[PDF] Probabilités et Statistique Probabilités et Statistique. Y.

View - Download Probabilités et Statistique

Previous PDF

Next PDF

Probabilités et Statistique

Y. Velenik- Version préliminaire du 26 octobre 2016 - Dernière version téléchargeable à l"adresse

Table des matières

Table des matières

3

0 Introduction5

0.1 Modélisation des phénomènes aléatoires

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

I Espaces de probabilité discrets

11

1 Probabilité, indépendance

13

1.1 Mesures de probabilité

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2 Quelques résultats combinatoires

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3 Probabilité conditionnelle, formule de Bayes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4 Indépendance

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.5 Expériences répétées

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2 Variables aléatoires discrètes

31

2.1 Variables aléatoires discrètes et leurs lois

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2 Indépendance de variables aléatoires

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3 Vecteurs aléatoires discrets

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4 Espérance, variance, covariance et moments

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3 Marche aléatoire simple surZ55

3.1 Description du processus

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2 Quelques propriétés importantes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.3 Le premier retour au point de départ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.4 La loi de l"arc-sinus pour la dernière visite en?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.5 La loi de l"arc-sinus pour les temps de séjour

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4 Fonctions génératrices

65

4.1 Définition, propriétés

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.2 Application aux processus de branchement

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.3 Application à la marche aléatoire simple surZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.4 Fonction génératrice conjointe

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

II Espaces de probabilité généraux

77

5 Approche axiomatique

79
3

4TABLE DES MATIÈRES

5.1 Construction d"espaces de probabilité

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.2 Variables aléatoires

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.3 Indépendance

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.4 Espérance

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.5 Variables aléatoires à densité

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.6 Processus en temps discret.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6 Fonctions caractéristiques

109

6.1 Définition et propriétés élémentaires

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.2 Théorèmes d"inversion et de continuité

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.3 Quelques exemples classiques

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

7 Théorèmes limites

117

7.1 Un point technique

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

7.2 Quelques outils

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

7.3 Modes de convergence

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

7.4 La loi des grands nombres

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

7.5 Le Théorème Central Limite

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

7.6 La loi?-?de Kolmogorov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

8 Retour aux marches aléatoires

131

8.1 Compléments concernant la marche surZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

8.2 Marche aléatoire simple surZ?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

9 Les chaînes de Markov

141

9.1 Définition et exemples

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

9.2 Chaînes de Markov absorbantes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

9.3 Chaînes de Markov irréductibles

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

10 Modèle de percolation

159

10.1 Définition

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

10.2 Transition de phase

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

11 Le processus de Poisson

165

11.1 Définition et propriétés élémentaires

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

11.2 Autres propriétés

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

12 Introduction à la statistique

183

12.1 Estimateurs

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

12.2 Intervalles de confiance

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

12.3 Tests d"hypothèses

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

Index201

Chapitre0Introduction

Si la théorie des probabilités a été originellement motivée par l"analyse des jeux de hasard,

elle occupe aujourd"hui une place centrale dans la plupart des sciences. Tout d"abord, de par ses applications pratiques : en tant que base des statistiques, elle permet l"analyse des données

recueillies lors d"une expérience, lors d"un sondage, etc.; elle a également conduit au développe-

ment de puissants algorithmes stochastiques pour résoudre des problèmes inabordables par une approche déterministe; elle possède en outre de nombreuses applications directes, par exemple

en fiabilité, ou dans les assurances et la finance. D"un côté plus théorique, elle permet la modé-

lisation de nombreux phénomènes, aussi bien en sciences naturelles (physique, chimie, biologie,

etc.) qu"en sciences humaines (économie, sociologie, par exemple) et dans d"autres disciplines (médecine, climatologie, informatique, réseaux de communication, traitement du signal, etc.).

