Université Denis Diderot Paris 7 Semestre Février-juin 2005 CoursCours d"arithm´etique (M1)
(Marc Hindry : hindry@math.jussieu.fr ) PLANPremi`ere partie : structures finiespage 3
Rappels surZ/mZ, (Z/mZ)?etFq. page 3
La structure des groupes (Z/mZ)?etFq. page 5
Symboles de Legendre et Jacobi). page 7
Sommes de Gauss.page 9
Applications au nombre de solutions d"´equations. page 12 Applications I : algorithmes, primalit´e et factorisation.page 16Algorithmes de base.page 16
Cryptographie, RSA.page 17
Test de Primalit´e (I).page 19
Test de Primalit´e (II).page 22
Factorisation.page 25
Applications II : Codes correcteurs.page 28
G´en´eralit´es sur les codes correcteurs. page 28Codes lin´eaires cycliques. page 31
Deuxi`eme partie : Alg`ebre et ´equations diophantiennes.page 36Sommes de carr´es.page 36
Equation de Fermat (n= 3 et 4). page 41
Equation de Pell-Fermatx2-dy2= 1. page 43
Anneaux d"entiers alg´ebriques. page 49
Troisi`eme partie : th´eorie analytique des nombrespage 55 Enonc´es et estimations "´el´ementaires". page 55 Fonctions holomorphes (r´esum´e/rappels). page 58 Caract`eres et th´eor`eme de Dirichlet. page 63Le th´eor`eme des nombres premiers. page 68
1BIBLIOGRAPHIE(comment´ee subjectivement)
D. Perrin,Cours d"alg`ebre, Ellipses. (excellent livre particuli`erement recommand´e pour la pr´eparation `a
l"agr´egation)M. Demazure,Cours d"alg`ebre, Cassini, Paris, 1997. (surtout pour la partie "structures finies" et algorithmes)
K. Ireland, M. Rosen,A classical introduction to modern number theory, Graduate texts in math. 84,Springer, 1982. (comme le titre l"indique...)
P. Samuel,th´eorie alg´ebrique des nombres, Hermann. (traite les anneaux de Dedekind `a un niveau un peu
plus ´elev´e que ce cours - deuxi`eme partie - mais si bien ´ecrit. Un classique)A. Baker,Transcendental Number Theory, Cambridge University Press, 1975. (les toutes premi`eres pages
d´emontrent la transcendance deeetπ, le reste du livre est plus sp´ecialis´e) ...et mes livres pr´ef´er´es : G. H. Hardy and E. M.Wright,An introduction to the theory of numbers, Oxford University Press, 4thed.,1960. (pr´esentation de la plupart des sujets de th´eorie des nombres `a un niveau ´el´ementaire, tr`es at-
trayant!)J.-P. Serre,Cours d"arithm´etique, Presses Universitaires de France, 1970. (Un classique insurpassable.
J"utiliserai le d´ebut sur les corps finis, la loi de r´eciprocit´e et la partie th´eorie analytique pour les s´eries
et th´eor`eme de Dirichlet)Borevich, Shafarevich,Th´eorie des nombres(traduit du russe), Gauthier-Villars. (Un tr`es joli livre qui,
mˆeme s"il d´emarre `a un niveau ´el´ementaire, est d"un niveau plus ´elev´e que ce cours)
2 Universit´e Denis Diderot Paris 7, Semestre F´evrier-juin 2004Cours de maˆıtrise : arithm´etique
Premi`ere partie : Structures finies Z/nZ,(Z/nZ)?, Fq, F?q.A. Rappels surZ/nZ, (Z/nZ)?,Fq,F?q.
B. La structure des groupes (Z/nZ)?etF?q.
C. Symboles de Legendre et Jacobi.
D. Sommes de Gauss.
E. Applications au nombre de solutions d"´equations.A. Rappels sur Z/nZ,(Z/nZ)?, Fq, F?q.
La th´eorie des congruences am`ene, pour chaque entiersn≥2, `a consid´erer l"anneauZ/nZainsi que le
groupe de ses ´el´ements inversibles (pour la multiplication)(Z/nZ)?. Pour chaque puissance d"un nombre
premierq=pf, il existe un corps fini de cardinalq, unique `a isomorphisme pr`es, not´eFq. Nous rappelons
la construction de ces objets et pr´ecisons leurs principales propri´et´es.Le groupeZest l"unique groupe (`a isomorphisme pr`es) qui est cyclique (engendr´e par un ´el´ement) et infini.
