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Introduction aux méthodes de sondage - unistrafr
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Introduction Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise Comparaison des prélèvements PEAR et PESR Sondage aléatoire simple à probabilités égales Myriam Maumy-Bertrand1 1IRMA Université de Strasbourg Strasbourg France Master 1ère Année 26-09-2013
Licence AES - Troisième année - GitHub Pages
serons dans les chapitres 2 et 3 di?érentes méthodes de sondage permettant d’estimer des moyennes et proportions 1 2 Modélisation et notation Nous présentons dans cette partie le cadre d’étude et introduisons les notations qui seront utilisées tout au long de ce cours
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Qu'est-ce que le sondage ?
- Introduction aux sondages ? ? ?Licence A E S - Troisième année Résumé : En présence d’une taille de population très élevée, on a souvent recours à unplan de sondage pour évaluer une caractéristique précise decette population. Dit brûtale-ment, le sondage consiste à mesurer la caractère sur une partie de la population (appeléeéchantillon).
Quelle taille d’échantillon pour un sondage aléatoire ?
- Quelle taille d’échantillon doit-on retenir, si on choisitun sondage aléatoire simple, pourdonner un intervalle de con?ance à95%ayant une demi-longueur d’au plus2%pour laproportion de parisiens qui portent des lunettes ? La taille de la population de la ville de Paris étant très grande, on suppose que letaux de sondage est négligeable.
Comment faire un Plande sondage stratifié ?
- On e?ectue un plande sondage strati?é : on sélectionne un échantillon aléatoire de taillen= 10de la manièresuivante (voir Figure3.2) :dans la strate 1 ;• n1 = 5 n2 = 3 n3 = 2 dans la strate 2 ;dans la strate 3. Figure3.2 –Echantillonnage strati?é : à gauche la population, à droitel’échantillon.
Comment calculer la précision d’un sondage ?
- La précision dépend également de la variance de la variable d’intérêt ?2 (ouS2) dansla base de sondage. C’est une condition naturelle : plus une population est homogène(variance faible), plus le sondage y est e?cace.
![Sondage aléatoire simple à probabilités égales Sondage aléatoire simple à probabilités égales](https://pdfprof.com/Listes/38/22227-38chapitre1.pdf.pdf.jpg)
Introduction
Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remiseComparaison des prélèvements PEAR et PESRSondage aléatoire simple à probabilités égales
Myriam Maumy-Bertrand
1 1IRMA, Université de Strasbourg
Strasbourg, France
Master 1ère Année 26-09-2013
Myriam Maumy-BertrandSondage aléatoire simple à probabilités égalesIntroduction
Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remiseComparaison des prélèvements PEAR et PESRCe chapitre s"appuie essentiellement sur trois livres :
" éléments de statistiques », de Jean-Jacques Droesbeke, Université de Bruxelles, 2001." Les techniques de sondage » de Pascal Ardilly, éditions Technip, 2006." Exercices corrigés de méthodes de sondage » de Pascal Ardilly et de Yves Tillé,éditions Ellipses, 2003.
