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Nouveaux El´ements de Calculs Alg´ebriques

MPSI-Cauchy Prytan´ee National Militaire

Pascal Delahaye

6 mai 2021

Si le cours de maths de CPGE insiste beaucoup sur la pratique du raisonnement math´ematique, celui-ci ne peut

se faire sans passer par des ´etapes de calcul alg´ebrique. Il estdonc imp´eratif de maˆıtriser les techniques usuelles de

calcul avec les fractions, les puissances, les factorisations et d´eveloppements, les fonctions logarithme et exponentielle...

Pour compl´eter les techniques pr´ec´edentes, nous allons apprendre dans ce chapitre : •`a maˆıtriser l"utilisation de la notation usuelle des ensembles,

•`a maˆıtriser l"utilisation du symbole Σ pour la manipulation des sommes simples et doubles,

•quelques formules utilis´ees tout au long de l"ann´ee, •`a maˆıtriser les propri´et´es et l"utilisation des coefficients binomiaux, •`a maˆıtriser la technique de Gauss pour la r´esolution des syst`emes lin´eaires.

1 Sommes et Produits

1.1 Ensembles et familles

La notion d"ensemble est une notionprimitivede math´ematique et donc ne se d´efinit pas : elle est intuitive.

C"est `a partir de cette notion que l"ensembleNest construit. Exemple 1.Quelques ensembles math´ematiques :∅,{},N,R,C,Mn(R),F(E, F),RN,Sn,O(E)...

D´efinition 1 :Notation des ensembles

Les ensembles sont tr`es souvent not´es de la fa¸con suivante : E={nature des ´el´ements de l"ensemble|Condition d"appartenance}

Exemple 2.

1.A={x?R|cosx >1

2}2.B={p2|pest un nombre premier}

Remarque1.Vous avez remarqu´e que l"ensembleAn"est autre que l"ensemble des solutions de l"´equation cosx >1

2. 1

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Exercice : 1

(??) D´eterminer l"ensemble Δ ={y?R| ?x?R, x2+ 2xy+y4= 0}.

D´efinition 2 :Ensembles produits

SoientA, Bdeux ensembles non vides.

Le produit cart´esienA×Best alors l"ensemble d´efini par :

A×B={(a, b)|a?A, b?B}

Exemple 3.L"ensemble des solutions surR2du syst`eme?x+y= 1

2x-y= 0est :S={(x, y)?R2|?x+y= 1

2x-y= 0}.

Exemple 4.(?) D´eterminerC×DlorsqueC={1,3,7}etD={1,2,5}

Exemple 5.Les ensembles produits usuels :R2(le plan cart´esien),Z2(quadrillage du plan cart´esien),Rn(o`un?N).

D´efinition 3 :Famille d"´el´ements

SoitIun ensemble non vide etAun ensemble non vide.

On appelle :

"famille finie des ´el´ementsaide l"ensembleAindex´ee surI" qui sera not´e (ai)i?I

L"application qui a touti?Iassocie la valeurai.

On prendra souventI= [[1,n]] avecn?N.

Exemple 6.SiPest l"ensemble des nombres premiers.

1.E= (i2)i?[[1,10]]2.F= (p(p+ 1))p?P

Remarque2.La suite (un)n?Nest une famille de nombres index´ee surN.

Travail `a effectuer :

Prenez une feuille de brouillon et v´erifiez que vous ˆetes capables de d´evelopper chacun des points suivants :

?D´efinitionsNotations usuelles des ensembles - Ensemble produit - Famille d"´el´ements index´ee

surI ?ExercicesJustifier que?0?A

3??B, que?(1,5)?C×D

(0, i)?R×C?et que?4?E 1??F

1.2 Sommes

1.2.1 Sommes simples

D´efinition 4 :Sommes

Soit (ai)i?Iune famille finie de complexes (ou d"entiers, de rationnels ou de r´eels).

On notera :?

i?Ia ila somme des nombresai i=ma i=am+am+1+···+an

La variable "i" est ditemuette.

Cela signifie qu"on peut la remplacer par n"importe quelle autre lettre. "i" est aussi appel´e l"indice courant. 2

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Remarque3.Retenez quen?

k=mu kest une somme de "n-m+ 1" termes!

Exemple 7.(?) Pourp, q?N?:p?

i=q2 = (p-q+ 1)2 Proposition 1 :Sommes `a connaˆıtre IMPERATIVEMENT!

Pourn?Neta?C.

n? i=1i= 1 + 2 +···+n=n(n+ 1) 2 n? i=1i

2= 12+ 22+···+n2=n(n+ 1)(2n+ 1)

6• n? i=0a i=1-an+1

1-a(sia?= 1)

n? i=0a i=n+ 1 (sia= 1)

Preuve 1 :Facile par r´ecurrence!

