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Exercices de Thermodynamique

" Ce fut la grande tâche et la grande gloire de la physique du XIX esiècle d"avoir ainsi considérablement précisé et étendu en tous sens notre connais- sance des phénomènes qui se jouent à notre échelle. Non seulement elle a continué à développer la Mécanique, l"Acoustique, l"Optique, toutes ces grandes disciplines de la science classique, mais elle a aussi créé de toutes pièces des sciences nouvelles aux aspects innombrables : la Thermodynamique et la science de l"Électricité. » LouisDe Broglie(1892-1987) -Matière et Lumière, exposés généraux sur la physique contemporaine, 1(1937) ?Syst`emes thermodynamiques T1? ???Ex-T1.1Grandeurs intensives et extensives(äSol. p. 2) Soit une mole d"un gaz occupant une volumeVmsous la pressionPet `a la temp´eratureT.

1)On suppose que ces grandeurs sont li´ees par l"´equation :?

P+a V2m? (Vm-b) =RT, o`ua,b

etRsont des constantes. Utiliser les propri´et´es d"intensivit´e ou d"extensivit´e des grandeurs pour

´etablir l"´equation correspondante relative `anmoles.

2)Mˆeme question pour l"´equation :P(Vm-b) exp?a

RTVm? =RT. ???Ex-T1.2Pour donner du sens au nombre d"Avogadro(äSol. p. 2) On consid`ere du sable fin dont chaque grain occupe un volumeV0= 0,1mm3. Quel est le volume Voccup´e parN= 6.1023grains? Si on ´etendait uniform´ement ce sable sur la France(d"aire S= 550000km2) quelle serait la hauteur de la couche de sable? ?Consid´erations `a l"´echelle microscopique T1? ???Ex-T1.3Vitesse de lib´eration et vitesse quadratique moyenne

1)Calculer num´eriquement `a la surface de la Terre et de la Lune, pour une temp´erature

T= 300K, la vitesse de lib´erationvlet la vitesse quadratique moyenne pour du dihydrog`ene et du diazote. Commenter. Donn´ees :Constante de gravitationG= 6,67.10-11uSI. Rayon terrestreRT= 6,4.106m; masse de la TerreMT= 6.1024kg. Rayon lunaireRL= 1,8.106m; masse de la LuneML= 7,4.1022kg. Masses molaires :M(H2) = 2g.mol-1etM(N2) = 28g.mol-1.

Constante desGP:R= 8,314J.K-1.mol-1.

2)Quel devrait ˆetre l"ordre de grandeur de la temp´eratureTpour que le diazote, constituant

majoritaire de l"atmosph`ere terrestre, ´echappe quantitativement `a l"attraction terrestre? R´ep : 1)Pour l"expression de la vitesse de lib´erationÜCf Cours de M´ecaniqueetDSn05: v l,T?11,2km.s-1etvl,L?2,3km.s-1. de plus :vq(H2)?1,9km.s-1etvq(N2)?0,5km.s-1.

2)Il faudraitTT≂100000K(!)

???Ex-T1.4Densit´e particulaire et volume molaire(äSol. p. 2)

1)calculer le nombre de mol´ecules parcm3dans un gaz parfait `a 27◦Csous une pression de

10 -6atmosph`ere.

2)Calculer le volume occup´e par une mole d"un gaz parfait `a latemp´erature de 0◦Csous la

pression atmosph´erique normale. En d´eduire l"ordre de grandeur de la distance moyenne entre mol´ecules.

Exercices de Thermodynamique2008-2009

Solution Ex-T1.1

1)CommeVm=Vn, on a :

P+a V2m? (Vm-b) =RT??

P+n2aV2??

Vn-b? =RT? P+n2a V2? (V-nb) =nRT Rq :on peut ´ecrire l"´equation d"´etat sous la forme? P+A V2? (V-B) =nRTen posantB=nb etA=n2a. Best une grandeur extensive puisqu"elle est additive, sin=n1+n2,B=nb=n1n+n2b= B

1+B2.Aest aussi une grandeur extensive, mais elle n"est pas additive car sin2a?=n21a+n22a.

2)P(V-nb)exp?na

RTV? =nRT.

Solution Ex-T1.2

Le volume occup´e estV=N.v= 6.1013m3= 6.1016L(60 millions de milliards de litres!) . Ce sable ´etal´e surS= 5,5.105km2= 5,5.1011m2formerait une couche de hauteurh=V

S?110m

Solution Ex-T1.3

1)D"apr`es l"´equation d"´etat du gaz parfait, le nombre de mol´ecules par unit´e de volume est

n ?=N V=PkBT?10-6.1,01325.1051,38.10-23×300?2,5.1019mol´ecules par m`etre cube soitn??2,5.1013 mol´ecules parcm3ou encoren??4.10-11mol.cm-3.

2)Le volume molaire cherch´e est :Vm=RT

V=8,314×273,151,013.105= 22,4.10-3m3= 22,4L.

?Mod´elisations de gaz r´eelsT1? ???Ex-T1.4Dioxyde de carbone

Pour le dioxyde de carbone (" gaz carbonique »), les coefficientsaetbde l"équation d"état deVan

der Waalsont pour valeurs respectives0,366kg.m5.s-2.mol-2et4,29.10-5m3.mol-1. On place deux moles de ce gaz dans une enceinte de volumeV= 1Là la température deT= 300K.

Q :Comparer les pressions données par les équations d"état du gaz parfait et du gaz deVan der

Waals, la valeur exacte étantP= 38,5bars.

Rép :PGP=nRT

V?4,99.106Pa, soit une erreur relative de?

?P-PGP P? ?≈30%;PVdW= nRTV-nb-n2aV2?3,99.106Pa, soit une erreur relative de? ?P-PVdW P? ?≈4%. Le modèle du gaz parfait est donc inacceptable, tandis que le modèle du gaz deVan der Waalsmontre une bien meilleure précision. ???Ex-T1.5Deux r´ecipients Un récipient(A)de volumeVA= 1L, contient de l"air àtA= 15◦Csous une pressionPA=

72cmHg.

Un autre récipient(B)de volumeVB= 1L, contient également de l"air àtB= 20◦Csous une pressionPB= 45atm.

On réunit(A)et(B)par un tuyau de volume négligeable et on laisse l"équilibre se réaliser à

t= 15◦C. On modélise l"air par un gaz parfait de masse molaireM= 29g.mol-1.Données :le "centimètre de mercure» est défini par la relation1atm= 76cmHg= 1,013.105Pa.

Q :Quelle est la pression finale de l"air dans les récipients? Quelle est la masse d"air qui a été

transférée d"un récipient dans l"autre? Indications :Exprimer, initialement, les quantités de matièrenAetnBdans les récipients. En

déduire la quantité de matière totale. L"état final étant un état d"équilibre thermodynamique,

2http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/qadripcsi@aol.com

2008-2009Exercices de Thermodynamique

les variables intensives sont uniformes, dont la densité moléculaire etla pression. En déduire les

quantités de matière finalesnAFetnBF.

Rép :mB→A= 26,1getP?22,5bars?22,2atm.

???Ex-T1.6Point critique et ´equation r´eduite d"un gaz de Van der Waals (*)

1)Une mole de gaz deVan der Waalsa pour équation d"état :?

P+a V2? (V-b) =RT ExprimerPen fonction deTetVet calculer les dérivées partielles :?∂P ∂V? T et?∂2P∂V2? T

2)Montrer qu"il existe un unique état C tel que :?∂P

∂V? T = 0et?∂2P∂V2? T = 0. Déterminer son volume molaireVC, sa températureTCet sa pressionPC.

3)On poseθ=T

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