Myriam Maumy-BertrandSondage aléatoire simple à probabilités égalesIntroduction
Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise Comparaison des prélèvements PEAR et PESRSommaire1Introduction
2Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise
3Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise
4Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
Myriam Maumy-BertrandSondage aléatoire simple à probabilités égalesIntroduction
Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise Comparaison des prélèvements PEAR et PESRDéfinition Un sondage aléatoire est simple (SAS) si tous les échantillons de taille n fixée a priori, prélevés au sein d"une population U d"effectif N, sont réalisables avec la même probabilité.Remarque Dans ce cas, les individus de la populationUont tous la même probabilité d"être choisis pour faire partie de l"échantillonS:leurprobabilité d"inclusionest une constante.Myriam Maumy-BertrandSondage aléatoire simple à probabilités égales
Introduction
Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise Comparaison des prélèvements PEAR et PESRRemarque Rappelez ce qu"est uneprobabilité d"inclusion!Réponse Vous pouvez trouver une définition p:51 dans le livre de Ardilly ou alors en allant regarder sur le lien internet suivant : " images.math.cnrs.fr/pdf2006/Lejeune.pdf » ou encore en consultant le cours intitulé " Notations ».Remarque Si nous reprenons le choix d"une seule observation, chaque individu de la populationUa une probabilité égale à 1=Nd"êtreprélevé dans la populationUafin de constituer l"échantillonS.Myriam Maumy-BertrandSondage aléatoire simple à probabilités égales
Introduction
Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remiseComparaison des prélèvements PEAR et PESRIl y a deux méthodes pour sélectionner des individus pour
constituer un échantillonS.La première méthode Elle consiste à replacer chaque valeur observée dans la populationUavant le tirage suivant et celanfois de suite. )Prélèvementavec remise. Ce type de sondage est dit sondage à probabilités égales avec remise (PEAR).La deuxième méthode Elle consiste à ne pas remettre l"individu dans la populationUà chaque tirage. )Prélèvementsans remise. Ce type de sondage est dit sondage à probabilités égales sans remise (PESR). Myriam Maumy-BertrandSondage aléatoire simple à probabilités égalesIntroduction
Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise Comparaison des prélèvements PEAR et PESRQuelques propriétés et remarquesEstimateur de la moyenne
Estimateur du total
Estimateur de la variance
RemarqueSommaire
1Introduction
2Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise
3Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise
4Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
Myriam Maumy-BertrandSondage aléatoire simple à probabilités égalesIntroduction
Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise Comparaison des prélèvements PEAR et PESRQuelques propriétés et remarquesEstimateur de la moyenne
Estimateur du total
Estimateur de la variance
RemarquePropriété
Dans ce cas, il y a N
néchantillonsSpossibles.Remarques Un même individu peut-être sélectionné plusieurs fois!À chaque tirage, la populationUest toujoursla même.Myriam Maumy-BertrandSondage aléatoire simple à probabilités égales
Introduction
Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise Comparaison des prélèvements PEAR et PESRQuelques propriétés et remarquesEstimateur de la moyenne
Estimateur du total
Estimateur de la variance
RemarqueChaque valeur observée est priseindépendammentdes autres.Propriété L"échantillonSest alors considéré comme une suite de variables aléatoiresindépendantes et équidistribuées fY1;:::;Yng, où Yiest la valeur observée pour le i-ème individu sélectionné, telles que8i=1;:::;nE[Yi] =Y=YetVar[Yi] =2Y;
oùYest la moyenne de la population U et2Yla variance de la population U. Myriam Maumy-BertrandSondage aléatoire simple à probabilités égalesIntroduction
Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise Comparaison des prélèvements PEAR et PESRQuelques propriétés et remarquesEstimateur de la moyenne
Estimateur du total
Estimateur de la variance
RemarqueDéfinition
Un estimateur classique de la moyenned"une population U se définit par : bn=1n X i2SY i:PropriétéUn calcul direct montre que :
E(bn) =YetVar(bn) =2Yn
Myriam Maumy-BertrandSondage aléatoire simple à probabilités égalesIntroduction
Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise Comparaison des prélèvements PEAR et PESRQuelques propriétés et remarquesEstimateur de la moyenne