Proposition 2 :Lin´earit´e de la somme

SoitIun ensemble fini non vide, (ai)i?I,(ai)i?Ideux familles de nombres complexes etλ, μ?C.

On a alors :?

i?I(λai+μbi) =λ? i?Ia i+μ? i?Ib i

Preuve 2 :Il suffit de l"´ecrire...

Remarque4.

On ne peut mettre en facteur de la somme que les coefficients qui ne d´ependent pas de l"indice courant.

Exemple 8.(?) Calculer :S=10?

k=2(2 + 3k-5k2)

Exercice : 2

(?) Pourn?N?, calculer la somme :Sn=n+ 2(n-1) + 3(n-2) +···+ (n-1)2 +n.

D´efinition 5 :Sommes t´elescopiques

Une somme t´elescopique est une somme de la forme :n? k=m(ak+1-ak) oun? k=m(ak-ak+1).

Ces sommes se simplifient facilement :

n k=ma k+1-ak=an+1-am(Formule `a bien connaˆıtre!) Exemple 9.(?) Soitn?N?. Calculer les sommes suivantes :

•S1=n?

k=11 k(k+ 1)•S2=n?k=1ln(1 +1k)•S3=n?k=0k×k!

Proposition 3 :Chasles

n k=pa k=q? k=pa k+n? k=q+1a k

Preuve 3 :Il suffit de l"´ecrire.

Exemple 10.(?) Pourn?N?, calculer les sommes suivantes : 3

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1.S1=2n?

k=1min(k,n) 2.S2=2n?k=1max(k,n)

Remarque5.Il est aussi possible de regrouper les termes d"indices pairs et les termes d"indices impairs :

n? k=pa k=n? k=p(pairs)a k+n? k=p(impairs)a k

Exemple 11.(?) CalculerS=100?

k=1?k

2?o`u?x?repr´esente la partie enti`ere d"un r´eelx.

Proposition 4 :D´ecalage d"indices

Soitp, q?N,n?Zet (ai)i?Nune famille de nombres complexes.

On a alors :q?

i=pa i=q+n? i=p+na i-n Preuve 4 :Il suffit de l"´ecrire... en posant ´eventuellementj=i+n.

Exemple 12.(?) Calculer les sommes suivantes `a l"aide de changements d"indice et d"une d´ecomposition en ´el´ements

simples pourS1etS2:

1.S1=n?

k=11 k(k+ 1)2.S2=n?k=12k(k+ 1)(k+ 2)3.S3=n?k=1?

1k-1n+ 1-k?

Remarque6.

On ne peut faire que des d´ecalages d"indice ou ´eventuellement des "inversions" d"indice (i=n-j).

Impossible par contre de poserj= 2iouj=i

3.

Proposition 5 :Formule de factorisation

Pourn?Neta, b?C.

a n-bn= (a-b)n-1?k=0a (n-1)-kbkou an-bn= (a-b)(an-1+an-2b+···+abn-2+bn-1)

Que donne cette formule lorsqueb= 1?

Preuve 5 :Il suffit de d´evelopper en effectuant un changement d"indice.

Exemple 13.(?) Factorisera5+b5lorsquea, b?C.

Exercice : 3

(?) Pour toutn?N?, prouver queN= 5n+1-3n+1n"est pas un nombre premier.

Travail `a effectuer :

Prenez une feuille de brouillon et v´erifiez que vous ˆetes capables de d´evelopper chacun des points suivants :

?D´efinitionsConnaˆıtre les notations? i?Ia ietb? i=aa i

?Propri´et´esLin´earit´e de la somme - Relation de Chasles - Changement d"indices -D´ecomposition selon la parit´e de l"indice - nombre d"´el´ements d"une somme

?Formules n? i=1i-n? i=1i 2-n? i=0a i- Sommes t´elescopiques - Formule de factorisation ?ExercicesEtre capable de refaire chacun des exercices pr´ec´edents ?D´emonstrationsSavoir justifier chacune des propri´et´es pr´ec´edentes ?M´ethodesSavoir r´ediger proprement une r´ecurrence simple 4

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1.2.2 Sommes doubles

D´efinition 6 :Sommes doubles rectangulaires

SoitIetJdes ensembles finis et (ai,j)(i,j)?I×June famille finie de nombres complexes.