Tous ses sous-groupes sont du typemZpourm≥0. L"ensembleZest ´egalement muni d"une multiplication
qui en fait un anneau commutatif. Dans cet anneau on a la notion de divisibilit´e et de PGCD et PPCM.
Dans le cas deZla notion d"id´ealco¨ıncide avec celle de sous-groupe. On peut en d´eduire facilement le
th´eor`eme suivant Th´eor`eme.(B´ezout)Soitm,n?Zet soitdleur PGCD, alors il existeu,v?Ztels que d=um+vn. Preuve. L"ensembleH:=mZ+nZ={um+vn|u,v?Z}est clairement un sous-groupe; il est donc de la formed?Zet il existeu,vtels qued?=um+vn. Commeddivisemetn, on voit queddiviseum+vn=d? maism,nappartiennent `aHdoncd?divisemetndoncd?divise ´egalementdet on conclut quedZ=d?Z(on aura mˆemed=d?si l"on a pris soin de les prendre tous les deux positifs).Le groupeZ/nZest l"unique groupe cyclique `an´el´ements (`a isomorphisme pr`es) i.e. engendr´e par un
´el´ement d"ordren. On peut d´ej`a ´etudier ses g´en´erateursProposition.Soitm?Zet¯msa classe dansZ/nZ, les trois propri´et´es suivantes sont ´equivalentes
(i) L"´el´ement¯mest un g´en´erateur deZ/nZ. (ii) Les ´el´ementsmetnsont premiers entre eux.(iii) L"´el´ement¯mest inversible modulon, c"est-`a-dire qu"il existem??Ztel quemm?≡1modnou encore
¯m¯m?= 1?Z/nZ.
Preuve. Supposons que ¯mengendreZ/nZalors il existem??Ztel quem?¯m= 1?Z/nZ; ainsimm?≡1modnce qui signifie quemest inversible modulon. Simm?≡1modnalorsmm?= 1 +anet doncm
est premier avecn. Simest premier avecnalors, d"apr`es le th´eor`eme de B´ezout, il existea,btels que
am+bn= 1 donca¯m= 1?Z/nZet donc ¯mengendreZ/nZ.Exercice. Montrer que si, dans un groupe commutatif, l"ordre dex1estd1, l"ordre dex2estd2avecd1et
d2premiers entre eux, alors l"ordre dex1x2estd1d2. Montrer ´egalement que si, dans un groupe cyclique,
l"ordre dex1estd1, l"ordre dex2estd2, alors l"ordre du sous-groupe engendr´e parx1etx2est ´egal au
PPCM ded1etd2.
Le groupe des ´el´ements inversibles de l"anneauZ/nZest ´egal `a (Z/nZ)?={¯m?Z/nZ|mest premier avecn}={g´en´erateurs deZ/nZ}. D´efinition.On noteφ(n) := card(Z/nZ)?l"indicatrice d"Euler. 3On en d´eduit facilement que, sipest premier,φ(pr) =pr-pr-1= (p-1)pr-1. Le calcul en g´en´eral deφ(n)
se fait grˆace au lemme classique suivant. Proposition.(Lemme chinois)Soitm,n?Z, supposonsmetnpremiers entre eux, alors les groupes Z/mnZetZ/mZ×Z/nZsont naturellement isomorphes. De plus cet isomorphisme est aussi un isomorphismed"anneaux et, par cons´equent induit un isomorphisme entre(Z/mnZ)?et(Z/mZ)?×(Z/nZ)?. En particulier
φ(mn) =φ(m)φ(n).
Preuve. Consid´erons l"applicationf:Z→Z/mZ×Z/nZdonn´ee parx?→(xmodm,xmodn). C"est un
homomorphisme de groupe de noyau ppcm(m,n)Z, d"o`u une injection f:Z/ppcm(m,n)Z?→Z/mZ×Z/nZ.Commemetnsont suppos´es premiers entre eux, on a ppcm(m,n) =mnet, pour des raisons de cardinalit´e,
l"homomorphisme ˆfdoit ˆetre un isomorphisme. De mani`ere g´en´erale, siAetBsont des anneaux, on a(A×B)?=A?×B?d"o`u la deuxi`eme assertion.Rappelons que, d"apr`es le th´eor`eme de Lagrange l"ordre d"un sous-groupe divise toujours l"ordre du groupe.
