit´euniforme, la probabilit´ed"un´ev´enementAse calcule facilement :P(A) =?
ω?AP(ω) =|A|
Attention! Cette formule n"estvalableque lorsqueles´ev´ene- ments´el´ementaires sont bien´equiprobables. 16 Exemple : on lance deux d´es distinguables. On mod´elise cette exp´erience`al"aide de l"ensemble des possiblesΩ = de sym´etrie, les probabilit´es des´ev´enements´el´ementaires peuventˆetre suppos´ees toutes´egales`a1/|Ω|= 1/36. Calculons la probabilit´ede voir apparaˆıtre au moins un as.NotonsAcet´ev´enement.
P(A) = 1-P(Ac) = 1-|Ac|
= 1-5262= 11/36 = 0.6944
Exemple : quand on lance deux d´es, la probabilit´ed"obtenir un 3 et un 4 est sup´erieure`ala probabilit´ed"obtenir un double 6. En effet, notonsAle premier´ev´enement consid´er´eetBle second. Visiblement,Aest de cardinal 2, alors queBest de cardinal 1. 17 Exemple : le prince de Toscane avait constat´equ"il obtenait plus souvent 11 que 12 avec trois d´es. Pourtant, le nombre de combinaisons dont la somme fait 12 est le mˆeme que le nombre de combinaisons dont la somme fait 11. Alors? Les6 combinaisons qui donnent 11 sont
Les 6 combinaisons qui font 12 sont
Nous avons le choix entre deux univers diff´erents :1={triplets(a,b,c)}(on distingue les d´es et on note
leurs r´esultats toujours dans le mˆeme ordre.2: ensemble des r´esultats{a,b,c}, sans pr´eciser l"ordre
d"apparition des chiffres. Dans le cas d"Ω1, les´ev´enements´el´ementaires sont´equiprob- ables et ont tous la probabilit´e1/216... ce qui n"est pas vrai pourΩ2. En effet, l"´ev´enement´el´ementaire{1,5,5} correspond`a3 triplets(1,5,5),(5,1,5),(5,5,1); sa probabilit´evaut donc3/216. Par contre,{1,1,1}ne correspond qu"`aun triplet(1,1,1)et sa probabilit´evaut donc1/216. Comme la probabilit´esurΩ2n"est pas uni- forme, il ne suffit pas de compter le nombre de cas favor- ables. Finalement, on obtient 11 avec la proba27/216et12 avec la probabilit´e25/216.
18CH 3. Ind´ependance etconditionnement
I. Probabilit´es conditionnelles
Exemple : on lance deux d´es (Ω ={1,...,6}2et proba- bilit´euniforme). Supposons qu"on puisse savoir que le pre- mier d´efait 3. Quelle est dans ce cas la probabilit´epour quequotesdbs_dbs42.pdfusesText_42[PDF] referentiel eie maroc
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