Elle s"est même révélée utile dans de nombreux domaines de mathématiques pures (algèbre,

théorie des nombres, combinatoire, etc.) et appliquées (EDP, par exemple). Finalement, elle a

acquis une place importante en mathématiques de par son intérêt intrinsèque, et, de par sa

versatilité, possède un des spectres les plus larges en mathématiques, allant des problèmes les

plus appliqués aux questions les plus abstraites. Le concept de probabilité est aujourd"hui familier à tout un chacun. Nous sommes constam-

ment confrontés à des événements dépendant d"un grand nombre de facteurs hors de notre

contrôle; puisqu"il nous est impossible dans ces conditions de prédire exactement quel en sera

le résultat, on parle de phénomènes aléatoires. Ceci ne signifie pas nécessairement qu"il y ait

quelque chose d"intrinsèquement aléatoire à l"oeuvre, mais simplement que l"information à notre

disposition n"est que partielle. Quelques exemples : le résultat d"un jeu de hasard (pile ou face,

jet de dé, roulette, loterie, etc.); la durée de vie d"un atome radioactif, d"un individu ou d"une

ampoule électrique; le nombre de gauchers dans un échantillon de personnes tirées au hasard;

le bruit dans un système de communication; la fréquence d"accidents de la route; le nombre de

SMS envoyés la nuit du 31 décembre; le nombre d"étoiles doubles dans une région du ciel; la

position d"un grain de pollen en suspension dans l"eau; l"évolution du cours de la bourse; etc. Le développement d"une théorie mathématiques permettant de modéliser de tels phéno-

mènes aléatoires a occupé les scientifiques depuis plusieurs siècles. Motivés initialement par

l"étude des jeux de hasard, puis par des problèmes d"assurances, le domaine d"application de la

théorie s"est ensuite immensément élargi. Les premières publications sur le sujet remontent à

G. Cardano

1avec son livreLiber De Ludo Aleae(publié en 1663, mais probablement achevé1. Girolamo Cardano (1501, Pavie - 1576, Rome), parfois connu sous le nom de Jérôme Cardan, mathématicien,

philosophe et médecin italien. Féru d"astrologie, on dit qu"il avait prévu le jour de sa mort, mais que celle-ci ne

semblant pas vouloir se produire d"elle-même, il se suicida afin de rendre sa prédiction correcte.

5

6CHAPITRE 0. INTRODUCTION

en 1563), ainsi qu"à Kepler

2et Galilée3. Toutefois, il est généralement admis que la théorie

des probabilités débute réellement avec les travaux de Pascal

4et de Fermat5. La théorie fut

ensuite développée par de nombreuses personnes, dont Huygens

6, J. Bernoulli7, de Moivre8,

D. Bernoulli

9, Euler10, Gauss11et Laplace12. La théorie moderne des probabilités est fondée

sur l"approche axiomatique de Kolmogorov

13, basée sur la théorie de la mesure de Borel14et

Lebesgue

15. Grâce à cette approche, la théorie a alors connu un développement très rapide tout

au long du XX

èmesiècle.

0.1 Modélisation des phénomènes aléatoires

Le but de la théorie des probabilités est de fournir un modèle mathématique pour décrire

les phénomènes aléatoires. Sous sa forme moderne, la formulation de cette théorie contient trois

ingrédients : l"univers, les événements, et la mesure de probabilité.

0.1.1 Univers.

Il s"agit d"un ensemble, noté habituellement?, dont les éléments correspondent à tous les

résultats possibles de l"expérience aléatoire que l"on cherche à modéliser. On l"appelle également

l"espace des observables, ou encore l"espace échantillon.

Exemple0.1.

1.

Un tirage à pile ou face : ? ??P?F?.

2. Deux tirages à pile ou face : ? ??PP?PF?FP?FF?. 3. Une suite de tirages à pile ou face se terminan tà la première apparition d"un pil e: ? ? ?P?FP?FFP?FFFP?????. 4. 5.

T ailled"une p ersonne: ? ?R?.

6.

Durée de vie d"une amp oule: ? ?R?.

