I Exercices PDF 2 Calculs de fonctions dé

Calculer la fonction dérivée de f et étudier son signe. 4. Dresser le tableau de variations de f. 5. Tracer la courbe représentative de f. Corrigé. Exercice

primitives exercices corriges

Exercice n°1. Dérivée et primitives. 1) Calculez la dérivée de la fonction f définie par. 3. ( ) 3.

I Exercices

2 Calculs de fonctions dérivées. Calculer les dérivées des fonctions suivantes. C'est un exercice d'entra?nement au calcul on ne demande pas de déterminer

Corrigé du TD no 11

Corrigé du TD no 11. Exercice 1 Passons à la résolution de l'exercice proprement dit. ... La fonction f est continue dérivable sur R et sa dérivée.

Calculer des dérivées avec la fonction exponentielle

Il faut appliquer la formule de dérivation du quotient. Solutions des exercices. EXERCICE 19.1 a. ( ). 2.

Corrigé : Exercices de dérivation (Première ES)

Corrigé : Exercices de dérivation Dériver les fonctions suivantes en précisant le domaine de dérivabilité : ... Etude du signe de la dérivée :.

Math206 – Equations aux Dérivées Partielles Feuille dExercices 1

Ces exercices et les corrigés qui suivent

TD2 – Dérivabilité des fonctions de plusieurs variables réelles

la fonction n'est pas continue en (00). Exercice 6. Calculer la dérivée de la fonction z : R ?? R

Fonctions dérivables 1 Calculs

trois fois à sa dérivée seconde Indication pour l'exercice 8 ?. 1. Utiliser le théorème des accroissements finis avec la fonction t ?? lnt.

de la 1`ereS `a la TS.Chapitre 3 : D´erivation

I Exercices

1 D´erivabilit´e

Etudier la d´erivabilit´e des fonctions suivantes au pointdemand´e

1.f(x) =x2enx= 3 (Revenir `a la d´efinition du nombre d´eriv´e)

2.f(x) =⎷

xenx= 1.

3.f(x) =⎷

xenx= 0.

4.f(x) =|x|enx= 0.

5.f(x) =x⎷

xenx= 0.

6.f(x) = (x-1)⎷

1-x2enx=-1.

7.f(x) = (x-1)⎷

1-x2enx= 1. (plus difficile)

Aide

R´eponses

2 Calculs de fonctions d´eriv´ees

Calculer les d´eriv´ees des fonctions suivantes. C"est un exercice d"entraˆınement au calcul, on ne demande pas de d´eterminer les ensembles sur lesquels les fonctions sont d´erivables.

1.f(x) = 4x3-3x2+x-7.

2.f(x) =4x-1

7x+ 2.

3.f(x) =x

x2-3.

4.f(x) = 6⎷

5.f(x) = 4sinx+ cos(2x).

6.f(x) = cos(-2x+ 5).

7.f(x) = sinx2.

8.f(x) = sin2x. (Que l"on peut aussi noter (sinx)2)

9.f(x) = tanx.

10.f(x) = (2x-5)4. (D´eveloppement d´econseill´e)

11.f(x) =7

x2-9.

12.f(x) =⎷

4x2-3.

13.f(x) =1

⎷x2+ 3.

14.f(x) =?4x-1

x+ 2? 3 Aide

R´eponses

L.BILLOT 1DDL

de la 1`ereS `a la TS.Chapitre 3 : D´erivation

3 Sens de variation d"une fonction

Calculer la d´eriv´ee et dresser le tableau de variation de chacune des fonctions suivantes sur l"ensemble indiqu´e. (Les limites ne sont pas demand´ees).

1.f(x) =2

3x3-12x2-6x+ 1 surR.

2.f(x) =x-5

x+ 2surR- {-2}.

3.f(x) =5

x2-1surR- {-1;1}.

Remarque :

Il y a davantage d"´etudes de fonctions dans le chapitre d´edi´e. Aide

R´eponses

4´Equation de tangente

Dans chacun des cas suivants, d´eterminer une ´equation de la tangente `a la courbe repr´esentative de la fonctionfau point demand´e.

