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IntroductionModèle StatistiqueEstimateurs - PropriétésConstruction d"estimateursEstimation par intervalles
Statistique Inférentielle
N. Jégou
Université Rennes 2
Master 1 Mathématiques Appliquées, StatistiquesIntroductionModèle StatistiqueEstimateurs - PropriétésConstruction d"estimateursEstimation par intervalles
Plan du cours
Introduction
Modèle Statistique
Estimateurs - Propriétés
Construction d"estimateurs
Estimation par intervalles
IntroductionModèle StatistiqueEstimateurs - PropriétésConstruction d"estimateursEstimation par intervalles
Bibliographie
Pagès J., Statistique générale pour utilisateurs :1) Méthodologie, PUR (2010)
Husson F. et Pagès J., Statistique générale pour utilisateurs :2) Exercices et corrigés, PUR (2013)
Saporta G., Probabilités, analyse des données et statistiqueEditions TECHNIP (2011)
Wonnacott H. et Wonnacott J., Statistique :
économie-gestion-sciences-médecine, Economica (1999) Monfort A., Cours de statistique mathématique, Economica (1982)IntroductionModèle StatistiqueEstimateurs - PropriétésConstruction d"estimateursEstimation par intervalles
Exemple 1
On souhaite tester l"efficacité d"un médicament n=100 patients atteints prennent le médicament A l"issue de l"étude, 72 patients sont guéris Quelle est la probabilitépde guérison suite au traitement ?On est tenté de considérerp0:72
Questions :
Quel crédit donner à cette proposition ?
Cette idée est-elle cohérente avec une modélisation mathématique ?Le niveau de confiance est faible ? Fort ?
IntroductionModèle StatistiqueEstimateurs - PropriétésConstruction d"estimateursEstimation par intervalles
Exemple 1
On souhaite tester l"efficacité d"un médicament n=100 patients atteints prennent le médicament A l"issue de l"étude, 72 patients sont guéris Quelle est la probabilitépde guérison suite au traitement ?On est tenté de considérerp0:72
Questions :
Quel crédit donner à cette proposition ?
Cette idée est-elle cohérente avec une modélisation mathématique ?Le niveau de confiance est faible ? Fort ?
IntroductionModèle StatistiqueEstimateurs - PropriétésConstruction d"estimateursEstimation par intervalles
Exemple 1
On souhaite tester l"efficacité d"un médicament n=100 patients atteints prennent le médicament A l"issue de l"étude, 72 patients sont guéris Quelle est la probabilitépde guérison suite au traitement ?On est tenté de considérerp0:72
Questions :
Quel crédit donner à cette proposition ?
Cette idée est-elle cohérente avec une modélisation mathématique ?Le niveau de confiance est faible ? Fort ?
IntroductionModèle StatistiqueEstimateurs - PropriétésConstruction d"estimateursEstimation par intervalles
Exemple 2
Des biologistes étudient le développement de poissons Des poissons qui se développent correctement pèsent en moyenne 1 kg Ils prélèventn=20 : leur poids moyen est 949.5 grQuestions :
Faut-il en déduire que les poissons ne se développent pas correctement ? Cette valeur est-elle conforme à un développement normal ?IntroductionModèle StatistiqueEstimateurs - PropriétésConstruction d"estimateursEstimation par intervalles
Exemple 2
Des biologistes étudient le développement de poissons Des poissons qui se développent correctement pèsent en moyenne 1 kg Ils prélèventn=20 : leur poids moyen est 949.5 grQuestions :
Faut-il en déduire que les poissons ne se développent pas correctement ? Cette valeur est-elle conforme à un développement normal ?IntroductionModèle StatistiqueEstimateurs - PropriétésConstruction d"estimateursEstimation par intervalles
Inférence vs descriptive
Les données de l"
échantillon
ne nous intéressent pas en tant que telles Les résumer, les représenter est le domaine de la statistique descriptivePOPULATIONECHANTILLON
Mesures - Description
INFERENCE : probas