On remarque que l"on peut noter :

(i,j)?I×Ja i,j=? i?I? j?Ja i,j?qui est aussi ´egale `a =? j?J? i?Ia i,j? Dans le cas o`uI= [[p,n]] etJ= [[q,m]], on peut aussi noter : (i,j)?[[p,n]]×[[q,m]]a i,j=n? i=p? m? j=qa i,j?(par ligne) =m? j=q? n? i=pa i,j?(par colonne)

Termes g´en´eraux d"une somme rectangulaire

i\jrr+ 1...j...s pap,r............ap,s p+1. i. .......ai,j.... qaq,r............aq,s Remarque7.LorsqueI=J= [[p,q]], la somme rectangulaire est souvent not´ee :? i,j

Exemple 14.(?) Soitn?N?. Calculer :

1.S1=?

Proposition 6 :Produit de deux sommes rectangulaires finies SoitIetJdeux ensembles finis non vides et (ai)i?I,(bj)j?Jdeux familles de nombres complexes.

On a alors :?

(i, j)?I×Ja ibj=?? i?Ia i??? j?Jb j?

Preuve 6 :Il suffit de l"´ecrire...

Remarque8.

Ne surtout pas ´ecrire que les quantit´es?

i?Ia i? i?Ib iet? i?Ia ibisont ´egales! Contre-exemple? Exemple 15.(?) Soientp, q?N?et (ai)i?[[1,p]],(bi)i?[[1,q]]deux familles finies de complexes.

Exprimer sous la forme d"une somme, le produit des deux expressionspolynˆomiales suivantes :?A(x) =a0+a1x+···+apxp

B(x) =b0+b1x+···+bqxq

Proposition 7 :Sommes triangulaires

Soitn?N?et (ai,j)(i,j)?[[p,q]]2une famille de nombres complexes.

On distingue 2 types de sommes triangulaires :

1. En incluant la diagonale :

i,j=q? i=p? i? j=pa i,j?(par ligne) =n? j=p? q? i=ja i,j?(par colonne) .

2. En excluant la diagonale :

i,j=q? i=p+1? i-1? j=pa i,j?(par ligne) =q-1? j=p? q? i=j+1a i,j?(par colonne) 5

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Tableau des termes g´en´eraux d"une somme triangulaire i\jpp+ 1...i...q pap,p p+1ap+1,pap+1,p+1 iai,p......ai,i qaq,p............aq,q Preuve 7 :Dans un cas, on additionne par colonne et dans l"autre cas par ligne.

Exemple 16.(?) Pourn?N?, calculer :Sn=?

Exemple 17.(?) Pourn?N?, v´erifier quen?k=1k2k=n? k=1? k? l=12 k?et en d´eduire une ´evaluation simple de cette somme.

Exercice : 4

(?) Soitn?N?. CalculerSn=?

Exercice : 5

(??) Pourn?N?, on consid`ereCn=?

1. Prouver par un calcul direct que :Cn=1

2(n-1)n(n+ 1).

2. Retrouver le r´esultat pr´ec´edent en remarquant que :

p=1p.

Travail `a effectuer :

Prenez une feuille de brouillon et v´erifiez que vous ˆetes capables de d´evelopper chacun des points suivants :

?D´efinitionsSignification et calcul de? (i,j)?I×Ja i,jet de? i,j ?Propri´et´esProduit de deux sommes ?FormulesCalcul des sommes doubles et des sommes triangulaires. ?ExercicesCalculer :S1=? 6

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1.3 Produits

D´efinition 7 :Produit

Soit (ai)i?Iune famille finie de nombres complexes (ces nombres peuvent aussiˆetre entiers, rationnels ou r´eels).

On notera :

i?Ia ile produit des nombresaide la famille (ai)i?I i=ma i=am×am+1× ··· ×an

Ce produit comporten-m+ 1 facteurs.

Exemple 18.(?) Pourp, q, n?N?:

p?i=q2 = 2 p-q+1•1000? k=-1000kln(1 +|k|) = 0

Exercice : 6

(?) Soitn≥4. Calculer :n? k=4(1-14). Remarque9.Un produit est nul d`es lors qu"un de ses facteurs est nul.

D´efinition 8 :Soitn?N?.

On note "factorielle n" la quantit´e suivante : n! = 1×2×3··· ×n=n? k=1ket on admettra que 0! = 1 Exemple 19.(?) Soitn?N?. Ecrire les produits suivants `a l"aide de factorielles :

1.P1=p?

k=1(n-k+ 1)2.P2=2n+1? k=1kpairk3.P3=2n+1? k=1kimpairk

D´efinition 9 :Produits t´elescopiques

Un produit t´elescopique est un produit de la forme :n? k=ma k+1 ak.

Ces sommes se simplifient facilement :

n? k=ma k+1 ak=an+1am

Exemple 20.(?) Calculer les produits suivantes :

n? i=1i i+ 1•n? k=12k+ 12k-1

Exercice : 7

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