1.f(x) = 2x2-5x+ 1 enx= 1.

2.f(x) =2x-3

x+ 2enx=-1.

3.f(x) =⎷

2x-5 enx= 4.

4.f(x) = cos?

2x-π

6? enx=π3. Aide

R´eponses

5 Approximation affine

Cette partie, qui n"est pas la mieux connue par les ´el`eves entrant en terminale, sera

pourtant n´ecessaire cette ann´ee dans l"application de lam´ethode d"Euler, m´ethode com-

mune aux maths et `a la physique. D´eterminer l"approximation affine des fonctions suivantesau point demand´e.

1.f(x) =1

x2+ 1en 2.

2.f(x) = sinxen 0.

3.f(x) = tanxen 0.

4.f(x) =1

1 +xen 0.

5.f(x) =⎷

1 +xen 0

Aide

R´eponses

L.BILLOT 2DDL

de la 1`ereS `a la TS.Chapitre 3 : D´erivation

II Aide

1 D´erivabilit´e

Les deux d´efinitions ci-dessous sont ´equivalentes :

Premi`ere version :

Soitfune fonction d´efinie sur un intervalleIeta?I, on dit que la fonctionfest d´erivable enasi la limite lorsquextend versadef(x)-f(a) x-aest finie.

Dans ce cas on ´ecrit : lim

x→af(x)-f(a) x-a=f?(a), et ce nombre est appel´e nombre d´eriv´e de la fonctionfena.

Deuxi`eme version :

Soitfune fonction d´efinie sur un intervalleIeta?I, on dit que la fonctionfest d´erivable enasi la limite lorsquehtend vers 0 def(a+h)-f(a) hest finie.

Dans ce cas on ´ecrit : lim

h→0f(a+h)-f(a) h=f?(a), et ce nombre est appel´e nombre d´eriv´e de la fonctionfena.

Remarque :

Une ´etude de d´erivabilit´e revient donc `a un calcul de limite. Cette limite est toujours ind´etermin´ee au d´epart.

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2 Calcul : Formulaire de d´erivation

D´eriv´ees des fonctions usuelles

f(x)f?(x)fonction d´erivable sur k(constante)0R xn(avecn?N?)nxn-1R 1 x-1x2]- ∞;0[ou]0;+∞[ 1 xn(avecn?N?)-nxn+1]- ∞;0[ou]0;+∞[ ⎷x1

2⎷x]0;+∞[

cosx-sinxR sinxcosxR

Op´erations sur les d´eriv´ees

uetvsont des fonctions d´erivables (u+v)?=u?+v? (ku)?=ku?(aveck?R) (uv)?=u?v+uv? (un)?=n×u?×un-1avecn?N? ?1 u? =-u?u2avecune s"annulant pas. u v? ?=u?v-uv?v2avecvne s"annulant pas. u)?=u?2⎷uavecustrictement positive. (u◦v) = (u?◦v)×v?.

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L.BILLOT 3DDL

de la 1`ereS `a la TS.Chapitre 3 : D´erivation

3 Sens de variation d"une fonction

Une fonction d´erivable sur un intervalleIest : croissante surIsi et seulement si sa d´eriv´ee est positive surI. d´ecroissante surIsi et seulement si sa d´eriv´ee est n´egative surI. Pour revoir les m´ethodes permettant d"´etudier le signe duexpression on peut se reporter au chapitre : "´Equations, ´etudes de signes et in´equations".

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4´Equation de tangente

Pour d´eterminer une ´equation de tangente `a la courbe repr´esentative de la fonctionf au point d"abscissea:

Premi`ere m´ethode :

Je sais quef(a) me donne l"ordonn´ee du point et quef?(a) me donne le coefficient directeur de la tangente. Avec ces deux informations je trouve l"´equation de la tangente.

Deuxi`eme m´ethode :

Je connais la formule de l"´equation de la tangente :y=f?(a)(x-a) +f(a). Il est fortement conseill´e, notamment `a ceux qui comptentfaire des maths apr`es le bac, de connaˆıtre cette formule.