La description des sous-groupes deZ/nZest assez simple.Proposition.Pour chaque entierd≥1divisantn, il existe un unique sous-groupe deZ/nZd"ordred, c"est
le sous-groupe cyclique engendr´e par la classe den/ddansZ/nZ. Preuve. Supposonsn=dd?alors l"´el´ementx=¯d??Z/nZest d"ordredcar clairementdx= 0 et, si cx= 0 alorsndivisecd?doncddivisec. Soit maintenantHun sous-groupe deZ/nZd"ordred. Notonss:Z→Z/nZla surjection canonique. On sait ques-1(H) =mZest engendr´e parmdoncHest engendr´e
par ¯m?Z/nZ. On ad¯m= 0 doncndivisedmdoncd?divisemdonc le sous-groupeHest contenu dans lesous-groupe engendr´e par¯d?et donc ´egal `a ce sous-groupe.Comme application, on peut en tirer la formule (que nous utiliserons plus bas)
n=? d|nφ(d).En effet on ´ecritZ/nZcomme union (disjointe) des ensembles d"´el´ements d"ordredpourddivisantn. Le
nombre de ces ´el´ements est le nombre de g´en´erateurs de l"unique sous-groupe de cardinald, et comme ce
dernier est isomorphe `aZ/dZ, le nombre de g´en´erateurs estφ(d).Un corps finikest n´ecessairement de caract´eristique finie ´egale `apun nombre premier et contient donc
Z/pZ=Fp(l"homomorphismeZ→ka pour noyaunZavecn >0 et commeZ/nZ?→kon doit avoir npremier). La dimension deksurFp, commeFp-espace vectoriel est finie, ´egale disons `afet donccard(k) =pf. On observe que card(k?) =pf-1 donc tous les ´el´ements dek?v´erifientxpf-1= 1 et donc
tous les ´el´ements dekv´erifientxpf=x. Inversement on peut en d´eduire une construction d"un corps `a
p f´el´ements ainsi : on consid`ere une extensionKdeFp=Z/pZdans laquelle le polynˆomeP=Xpf-X est scind´e et on posek:={x?K|P(x) = 0}. CommeP?(X) =-1, les racines dePsont simples etcard(k) = deg(P) =pf; de pluskest un sous-corps deKcar, en caract´eristiquep, l"application "Frobenius"
d´efinie parφ:x?→xpest un homomorphisme de corps de mˆeme queφf. C"est-`a-dire que l"on a :
(xy)p=xpypet (x+y)p=xp+yp.D"apr`es les th´eor`emes g´en´eraux de th´eorie des corps le corpskde cardinalpfest donc unique `a isomorphisme
pr`es, on le noteFpf. R´esumons cela dans un ´enonc´e. Th´eor`eme.Soitppremier etf≥1, notonsq=pf. Il existe un corps fini de cardinalq, unique `a isomorphisme pr`es. Les ´el´ements deFqsont les racines du polynˆomeXq-X?Z/pZ[X]. 4 Corollaire.Soitq=pfetFqcomme ci-dessus. Les sous-corps deFqsont isomorphes `a unFpdavecddivisantf. Inversement siddivisefil existe un unique sous-corps deFqisomorphe `aFpd: c"est l"ensemble
des ´el´ements v´erifiantxpd=x. Preuve. Si l"on aFp?k?Fqalors on a card(k) =pdavecd= [k:Fp] etk≂=Fpd; de plusf= [Fq: F p] = [Fq:k][k:Fp] doncddivisef. Inversement siddivisef(disonsf=ed), tout ´el´ement (dans uneextension deFp) v´erifiantxpd=xv´erifiexpf=xped=xdonc est dansFqet ces ´el´ements forment un
sous-corps isomorphe `aFpd.En pratique on construit les corpsFpfainsi : on choisit un polynˆome unitaire, de degr´ef, irr´eductible
P?Fp[X] (pourquoi existe-t-il?) et on d´ecritFpfcommeFp[X]/PFp[X] ; un ´el´ement deFpfpeut ˆetre
multiplication est simplement la multiplication de polynˆomes suivie par l"op´eration consistant `a prendre le
reste dans la division euclidienne parP. Par exemple : FB. La structure des groupes(Z/nZ)?et F?q.