Estimateur du total
Estimateur de la variance
RemarqueRemarques
L"avant dernière égalité de la dernière propriété implique quebnest un estimateur sans biais de la moyenneYde la populationU.Dans l"expression de la variance debn, nous remarquons que le terme de la variance2Yde la populationU intervient. Or, dans la plupart des cas, nous ne connaissons pas la variance2Yde la populationU. Nous serons donc amené à construire un estimateur de la variance debn.Myriam Maumy-BertrandSondage aléatoire simple à probabilités égalesIntroduction
Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise Comparaison des prélèvements PEAR et PESRQuelques propriétés et remarquesEstimateur de la moyenne
Estimateur du total
Estimateur de la variance
RemarqueDéfinition
Un estimateur de la variance debnse définit par :Var[bn] =S2n;cn
où S2n;cdésigne la variance corrigée de l"échantillonS.Propriété
Un calcul direct montre que :
E h\Var[bn]i =2Yn Myriam Maumy-BertrandSondage aléatoire simple à probabilités égalesIntroduction
Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise Comparaison des prélèvements PEAR et PESRQuelques propriétés et remarquesEstimateur de la moyenne
Estimateur du total
Estimateur de la variance
RemarqueRemarques
Rappelons que la variance corrigéeS2n;cde l"échantillonS se définit par : S2n;c=1n1X
i2S(Yibn)2et queS2n;cest un estimateur sans biais de la variance2Yde la populationU.De cette dernière propriété, nous en déduisons queS2n;c=n
est un estimateur sans biais de la variance debn.Myriam Maumy-BertrandSondage aléatoire simple à probabilités égales
Introduction
Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise Comparaison des prélèvements PEAR et PESRQuelques propriétés et remarquesEstimateur de la moyenne
Estimateur du total
Estimateur de la variance
RemarqueDéfinition
Un estimateur classique du total T
Yd"une population U se
définit par : bTn=Nbn=Nn
X i2SY i:PropriétéUn calcul direct montre que
E bTn =TYetVarbTn =N22Yn Myriam Maumy-BertrandSondage aléatoire simple à probabilités égalesIntroduction
Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise Comparaison des prélèvements PEAR et PESRQuelques propriétés et remarquesEstimateur de la moyenne
Estimateur du total
Estimateur de la variance
RemarqueRemarques
L"avant dernière égalité de la dernière propriété implique quebTnest un estimateur sans biais du totalTYde la populationU.Dans l"expression de la variance de bTn, nous remarquons que le terme de la variance2Yde la populationU intervient. Or, dans la plupart des cas, nous ne connaissons pas la variance2Yde la populationU. Nous serons donc amené à construire un estimateur de la variance debTn.Myriam Maumy-BertrandSondage aléatoire simple à probabilités égalesIntroduction
Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise Comparaison des prélèvements PEAR et PESRQuelques propriétés et remarquesEstimateur de la moyenne
Estimateur du total
Estimateur de la variance
RemarqueDéfinition
Un estimateur de la variance de
bTnse définit par :VarbTn
=N2S2n;cn où S2n;cdésigne la variance corrigée de l"échantillonS.Propriété
Un calcul direct montre que :
E \VarbTn =N22Yn Myriam Maumy-BertrandSondage aléatoire simple à probabilités égalesIntroduction
Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise Comparaison des prélèvements PEAR et PESRQuelques propriétés et remarquesEstimateur de la moyenne
Estimateur du total
Estimateur de la variance
RemarqueRemarque
De cette dernière propriété, nous en déduisons queN2S2n;cn est un estimateur sans biais de la variance de bTn.Myriam Maumy-BertrandSondage aléatoire simple à probabilités égalesIntroduction
Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise Comparaison des prélèvements PEAR et PESRQuelques propriétés et remarquesEstimateur de la moyenne
Estimateur du total
Estimateur de la variance
RemarqueDéfinition
Un estimateur classique de la variance2Yd"une population U se définit par : S2n;c=1n1X
i2S(Yibn)2.PropriétéDes calculs montrent que :
E S2n;c =2Y et Var S2n;c =1n(n1) (n1)Y;4(n3)4Y Myriam Maumy-BertrandSondage aléatoire simple à probabilités égalesIntroduction
Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise Comparaison des prélèvements PEAR et PESRQuelques propriétés et remarquesEstimateur de la moyenne
Estimateur du total
Estimateur de la variance
RemarqueRemarques
L"avant dernière égalité de la dernière propriété implique queS2n;cest un estimateur sans biais de la variance2Yde la populationU.Dans l"expression de la variance deS2n;c, nous remarquons que le terme4, qui est le carré de la variance de la populationU, intervient ainsi que le moment d"ordre 4, Y;4. Or, dans la plupart des cas, nous ne connaissons ni4Y, niY;4. Nous serons donc amené à construire un
