Système de coordonnées
(z2 = x2 + y2) est l'équation cartésienne du cône circulaire d'axe z. Page 11. SYSTÈME DE COORDONNÉES SPHERIQUES (3D). Le système de coordonnées sphériques est
Chapter 1 - Syst`emes de coordonnées
1.1.1 Repérage d'un vecteur en coordonnées cylindriques pour un point donné les composantes cartésiennes et cylindriques sont liées par.
COORDONNÉES CARTÉSIENNES CYLINDRIQUES
http://mawy33.free.fr/cours%20sup/35-500%20coords.pdf
Transformation coordonnées
une symétrie sphérique et même cylindrique
Expressions des opérateurs en coordonnées cartésiennes
Expressions des opérateurs en coordonnées cartésiennes cylindriques
UCBL – L1 PCSI – UE Math 2 Fonctions de plusieures variables et
Dans cette section: ‚ Coordonnées cartesiennes et polaires du plan. ‚ Coordonnées cartesiennes cylindriques et sphériques de l'espace
DÉRIVATION VECTORIELLE COORDONNÉES CYLINDRIQUES ET
exemple le vecteur vitesse) dans telle ou telle base de projection (base des coordonnées cartésiennes cylindriques et sphériques).
Page 1 sur 6 Matrices de passages entre coordonnées cartésiennes
Matrices de passages entre coordonnées cartésiennes cylindriques et sphériques. 1. Matrice de passage des coordonnées cylindriques aux coordonnées
Expressions du gradient _cartésien cylindrique
http://ts2-thierrymaulnier.wifeo.com/documents/Expressions-du-gradient-_cartsien-cylindrique-sphrique.pdf
Chapitre 11 Syst`emes de coordonnées
sphérique) pour le repérage d'un point de l'espace. axe particularisé (Oz) en remplaçant les coordonnées cartésiennes (xP
[PDF] Système de coordonnées
Pour convertir des coordonnées cylindriques en cartésiennes on utilise : x = r cos ? y = r sin ? z = z Pour convertir des cartésiennes en cylindriques on
[PDF] COORDONNÉES CARTÉSIENNES CYLINDRIQUES SPHÉRIQUES
On utilisera les coordonnées cylindriques dès que la distance à l'axe Oz joue un rôle important dans l'exercice Page 2 ? Systèmes de coordonnées (35-500)
[PDF] Coordonnées sphériques
Coordonnées sphériques Si on pose dans un exercice : r(t) = x ex + y ey + z ez avec ? ? ? x = r sin ? cos ? y = r sin ? sin ? z = r cos ?
[PDF] Transformation coordonnées
une symétrie sphérique et même cylindrique alors que le système de coordonnées cartésiennes a une symétrie cubique Un finissant d'un cours avancé de
[PDF] [PDF] Les systèmes de coordonnées - Physique
3 sept 2022 · Les coordonnées cylindriques On peut en réalité toujours avoir recours à un repère cartésien orthonormé (O er ey ez) « sous-jacent »
[PDF] Syst`emes de coordonnées
1 2 COORDONNÉES CYLINDRIQUES 3 Au point M la relation entre les vecteurs unitaires (?e??e??ez) et les vecteurs unitaires cartésiennes
[PDF] Les différents systèmes de coordonnées
Coordonnées cartésiennes : x y z Coordonnées cylindriques : ? ? z Attention les angles ? des coordonnées cylindriques et sphériques sont
[PDF] Expressions du gradient _cartésien cylindrique sphérique
Expression de grad en coordonnées cartésiennes cylindriques et sphériques 1 En coordonnées cartésiennes FIGURE 1 Coordonnées cartésiennes On part de
[PDF] Coordonnées sphériques
b) Donnez les coordonnées cartésiennes de la ville de Paris (longitude 26 grades Est ; latitude 543 grades Nord) c) En déduire la distance parcourue par une
(PDF) Coordonnées cylindriques et sphériques zakaria housni
Mécanique 2015 7 1 4 Définition : coordonnées cylindriques Coordonnées cartésiennes du point matériel P : P = (x1 x2 x3 ) Coordonnées cylindriques du
Comment trouver les coordonnées sphériques ?
La donnée de r, ?, et ? vérifiant la relation (cp) revient à se donner le point M de la sphère de centre O de rayon r : on vérifie aisément que x2 + y2 + z2 = r2. K désignant la projection orthogonale de M sur le plan de l'équateur, le triplet (r, ?, ?) constitue les coordonnées sphériques de M.Quels sont les coordonnées sphériques ?