Commen¸cons par montrer le r´esultat suivant. Lemme.Soitkun corps commutatif etGun sous-groupe fini dek?, alorsGest cyclique. En particulier (Z/pZ)?ou plus g´en´eralementF?qest cyclique. Preuve. Notonsn:= card(G) etψ(d) le nombre d"´el´ements d"ordreddansG. On a clairementn=?d|nψ(d). Soitddivisantn, ou bien il n"y a pas d"´el´ement d"ordreddansGauquel casψ(d) = 0, ou bien il
en existe un qui engendre alors un sous-groupe cycliqueHd"ordred. Tous les ´el´ements deHsont solutions
de l"´equationXd= 1, mais, commekest un corps commutatif, une telle ´equation poss`ede au plusdracines
dansk; tous les ´el´ements d"ordredsont donc dansHet il en aφ(d) puisqueH≂=Z/dZ. Ainsiψ(d) vaut
z´ero ouφ(d), mais commen=? d|nψ(d) =? d|nφ(d), on voit queψ(d) =φ(d) pour toutddivisantn.En particulierψ(n) =φ(n)≥1, ce qui implique bien queGest cyclique.D"apr`es ce que nous avons vu, sin=pα11...pαssalors
et en particulierφ(n) =φ(pα11)...φ(pαss) =s?
i=1? pαii-pαi-1 i?=ns? i=1? 1-1p i? Il reste `a d´ecrire la structure des groupes (Z/pαZ)?.Proposition.Soitppremier etα≥1alors
(i) Sipest impair(Z/pαZ)?est cyclique.(ii) Sip= 2etα≥3alors(Z/2αZ)?≂=Z/2α-2Z×Z/2Zn"est pas cylique. Par contre(Z/2Z)?={1}et
(Z/4Z)?≂=Z/2Zsont cycliques.Preuve. Siα= 1 on a vu que (Z/pZ)?=F?p´etait cyclique. Lorsqueα >1 nous allons utiliser l"´el´ement
p+ 1. Lemme.Soitppremier impair, la classe dep+ 1dans(Z/pαZ)?est d"ordrepα-1. Preuve du lemme. Montrons d"abord par r´ecurrence la congruence (p+ 1)pk≡1 +pk+1modpk+2. 5Pourk= 0, la congruence est triviale. Pourk= 1, on a (p+1)p≡1+C1pp+C2pp2≡1+p2+p3(p-1)/2modp3
et ce dernier est bien sˆur congru `a 1 +p2sipest impair (remarquer cependant que 32?≡1 + 22mod23).
Supposons donck≥1 et (p+1)pk-1= 1+pk+apk+1alors (p+1)pk=?1 +pk+apk+1?p≡1+p(pk+apk+1)≡1 +pk+1modpk+2puisque 1 + 2k≥k+ 2. En particulier, on voit que (p+ 1)pα-1≡1modpαmais
(p+ 1)pα-2≡1 +pα-1?≡1modpα, ce qui implique bien quep+ 1 est d"ordrepα-1dans (Z/pαZ)?.
On peut maintenant terminer la preuve de la proposition pourpimpair. Soitx?Ztel quexmodulopengendre (Z/pZ)?i.e. est d"ordrep-1 dans (Z/pZ)?; alors ¯xest d"ordrem(p-1) dans (Z/pαZ)?et donc
y= ¯xmest d"ordre exactementp-1 dans (Z/pαZ)?. L"´el´ementy(p+ 1) est donc d"ordrepα-1(p-1) donc
est un g´en´erateur de (Z/pαZ)?(carpα-1etp-1 sont premiers entre eux).Lemme.Soitα≥3, la classe de 5 dans(Z/2αZ)?est d"ordre2α-2. De plus la classe de-1n"appartient
pas au sous-groupe engendr´e par la classe de5. Preuve du lemme. On montre d"abord par r´ecurrence que 52k≡1 + 2k+2mod2k+3.
