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Cours de mathématiques Première année Exo7 SOMMAIRE Cours et exercices de maths Enfin les mathématiques tentent de distinguer le vrai du faux
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Nous vous proposons de partir à la découverte des maths de leur logique et de leur beauté Dans vos bagages des objets que vous connaissez déjà : les entiers
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dans lesquels le formalisme mathématique s'applique et permet de résoudre des les vidéos correspondant à ce cours ainsi que des exercices corrigés
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Voici ce que l'on fait pour calculer Sn avec n = 10 • On affecte d'abord la valeur 0 à la variable somme cela correspond à l'initialisation S0 = 0
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Fiche d'exercices · Calculs d'intégrales Motivation Nous allons introduire l'intégrale à l'aide d'un exemple Considérons la fonction exponentielle f (x)
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Mais le but de ce cours est de répondre à trois problèmes qui datent des mathématiciens grecs : la trisection des angles la duplication du cube ainsi que le
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Prenons l'exemple de la fonction exponentielle Une idée du comportement de la fonction f (x) = exp x autour du point x = 0 est donné par sa tangente
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La notion d'espace vectoriel est une structure fondamentale des mathématiques modernes Il s'agit de dégager les propriétés communes que partagent des
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Les mathématiques sont un langage pour s'exprimer rigoureusement adapté aux phénomènes complexes qui rend les calculs exacts et vérifiables Le raisonnement
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site Exo7 toutes les vidéos correspondant à ce cours ainsi que des exercices Voici la définition mathématique de la continuité d'une fonction f : I ?
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Intégrales
Vidéo"partie 1. L"intégrale de Riemann
Vidéo"partie 2. Propriétés
Vidéo"partie 3. Primitive
Vidéo"partie 4. Intégration par parties - Changement de variable Vidéo"partie 5. Intégration des fractions rationnellesFiche d"exercicesCalculs d"intégrales
MotivationNous allons introduire l"intégrale à l"aide d"un exemple. Considérons la fonction exponentiellef(x) =ex. On souhaite
calculer l"aireAen-dessous du graphe defet entre les droites d"équation(x=0),(x=1)et l"axe(Ox).Ay=exxy
011Nous approchons cette aire par des sommes d"aires des rectangles situés sous la courbe. Plus précisément, soitn>1
un entier; découpons notre intervalle[0,1]à l"aide de la subdivision(0,1n ,2n ,...,in ,,n1n ,1). On considère les " rectangles inférieurs »R i, chacun ayant pour base l"intervallei1n ,in et pour hauteurfi1n e(i1)=n. L"entierivarie de 1 àn. L"aire deR iest " basehauteur » :in i1n e(i1)=n=1n ei1n .y=exxy R 1R 2R 3R 40142
43
411y=exxy
R 1R 2R 3R 40142
43
411
INTÉGRALES1. L"INTÉGRALE DERIEMANN2
La somme des aires desR
ise calcule alors comme somme d"une suite géométrique : n X i=1e i1n n =1n n X i=1 e1n i1=1n 1e1n n1e1n =1n e 1n1e1!n!+1e1.
Pour la limite on a reconnu l"expression du type
ex1x !x!01 (avec icix=1n ).Soit maintenant les " rectangles supérieurs »R+ i, ayant la même basei1n ,in mais la hauteurfin =ei=n. Un calcul similaire montre quePn i=1ein n !e1 lorsquen!+1.L"aireAde notre région est supérieure à la somme des aires des rectangles inférieurs; et elle est inférieure à la
somme des aires des rectangles supérieurs. Lorsque l"on considère des subdivisions de plus en plus petites (c"est-à-dire
lorsque l"on fait tendrenvers+1) alors on obtient à la limite que l"aireAde notre région est encadrée par deux
aires qui tendent verse1. Donc l"aire de notre région estA=e1.y=exxy 101n=10
Voici le plan de lecture conseillé pour ce chapitre : il est tout d"abord nécessaire de bien comprendre comment est
définie l"intégrale et quelles sont ses principales propriétés (parties??et??). Mais il est important d"arriver rapidement
à savoir calculer des intégrales : à l"aide de primitives ou par les deux outils efficaces que sont l"intégration par parties
et le changement de variable.Dans un premier temps on peut lire les sections??,??puis??,??,??, avant de s"attarder longuement sur les parties
??,??. Lors d"une seconde lecture, revenez sur la construction de l"intégrale et les preuves.Dans ce chapitre on s"autorisera (abusivement) une confusion entre une fonctionfet son expressionf(x). Par
exemple on écrira "une primitive de la fonctionsinxestcosx» au lieu "une primitive de la fonctionx7!sinxest
x7! cosx».1. L"intégrale de Riemann
Nous allons reprendre la construction faite dans l"introduction pour une fonctionfquelconque. Ce qui va remplacer
les rectangles seront desfonctions en escalier. Si la limite des aires en-dessous égale la limite des aires au-dessus on
appelle cette limite communel"intégraledefque l"on noteRb af(x)dx. Cependant il n"est pas toujours vrai que ceslimites soient égales, l"intégrale n"est donc définie que pour les fonctionsintégrables. Heureusement nous verrons que
si la fonctionfest continue alors elle est intégrable.INTÉGRALES1. L"INTÉGRALE DERIEMANN3y=f(x)xy
y=f(x)ab1.1. Intégrale d"une fonction en escalier
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