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5 Approximation affine

L"id´ee :

Si une fonctionfest d´erivable enaalors, au voisinage dea, je peux approcherf par une fonction affine. Soitfune fonction d´erivable ena, alors sixest proche dea, on a :f(x)≈f?(a)(x-a) +f(a).

Ce qui peut aussi s"´ecrire :

f(x) =f(a) +f?(x)(x-a) + (x-a)ε(x), avec limx→aε(x) = 0.Graphiquement : af(a)

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L.BILLOT 4DDL

de la 1`ereS `a la TS.Chapitre 3 : D´erivation

III Correction

1 D´erivabilit´e

1. Pour la premi`ere question, j"utilise les deux versions.Dans la suite j"alterne pour

vous permettre de vous habituer. lim x→3f(x)-f(3) x-3= limx→3x

2-32x-3

= lim x→3(x-3)(x+ 3) x-3= limx→3x+ 3 = 6

Ou bien :

lim h→0f(3 +h)-f(3) h= limh→0(3 +h)2-32h = lim h→09 + 6h+h2-9 h= limh→06 +h= 6 Donc la fonction est d´erivable en 3 etf?(3) = 6.

2. lim

x→1f(x)-f(1) x-1= limx→1⎷ x-1 x-1 = lim x→0⎷x-1 (⎷x+ 1)(⎷x-1) = lim x→01 ⎷x+ 1 =1 2 Donc la fonctionfest d´erivable en 1, etf?(1) =1 2.

3. Le domaine de d´efinition est [0,+∞[, donc je calcule la limite en 0 par valeurs

sup´erieures. lim h >→0f(0 +h)-f(0) h= lim h >→0⎷ h h = lim hquotesdbs_dbs18.pdfusesText_24

[PDF] I Exercices 2 Calculs de fonctions dé

I Exercices

1 D´erivabilit´e

1.f(x) =x2enx= 3 (Revenir `a la d´efinition du nombre d´eriv´e)

2.f(x) =⎷

3.f(x) =⎷

4.f(x) =|x|enx= 0.

5.f(x) =x⎷

6.f(x) = (x-1)⎷

1-x2enx=-1.

7.f(x) = (x-1)⎷

1-x2enx= 1. (plus difficile)

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2 Calculs de fonctions d´eriv´ees

1.f(x) = 4x3-3x2+x-7.

2.f(x) =4x-1

7x+ 2.

3.f(x) =x

4.f(x) = 6⎷

5.f(x) = 4sinx+ cos(2x).

6.f(x) = cos(-2x+ 5).

7.f(x) = sinx2.

8.f(x) = sin2x. (Que l"on peut aussi noter (sinx)2)

9.f(x) = tanx.

10.f(x) = (2x-5)4. (D´eveloppement d´econseill´e)

11.f(x) =7

12.f(x) =⎷

4x2-3.

13.f(x) =1

14.f(x) =?4x-1

R´eponses

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3 Sens de variation d"une fonction

1.f(x) =2

3x3-12x2-6x+ 1 surR.

2.f(x) =x-5

3.f(x) =5

Remarque :

R´eponses

4´Equation de tangente

1.f(x) = 2x2-5x+ 1 enx= 1.

2.f(x) =2x-3

3.f(x) =⎷

2x-5 enx= 4.

4.f(x) = cos?

2x-π

R´eponses

5 Approximation affine

1.f(x) =1

2.f(x) = sinxen 0.

3.f(x) = tanxen 0.

4.f(x) =1

1 +xen 0.

5.f(x) =⎷

1 +xen 0

R´eponses

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II Aide

1 D´erivabilit´e

Premi`ere version :

Dans ce cas on ´ecrit : lim

Deuxi`eme version :

Dans ce cas on ´ecrit : lim

Remarque :

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2 Calcul : Formulaire de d´erivation

D´eriv´ees des fonctions usuelles

2⎷x]0;+∞[

Op´erations sur les d´eriv´ees

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L.BILLOT 3DDL

3 Sens de variation d"une fonction

Retour

4´Equation de tangente

Premi`ere m´ethode :

Deuxi`eme m´ethode :

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5 Approximation affine

L"id´ee :

Ce qui peut aussi s"´ecrire :