estimateur de la variance deS2n;c, si besoin est.Myriam Maumy-BertrandSondage aléatoire simple à probabilités égales
Introduction
Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise Comparaison des prélèvements PEAR et PESRQuelques propriétés et remarquesEstimateur de la moyenne
Estimateur du total
Estimateur de la variance
RemarqueLeprélèvement avec remiseest susceptible de fournir plusieurs fois un individu de la population. Deux situations seprésentent.Lesntirages fournissentnindividus distincts.Dans ce cas,Scorrespond à un sous-ensemble deUde taille
n. Les définitions debn,bTnetS2csont équivalentes si nous renumérotons les individus de la populationUde telle sorte que S=f1;:::;ng:Myriam Maumy-BertrandSondage aléatoire simple à probabilités égalesIntroduction
Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise Comparaison des prélèvements PEAR et PESRQuelques propriétés et remarquesEstimateur de la moyenne
Estimateur du total
Estimateur de la variance
RemarqueLesntirages fournissentmindividus, oùm autant de fois qu"elles ont été recueillies.Le second consiste de prendre la moyenne desmvaleurs Nous montrons que, en moyenne,bmest encore égal àY.Myriam Maumy-BertrandSondage aléatoire simple à probabilités égalesIntroduction
Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise Comparaison des prélèvements PEAR et PESRDéfinition Estimateur de la moyenne
Estimateur du total
Estimateur de la varianceSommaire
1Introduction
2Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise
3Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise
4Comparaison des prélèvements PEAR et PESR
Myriam Maumy-BertrandSondage aléatoire simple à probabilités égales Introduction
Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise Comparaison des prélèvements PEAR et PESRDéfinition Estimateur de la moyenne
Estimateur du total
Estimateur de la varianceDéfinition
Un sondage aléatoire simple estsans remisesi l"observation prélevée au i-ème tirage n"est pas replacée dans la population avant les prélèvements suivants. Ce type de sondage est appelé un sondage à probabilités égales sans remise (PESR)Remarque Un individu est choisi au plus une fois, chaque tirage fait décroître la populationUd"une unité. )Les observations ne sont plus des variables aléatoires indépendantes les unes des autres. Myriam Maumy-BertrandSondage aléatoire simple à probabilités égales Introduction
Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise Comparaison des prélèvements PEAR et PESRDéfinition Estimateur de la moyenne
Estimateur du total
Estimateur de la varianceDéfinition
Un estimateur classique de la moyenned"une population U se définit par : bn=1n n X i=1Y i:Propriété Des calculs (Ardilly, p :259-261) montrent que :
E(bn) =Y;
et Var(bn) =NnN1
2Yn = (1f)NN1 2Yn = (1f)2Y;cn Myriam Maumy-BertrandSondage aléatoire simple à probabilités égales Introduction
Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise Comparaison des prélèvements PEAR et PESRDéfinition Estimateur de la moyenne
Estimateur du total
Estimateur de la varianceRemarques
L"avant dernière égalité de la dernière propriété implique quebnest un estimateur sans biais de la moyenneYde la population.Si la tailleNde la populationUest grande, la variance de bnvaut : Var(bn)(1f)2Yn
Dans l"expression de la variance debn, nous remarquons que le terme de la variance corrigée2Y;cde la population Uintervient. Or, dans la plupart des cas, nous ne
connaissons pas la variance corrigéeS2n;cde la population U. Nous serons donc amené à construire un estimateur de la variance debn.Myriam Maumy-BertrandSondage aléatoire simple à probabilités égales Introduction
Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise Comparaison des prélèvements PEAR et PESRDéfinition Estimateur de la moyenne
Estimateur du total
Estimateur de la varianceRemarques
Rappelons que la variance corrigéeS2n;cde l"échantillonS se définit par : S 2n;c=1n1n
X i=1(Yibn)2 et queS2n;cest un estimateur sans biais de la variance corrigée2Y;cde la populationU.De cette dernière propriété, nous en déduisons que (1f)S2n;cn est un estimateur sans biais de la variance de bn.Myriam Maumy-BertrandSondage aléatoire simple à probabilités égales Introduction
Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise Comparaison des prélèvements PEAR et PESRDéfinition Estimateur de la moyenne
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