IntroductionModèle StatistiqueEstimateurs - PropriétésConstruction d"estimateursEstimation par intervalles
Inférence vs descriptive
Elles nous intéressent car elles donnent une information sur une ensemble plus vaste dont elles proviennent : la p opulation L"opération de "remontée" de l"échantillon à la population est appelée inférence statistique POPULATIONECHANTILLON
Mesures - Description
INFERENCE : probas
IntroductionModèle StatistiqueEstimateurs - PropriétésConstruction d"estimateursEstimation par intervalles
Principe de base de l"inférence
Si l"on prélève un nouveau jeu de données, les nouvelles observations seront différentes des précédentes L"inférence statistique suppose de prendre en compte l"aspect aléatoire des donnéesPOPULATIONECHANTILLON
Mesures - Description
INFERENCE : probas
IntroductionModèle StatistiqueEstimateurs - PropriétésConstruction d"estimateursEstimation par intervalles
Principe de base de l"inférence
L"idée de base est ainsi de considérer ces observations comme issues d"un phénomène aléatoire L"inférence statistique s"appuie donc sur des outils probabilistesPOPULATIONECHANTILLON
Mesures - Description
INFERENCE : probas
IntroductionModèle StatistiqueEstimateurs - PropriétésConstruction d"estimateursEstimation par intervalles
Echantillonnage
La façon de recueillir ces données a une grande importance dans la pratique L"objet n"est pas ici de développer la stratégie selon laquelle l"échantillon a été prélevé (le plan de sondage) : ceci relève de la théorie des sondagesIntroductionModèle StatistiqueEstimateurs - PropriétésConstruction d"estimateursEstimation par intervalles
Echantillonnage
Le principe de base que nous retenons est que chaque individu constitutif de la population doit avoir la même chance de figurer dans l"échantillon L"échantillon doit ainsi être prélevé au hasard ; nous considèrerons le cas standard où les t iragessont supp osés indépendants la population est de taille infinie ou bien le tirage se fait avec remiseIntroductionModèle StatistiqueEstimateurs - PropriétésConstruction d"estimateursEstimation par intervalles
Notations
On considèrenvariables aléatoiresX1;:::;Xn
X1;:::;Xnsont des réplications i.i.d. d"une même variableX de loi inconnue Les données dont on dispose sont des réalisations de ces variables ; elles sont notéesx1;:::;xnAttention !
Xiest une variable aléatoire
xiest un nombreIntroductionModèle StatistiqueEstimateurs - PropriétésConstruction d"estimateursEstimation par intervalles
Notations
On considèrenvariables aléatoiresX1;:::;Xn
X1;:::;Xnsont des réplications i.i.d. d"une même variableX de loi inconnue Les données dont on dispose sont des réalisations de ces variables ; elles sont notéesx1;:::;xnAttention !
Xiest une variable aléatoire
xiest un nombreIntroductionModèle StatistiqueEstimateurs - PropriétésConstruction d"estimateursEstimation par intervalles
Modèle statistique - Définition
Un modèle statistique est un objet mathématique associé à l"observation de données aléatoires On considère d"abord l"expérience aléatoire qui consiste à recueillir une observation xde la variableX Xest supposée être à valeurs dans un espaceXOn ne connait pas la loi de probabilité?deX
IntroductionModèle StatistiqueEstimateurs - PropriétésConstruction d"estimateursEstimation par intervalles
Modèle statistique - Définition
Un principe de la modélisation est de
supp oser que la loi de probabilité?appartient à une famillePde lois de probabilités possibles, d"où la définition suivante :Définition (Modèle statistique) On appelle modèle statistique tout triplet(X;A;P)où X est l"espace des observations, c"est-à-dire l"ensemble de tous les résultats possibles de l"expérienceA est une tribu surX
P est une famille de probabilités sur(X;A)
IntroductionModèle StatistiqueEstimateurs - PropriétésConstruction d"estimateursEstimation par intervalles