La congruence est triviale pourk= 0, pourk= 1 on v´erifie 25 = 52≡1 + 23= 9mod24. Supposons donc que 52k-1= 1 + 2k+1+a2k+2alors 52k= (1 + 2k+1+a2k+2)2= 1 + 2(2k+1+a2k+2) + 22(k+1)(1 +
2a)2≡1 + 2k+2mod2k+3. En particulier 52α-2≡1mod2αmais 52α-3≡1 + 2α-1?≡1mod2αdonc 5
est bien d"ordre 2 α-2. Supposons que 5β≡ -1mod2αalors 52β≡1mod2αdonc 2α-2divise 2βdonc 2α-3diviseβou encoreβ=γ2α-3. Comme 5 est d"ordre 2α-2, on peut consid´ererβcomme un entier
modulo 2α-2et doncγmodulo 2. L"entierγdoit ˆetre impair donc on peut le supposer ´egal `a 1, c"est-`a-dire
52α-3≡1mod2α, mais 52α-3≡1+2α-1mod2αdonc-1≡1+2α-1mod2αou encore 2+2α-1≡0mod2α
soit 1 + 2α-2≡0mod2α-1, ce qui n"est pas possible.Pour la d´emonstration de la deuxi`eme partie de la proposition, on peut supposerα≥3 (en effet le calcul
de (Z/2Z)?et (Z/4Z)?est imm´ediat). La classe de 5 engendre donc un sous-groupe isomorphe `aZ/2α-2Z
et-1 engendre un sous-groupe d"ordre 2 non contenu dans le pr´ec´edent donc (Z/2αZ)?=?5? ? ?-1?≂=
Z/2α-2Z×Z/2Z.Exercice. Montrer que si la classe dex?Zengendre (Z/p2Z)?alors elle engendre aussi (Z/pαZ)?(pourp
impair).Remarque. Le sous-groupe quaternioniqueH8={±1,±i,±j,±k}est un sous-groupe fini du groupe multi-
plicatif du corps des quaternionsHmais n"est pas cyclique (cela ne contredit pas le lemme vu carHn"est
pas commutatif).Applications. On peut d´eduire des ´enonc´es pr´ec´edents le nombre de solutions de l"´equationxm= 1 dansF?qou (Z/NZ)?, ainsi que le nombre de puissancem-i`emes. En effet, dans un groupe cyclique de cardinaln,
disonsG=Z/nZle nombre d"´el´ements v´erifiantmx= 0 est ´egal `ad:= pgcd(m,n) : en observant que simet
nsont premiers entre eux alors la multiplication parnest un isomorphisme, on voit que{x?Z/nZ|mx= 0} est ´egal `a{x?Z/nZ|dx= 0}et, puisqueddivisen, ce dernier ensemble est le sous-groupe cyclique de cardinalddansZ/nZ. R´esumons cela dans le lemme suivant : Lemme.SoitGun groupe cyclique de cardinalnetfl"homomorphisme deGdansGd´efini parx→xm. Le noyau defest cyclique de cardinalpgcd(m,n)et l"image def(l"ensemble des puissancesm-i`emes est cyclique de cardinaln/pgcd(m,n). En appliquant cela `aG=F?qouG= (Z/pαZ)?on obtient la premi`ere partie de la proposition suivanteProposition.Soitmun entier≥1alors
(1) On a les formules suivantes (pourpimpair) card{x?F?q|xm= 1}= pgcd(m,q-1)etcard{x?(Z/pαZ)?|xm= 1}= pgcd(m,(p-1)pα-1). 6 (2) Plus g´en´eralement siN=pα11...pαrrest impair : card{x?(Z/NZ)?|xm= 1}=r? i=1pgcd(m,(pi-1)pαi-1 i).Preuve. Les formules de (1) r´esultent des consid´erations pr´ec´edentes et du fait queF?qet (Z/pαZ)?sont
cycliques. La formule (2) se d´eduit de la pr´ec´edente et du lemme chinois. En effet six?Zalorsxm≡1modN
cardF?mq= card{x?F?q| ?y?F?q, x=ym}=q-1pgcd(m,q-1)Par exemple, siqest impair on a (F?q:F?2q) = 2.
Exercice. Montrer que siNest pair etmimpair, la derni`ere formule de la proposition reste correcte. Comment faut-il la modifier lorsqueNetmsont pairs?C. Symboles de Legendre et Jacobi.
On se propose ici d"´etudier particuli`erement les carr´es, i.e. le casm= 2du paragraphe pr´ec´edent.
Commen¸cons par une remarque. L"applicationx?→x2est un isomorphisme deF2surF2ou plus g´en´era-
lement deF2fsurF2f; il est donc naturel, pour ´etudier les carr´es de se placer dans l"hypoth`esep?= 2 et
c"est ce que nous faisons. D´efinition.On d´efinit lesymbole de Legendreainsi poura?Z(etp?= 2) : ap ?0 sia≡0modp +1 siaest un carr´e non nul modp -1 sian"est pas un carr´e modpRemarque. Il est clair que
ap ne d´epend que deamodp; on s"autorisera donc `a continuer `a utiliser la mˆeme notation lorsquea?Fp. Si? ap = +1, on dira queaest unr´esidu quadratique; si? ap =-1, on dira queaest unnon-r´esidu quadratique. Th´eor`eme.Le symbole de Legendre v´erifie les propri´et´es suivantes (i) Poura,b?Zon a?abp =?ap bp (ii) Pour touta?Zon a : a (p-1)/2≡?ap modp (iii) Pour toutp?= 2on a : ?-1p = (-1)(p-1)/2et?2p = (-1)(p2-1)/8.En particulier-1est un carr´e modulop(resp. n"est pas un carr´e) sip≡1mod4(resp.p≡3mod4) et
2est un carr´e modulop(resp. n"est pas un carr´e) sip≡ ±1mod8(resp.p≡ ±3mod8).