On appelle coordonnées sphériques divers systèmes de coordonnées orthogonales de l'espace analogues aux coordonnées polaires du plan. Un point de l'espace est repéré dans ces systèmes par la distance à une origine (le pôle) et par deux angles.Comment trouver les coordonnées cartésiennes ?
En coordonnées cartésiennes planaires, la position d'un point A est donnée par les distances xA (abscisse à l'origine) et yA (ordonnée à l'origine). En coordonnées cartésiennes tridimensionnelles, la position d'un point P est donnée par les distances x, y et z.- Remarques. Un système de coordonnées est habituellement défini par un système de référence géodésique, un ellipso? et une projection, et s'exprime en unités (p. ex., degrés, mètres). Les coordonnées de latitude et de longitude, souvent appelées « coordonnées géographiques », sont sphériques.
Coordonnées
COORDONÉES POLAIRES (rappel)
En géométrie plane, le système
de coordonnées polaires est utilisé pour donner une description plus simple de certaines courbes (et surfaces).La figure nous permet de nous
Souvenir de la relation entre coordonnées polaires et cartésiennes. Si le point Pa (x, y) pour coordonnées cartésiennes et (r, ș)comme coordonnées polaires alors x= rcos șy = r sin ș r2= x2+ y2tan ș= y/xCOORDONNÉES CYLINDRIQUES
En dimension 3 il y a un système de coordonnées, appelé coordonnées cylindriques, qui :Est similaire aux coordonnées polaires.
Donne une description simple de nombreux domaines (surfaces, volumes). Dans le système de coordonnées cylindriques, un point Pde -D) est représentéPar le triplet (r, ș, z), où :
ret șsontles coordonnées polairesdelaprojection de P sur le plan xy, zestla distance orientéedu plan xyàP.Pour convertir des coordonnées cylindriques en
cartésiennes, on utilise : x= rcos ș y= rsin ș z= z Pour convertir des cartésiennes en cylindriques, on utilise: r2= x2+ y2 tan ș= y/x z = zCOORDONNÉES CYLINDRIQUES
Exemple
a.Placer le point de coordonnéescylindriques(2, 2ʌ/3, 1)et donner sescoordonnéesrectangulaires. b.Donner les coordonnéescylindriquesdu point de coordonnéesrectangulaires(3, 3, 7).Solution
a) Le point de cylindriquescoordonnées (2, 2ʌ/3, 1)estplacésur la figure.Sescoordonnéesrectangulairessont
Le point a doncpour coordonnéesrectangulaires(1, , 1). 3212cos 2 132
232sin 2 332
1 x y z SSolution (b)
On a :
Un jeude coordonnéescylindriquesestdonc:
Un autre:
Commepour les coordonnéespolaires, ily a uneinfinite de choixpossibles.223 ( 3) 3 2
37tan 1, so 234
7 r n z T T S (3 2,7 /4, 7)(3 2, /4, 7)Coordonnéescylindriques
Les coordonnéescylindriquessontutilesdansles problèmes oùexisteunesymétrieaxiale. On choisitalorsdes z de façonà cecoincide avec cetaxe de symétrie. Par exemple, pour le cylindreà base circulaire, z, ila pour équationcartésiennex2+ y2= c2. Encoordonnéescylindriques, cecylindrea commeéquation: r= c(beaucoup plus simple!).
Exercice
z= ren coordonnées cylindriquesSolution
z de la surface) est la même que r(distance de ce point à z).Comme ș
z. Donc, toute section horizontale de la surface par un plan z= k (k> 0) est a cercle de rayon k. Ceci suggère que la surface est coordonnées rectangulaires.On a : z2= r2= x2+ y2, cette équation
(z2= x2+ y2équation cartésienne z.SYSTÈME DE COORDONNÉES SPHERIQUES (3D)
Le systèmede coordonnéessphériquesestun autresystèmede coordonéesutile entroisdimensions. Il simplifieenparticulierles calculstriples sur des volumes limitéspar des portions de sphèresoude cônes. Les coordonnéessphériques(ȡ, ș, ĭ) Pde sont:ȡ= |OP|, ladistance deO
à P(ȡ0)
ș,le mêmeangle
coordonnéescylindriques.ĭ, entre les vecteurszet
OP. l'angle formé par les vecteurs zet OPest appelé colatitude le plan équatorial et OP).Notons que la première coordonnée (la
distance entre Oet P) est toujours positive, et que la colatitudeest comprise entre 0 et ,En physique, les notations șet ĭsont
Généralement interverties, comme sur la
figure ci-contre.La distance est souvent notée r.
REMARQUE TRÈS IMPORTANTE
Notations "physiques»
Notations "mathématiques»
COORDONNÉES SPHÈRIQUES
Utiliser un système de coordonnées sphériques peut être particulièrement utile pour résoudre des problèmes présentant origine du système. ca alors une équation très simple :ȡ= c.