Exemples
La définition d"un modèle statistique repose donc sur une hypothèse concernant la famille d"appartenance de la loi deX Cet aspect doit être gardé en mémoire : les résultats que l"on obtient ensuite ne valent que sous cette hypothèseExemple 1
Hyp othèse: X B(p)d"où le modèle associé à une observation deXX=f0;1g A=P(f0;1g)P=fB(p);p2]0;1[g
Exemple 2
Hyp othèse: X N(;2)d"où le modèle associéà une observation deX
X=?A=B(?)P=fN(;2);2?;2?+g
IntroductionModèle StatistiqueEstimateurs - PropriétésConstruction d"estimateursEstimation par intervalles
Modèle discret - Modèle continu
Le modèle est dit
discret lo rsqueXest fini ou dénombrable AlorsAest la tribu formée par l"ensemble des parties deX:A=P(X)
Le modèle est dit
continu lo rsqueX ?pet que8?2 P,? admet une densité dans?p Dans ce cas,Aest la tribu des boréliens deX:A=B(X)Dans l"exemple 1, le modèle est discret
Dans l"exemple 2, le modèle est continu
IntroductionModèle StatistiqueEstimateurs - PropriétésConstruction d"estimateursEstimation par intervalles
Echantillon
Avant d"étendre la définition du modèle ànobservations, on précise la notion d"échantillon. On considère des variables i.i.d. d"où la définition que l"on prend pour un échantillon :Définition (Echantillon) Un échantillon de taillen(oun-échantillon) est une suite X1;:::;Xndenvariables aléatoires indépendantes, de même loi?
IntroductionModèle StatistiqueEstimateurs - PropriétésConstruction d"estimateursEstimation par intervalles
Modèle produit
Len-échantillon définit un vecteur aléatoire(X1;:::;Xn)0de loi? n Avec comme modèle pour une observationM= (X;A;P), le modèle associé à unn-échantillon est lemo dèlep roduit: M n= (Xn;An;f? ng) avecAnune tribu surXnIntroductionModèle StatistiqueEstimateurs - PropriétésConstruction d"estimateursEstimation par intervalles
Exemples
Ainsi dans nos exemples :XAP
Exemple 1f0;1gnP(f0;1gn)fB(p)
n;p2]0;1[gExemple 2? nB(?n)fN(;2) n;2?;2?+gIntroductionModèle StatistiqueEstimateurs - PropriétésConstruction d"estimateursEstimation par intervalles
Modèle paramétrique - Modèle non paramétrique Il s"agit de préciser l"hypothèse faite sur la famille d"appartenance de la loi deX:Définition (Modèle paramétrique - Modèle non paramétrique ) Si la loi deXappartient à une famille de lois indexables par un nombre fini de paramètres, le modèle est dit paramétrique. On note alorsP=f?;2goù2?dest l"espace des paramètres Si la famille d"appartenance de la loi deXn"est pas indexable par un nombre fini de paramètres, on parle alors de modèle non paramétriqueIntroductionModèle StatistiqueEstimateurs - PropriétésConstruction d"estimateursEstimation par intervalles
Paramétrique vs Non paramétrique
Exemples 1 et 2 : modèle paramétrique
Exemple d"hypothèse non paramétrique : la loi deX appartient à la famille des lois continues Avantage : on réduit le risque de mauvaise spécification du modèle Inconvénient : techniques d"inférence plus difficiles Possibilité de tester l"appartenance à une famille paramétriqueIntroductionModèle StatistiqueEstimateurs - PropriétésConstruction d"estimateursEstimation par intervalles
Estimateur
Cadre du cours : Modèle paramétrique
)inférence sur ce(s) paramètre(s) caractéristique(s) de la loi : estimation ponctuelle, estimation par intervalles, tests... Pour cela, on introduit la notion d"estimateur :Définition (Estimateur) Un estimateur deest une fonction mesurable de(X1;:::;Xn), indépendante de, à valeurs dans un sur-ensemble de Un estimateur est une variable aléatoire fonction desXi: =f(X1;X2;:::;Xn)Par exemple :
X1infi=1:::nfXigX=1
nn X i=1X iIntroductionModèle StatistiqueEstimateurs - PropriétésConstruction d"estimateursEstimation par intervalles
Estimateur
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