7.

l"on a noté??????l"ensemble des fonctions continues de?vers?.2. Johannes Kepler (1571, Weil der Stadt - 1630, Ratisbonne), mathématicien, astronome et astrologue alle-

mand.

3. Galilée ou Galileo Galilei (1564, Pise - 1642, Arcetri), physicien et astronome italien.

4. Blaise Pascal (1623, Clermont - 1662, Paris), mathématicien, physicien, philosophe, moraliste et théologien

français. Auteur de nombreuses contributions majeures en mathématiques et en physique, il délaisse ces dernières

à la fin de 1654, à la suite d"une expérience mystique, et se consacre à la réflexion philosophique et religieuse.

5. Pierre de Fermat (1601, Beaumont-de-Lomagne - 1665, Castres), juriste et mathématicien français.

6. Christiaan Huygens (1629, La Haye - 1695, La Haye), mathématicien, astronome et physicien néerlandais.

7. Jacques ou Jakob Bernoulli ( 1654, Bâle - 1705, Bâle), mathématicien et physicien suisse.

8. Abraham de Moivre (1667, Vitry-le-François - 1754, Londres), mathématicien français.

9. Daniel Bernoulli (1700, Groningen - 1782, Bâle), médecin, physicien et mathématicien suisse.

10. Leonhard Euler (1707, Bâle - 1783, Saint-Pétersbourg), mathématicien et physicien suisse. Il est considéré

comme le mathématicien le plus prolifique de tous les temps. Complètement aveugle pendant les dix-sept dernières

années de sa vie, il produit presque la moitié de la totalité de son travail durant cette période.

allemand.

12. Pierre-Simon Laplace (1749, Beaumont-en-Auge - 1827, Paris), mathématicien, astronome et physicien

français.

13. Andreï Nikolaïevich Kolmogorov (1903, Tambov - 1987, Moscou), mathématicien russe.

14. Félix Édouard Justin Émile Borel (1871, Saint-Affrique - 1956, Paris), mathématicien et homme politique

français.

15. Henri Léon Lebesgue (1875, Beauvais - 1941, Paris), mathématicien français.

0.1. MODÉLISATION DES PHÉNOMÈNES ALÉATOIRES7

8. La tra jectoired"un grain de p ollenen susp ensiondans un fluide : ? ???R??R??. Dans chaque cas, il ne s"agit que d"une modélisation de l"expérience correspondante : il y a

donc évidemment de nombreuses façons de choisir et d"encoder les différents résultats possibles

d"une expérience aléatoire dans un ensemble?. Par exemple, dans le troisième exemple, on pour-

rait tout aussi bien prendre? ?N?, en ne retenant que la durée de la partie; dans le cinquième,

perte de généralité.

0.1.2 Événements

Un événement est une propriété dont on peut dire si elle est vérifiée ou non une fois le

résultat de l"expérience connu. Mathématiquement, un événement est caractérisé par l"ensemble

des résultats dans lesquels il est réalisé (un tel résultat est alors appelé uneréalisationde

l"événement). 1.quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

[PDF] 10h45-11h: Les statistiques sanitaires et la santé publique Dr - HCP

[PDF] Statistique spatiale

[PDF] Statistiques : moyenne, médiane et étendue - KeepSchool

[PDF] Première S - Statistiques descriptives - Variance et écart - Parfenoff

[PDF] Second degré, cours, première STI2D - MathsFG - Free

[PDF] cours de premiere sti2d - Les fonctions : généralités

[PDF] LISTE DES LIVRES Classe de Terminale STI2D

[PDF] Cours STMS - SBSSA - Rouen

[PDF] Cours stratégie d 'entreprise - f-staticcom

[PDF] Définir une stratégie de communication Télécharger le pdf

[PDF] La langue française, de A ? Z - Direction de la Langue Française

[PDF] Première ES Cours suites numériques 1 I Généralités sur les suites

[PDF] Cours de Terminale STG

[PDF] Superviseur en HSE - Technoformat

[PDF] L 'immigration et la société française - Lycée d 'Adultes