Our= c en
Le grapheéquationș= c
(= c ennotations physiques) estun demi plan verticalcontenant Oz.équationĭ= c(ș= c en
notations physiques) représenteun demi-cône z.COORDONNÉES SPHÈRIQUES
La relation entre coordonnéescartésiennesand sphériquesse déduitde la figure.COORDONNÉES SPHÈRIQUES & CARTÉSIENNES
Considéronslestriangles OPQ
et, ona: z= ȡcos ĭ, r= ȡsin ĭEt comme,
x= rcos ș, y= rsin șOn obtientles formulesde
conversion : x= ȡsin ĭcos ș y= ȡsin ĭsin ș z= ȡcos ĭAvec les notations physiques, la relation
de passage aux coordonnées cartésiennes s'écritdonc :COORDONNÉES SPHÈRIQUES & CARTÉSIENNES
Exercice :
Le point (r= 2, = ʋ/3, = ʋ/4) est donné en coordonnées schéma et calculer ses cordonnées cartésiennes.Solution
Coordonnéescartésiennes:
1 23 1 3sin cos 2sin cos 23 4 2 22
3 1 3sin sin 2sin sin 23 4 2 22
cos 2cos 2 13 x x z U I TSSU I T
SUI x y zLa formuledonnantla distance indiqueque :
r2= x2+ y2 + z2 Onutilise cetteéquation pourconvertirles coordonnées cartésiennes en coordonnéesspheriques. Exercice: Le point estdonnéencoordonnées cartésiennes. Caculerdes coordonnéessphériquespour cepoint.0,2 3, 2
COORDONNÉES SPHÈRIQUES & CARTÉSIENNES
On a :
Doncon a : r = 4, ߠ
ଷ(colatitude), ߮Solution
Considérons M de coordonnées
sphériques (r, , ).Le vecteur position de Mest :
OM= rur
urest le vecteur unitaire radial.Repèrecomobile
Les coordonnées cartésiennes de Msont :
On aura donc pour ur: ߠ...߮ǡߠ߮ǡ...ߠ
Repèrecomobile
Lvarie le point M
décrit un cercle, dans un plan parallèle à (Oxy), de rayon ݎ...ߠLe vecteur unitaire tangent en Mà
cette courbe est noté u, il est situé dans le plan "horizontal» (x,y).OM(et donc
à ur), puisque la norme de OMest constante
lorsque Mse déplace sur le cercle. on a : u= -sinux+ cosuyRepèrecomobile
varie le pointMdécrit un demi grand cercle
(méridien).Le vecteur unitaire tangent à
cette courbe, en M, est noté u. Il est orthogonal à urpuisque, lorsque Mdécrit le demi cercle, la norme du vecteur OMest constante (ۻ۽ uest dans le plan "méridien», il est donc orthogonal à uqui est dans un plan "horizontal». Le repère comobile(M,ur,u,u) est orthonormé direct et lié à M. cartésiennes de u(à vérifier en exercice) : (coscos, cossin, -sin)Exercice
Donner les équations paramétriques de la courbe décrite par le point Mde coordonnées sphériques (r, , ) lorsque varie (ret restant fixés). Calculer, par dérivation, le vecteur tangent à la courbe, en déduire les coordonnées cartésiennes de u Donner les équations paramétriques de la courbe décrite par le point Mde coordonnées sphériques (r, , ) lorsque varie (ret restant fixés). Calculer les coordonnées cartésiennes de ude deux façons différentes. Les équations paramétriques sont, bien sûr : On obtient les coordonnées du vecteur tangent Tpar dérivation des coordonnées de Mpar rapport à :Solution
TT||2= r2sin2(sin2+ cos2) = r2sin2, ||T|| = rsin( sin est positif car אߠ-ǡߨ u= (-sin, cos, 0)Les équations paramètiquessont :
On obtient les coordonnées du vecteur tangent Tpar dérivation des coordonnées de Mpar rapport à : ||T||2= r2cos2(cos2sin2) + r2sin2= r2 (cos2+ sin2) = r2 Donc ||T|| = r, les coordonnées cartésiennes de u= T/ ||T|| sont : (coscos, cossin, -sin) Remarque: comme on le voit sur les coordonnées de ur, urest une fonction des deux variables et phi. au chapitre suivant. On peut déjà observer que les calculs précédents montrent que le vecteur dérivé de urpar rapport à (à fixé) est u, et que le vecteur dérivé de urpar rapport à (à fixé) est sinu.quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28[PDF] relation trigonométrique dans un triangle rectangle
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