(iv) (Loi de r´eciprocit´e quadratique)?qp pq = (-1)(p-1)(q-1)4 7Preuve. La multiplicativit´e (i) est claire sipdiviseaoubcar alors les deux termes sont nuls. Sia,b?F?palors la formule vient de ce queF?p/F?2pest de cardinal 2, donc le produit de deux non-r´esidus quadratiques
est un r´esidu quadratique. Pour prouver (ii) observons que, sipdiviseala formule est ´evidente, que si
a=b2?F?2palorsa(p-1)/2=bp-1= 1 qui est bien ´egal `a? ap ; si? ap =-1 consid´eronsgun g´en´erateur de F ?p, alors?gp =-1 eta=gmavecmimpair (sinonaserait un carr´e) donc? ap =?gp m=-1. La premi`erepartie de (iii) d´ecoule de l"´egalit´e (ii) ; pour la deuxi`eme partie on introduitαracine 8-i`eme primitive de
l"unit´e dans une extension deFp, c"est-`a-dire queα8= 1 maisα4?= 1, ce qui ´equivaut `aα4=-1 ou encore
`aα2=-α-2. Posonsβ:=α+α-1alorsβ2=α2+ 2 +α-2= 2 ; ainsi on voit que 2 est un carr´e dansFp
si et seulement siβ?Fp. Or on sait queβ?Fp´equivaut `aβp=β; calculons doncβp=αp+α-p. En
se souvenant queα8= 1 etα4=-1 on voit que, sip≡ ±1mod8 on aβp=βet doncβ?Fpalors que
sip≡ ±3mod8 on aβp=-βet doncβ /?Fp. Nous renvoyons la d´emonstration de la loi de r´eciprocit´e
2 +i⎷2 2Introduisons maintenant une g´en´eralisation pourN=pα11...pαrrimpair, lesymbole de Jacobi
aN :=?ap 1? α1 ...?ap r? αrOn a clairement
?abN ?=?aN bN ?. Les principales autres propri´et´es sontLemme.PourN,Mimpairs, on a:
(i)?-1N ?= (-1)N-12 et?2N ?= (-1)N2-18 (ii)?MN ?= (-1)(N-1)(M-1)4 ?NM Preuve. Ces formules se d´eduisent des formules pourMetNpremiers. En effet ´ecrivonsN=p1...pr (avec r´ep´etition ´eventuelle) alors -1N =r? i=1? -1p i? = (-1)? r i=1(pi-1)/2= (-1)havech´egal au nombre d"indicesiavecpi≡3mod4. par ailleurs, on aN≡3hmod4 doncN≡3mod4 sih
impair etN≡1mod4 sihpair. On v´erifie bien que?r i=1(pi-1)/2 est impair sihest impair et pair sih est pair. De mˆeme on a?2N =r? i=1? 2p i? = (-1)? r i=1(p2 i-1)/8= (-1)ho`uhd´esigne maintenant le nombre d"indicesiavecpi≡ ±3mod8. Dans ce cas, on aN≡ ±3hmod4. On
v´erifie bien que?r i=1(p2i-1)/8 est impair sihest impair et pair sihest pair d"o`u la deuxi`eme formule de (i).Pour prouver (ii), ´ecrivonsM=q1...qsetN=p1...pr(avec r´ep´etition ´eventuelle). Sih(resp.k) est le
nombre d"indicesiavecpi≡3mod4 (resp.qj≡3mod4) on aN-12 impair sihimpair etN-12 pair sihpair (resp. M-12 impair sikimpair etM-12 pair sikpair). On a alors MN =r? i=1s j=1? qjp i? =r? i=1s j=1(-1)(pi-1)(qj-1)/4?piqquotesdbs_dbs27.pdfusesText_33[PDF] Bibliography David DO PAÇO
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