[PDF] École Royale de lair de Marrakech Exercices Corrigés de

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Ecole Royale de l'air de Marrakech Exercices Corriges de probabilite Annee 2019/2020|||||||||||{ 1. Espaces probabilises |||||||||||{

Exercice1SolutionOn lance un de equilibre jusqu'a l'obtension d'un6. Quelle est la probabilite que tous les nombres

obtenus soient pairs?

Exercice2 (Lemme de Borel Cantelli)SolutionSoit(

;T;P)un espace probabilise et(An)n2Nune suite d'evenements. ¬Montrer que, si les evenementsAnsont deux a deux incompatibles, alorslimn!+1P(An) = 0.

Montrer que, si la serieX

n0P(An)converge, alorsP0 n2N[ knA k1 A = 0.

Exercice3SolutionUne urneAcontient6boules blanches et5noires, tandis qu'une urneBcontient4boules blanches

et8boules noires. On transfere aleatoirement deux boules de l'urneBdans l'urneA, puis on tire une boule dans l'urneA. ¬Calculer la probabilite que l'on tire une boule blanche. On a tire une boule blanche. Calculer la probabilite qu'au moins une boule blanche ait ete transferee de l'urneBa l'urneA.

Exercice4SolutionUn fumeur essaye de ne plus fumer. S'il ne fume pas un jour donne, alors la probabilite qu'il ne

fume pas le lendemain estp2]0;1[. S'il fume un jour donne, alors la probabilite qu'il ne fume pas le lendemain est1p. On notepnla probabilite que cette personne ne fume pas len-eme jour. ¬Determiner une relation de recurrence entrepn+1etpn.

En deduire une expression depn.

®Calculerlimn!+1pn. Interpreter le resultat.

Exercice5SolutionUne particule se trouve a l'instant0au point d'abscisseaoua2[[0;N]]. Si a l'instantnsa position

estxn, a l'instantn+1on axn+1=xn+1avec une probabilitepetxn1avec une probabilte1p. Le processus se termine lorsquexn= 0ouxn=N. Soitpala probabilite pour que, partant dea, le processus se termine en0.

¬Calculerp0etpN.

On suppose que0< a < N. Montrer quepa=ppa+1+ (1p)pa1.

®En deduirepa.

¯On noteqala probabilite pour que, partant dea, le processus se termine au pointN. Calculer p a+qa. Que peut-on en deduire ?

Exercice6 (Indicatrice d'Euler)SolutionSoitn2un entier naturel. On choisit de maniere equiprobable un des entiers compris entre1et

n: Soientpun diviseur positif denetApl'evenement : " le nombre choisi est divisible parp".

¬Verier queP(Ap) =1p

Soientp1;p2;:::;prles diviseurs premiers den.

(a) M ontrerque les evenementsAp1;Ap2;:::;Aprsont mutuellement independants. (b) On d esignep ar'(n)la fonction indicatrice d'Euler denie surNpar '(n) =Cardfk2[[1;n]]; k^n= 1g i) Exprimer l' evenementA" le nombre choisi est premier avecn" en fonction deAp1;Ap2;:::;Apr. ii)

En d eduireque

'(n) =nrY i=1 11p i =nY p premier p divise n 11p |||||||||||{ 2. Variables aleatoires de lois discretes |||||||||||{

Ecole Royale de l'air de Marrakech Exercices Corriges de probabilite Annee 2019/2020Exercice7SolutionSoitp2]0;1[. On considere une piece amenant pile avec la probabilitep. On lance cette piece jusqu'a

l'obtension pour la deuxieme fois pile. On noteXle nombre de faces obtenus lors de cette experience.

¬Determiner la loi deX.

Montrer queXadmet une esperance et la calculer.

Exercice8SolutionSoitp2]0;1[etr2N.

On depose une bacterie dans une enceinte fermee a l'instantt= 0(le temps est exprime en secon- des). On envoie un rayon laser par seconde dans cette enceinte. Le premier rayon laser est envoye a l'instantt= 1. La bacterie a la probabilitepd'^etre touchee par le rayon laser.

Les tirs de laser sont independants.

La bacterie ne meurt que lorsqu'elle a ete toucheerfois par le rayon laser. SoitXla variable aleatoire egale a la duree de vie de la bacterie.

¬Determiner la loi deX.

Montrer que pour toutq2Netx2]1;1[,X

kq k q x kqconverge et+1X k=q k q x kq=1(1x)q+1. ®En deduire queXadmet une esperance et la calculer. Exercice9SolutionSoitX1etX2deux variables aleatoires denies sur un espace probabilise( ;T;P)independantes suivant une loi de Bernoulli de parametrep2]0;1[. Determiner la loi deY=Min(X1;X2)ainsi que la loi deZ=Max(X1;X2). Exercice10SolutionSoitXune variable aleatoire denies sur un espace probabilise( ;T;P)suivant une loi de Poisson de parametre >.

On poseY= cos(X).

¬Verier queYest une variable aleatoire reelle.

Determiner la loi deX.

Exercice11SolutionSoitnun entier tel quen2etp2]0;1[. On considerenvariables aleatoiresX1;X1;:::;Xndenies sur un m^eme espace probabilise( ;T;P), mutuellement independantes et de m^eme loi geometrique de parametrep. On considere la variable aleatoireYndenie parYn= min1in(Xi). ¬Soitk2N. CalculerP(Yn> k). En deduireP(Ynk), puisP(Yn=k).

Reconnaitre la loi deYn. En deduireE(Yn)etV(Yn).

Exercice12Solution¬SoitXune variable aleatoire a valeurs dansN.

Montrer que, pour toutn2N, on a :

n X k=0kP(X=k) =n1X k=0P(X > k)nP(X > n)

On suppose queX

k0P(X > k)converge. Demontrer queXadmet une esperance. ®Reciproquement, on suppose queXadmet une esperance. Demontrer alors que(nP(X > n))n2N converge vers0, puis que la serieX k0P(X > k)converge, et enn que

E(X) =+1X

k=0P(X > k)https://ettahrifouad1.wixsite.com/prepasmarrakech2/16ettahrifouad1@gmail.com

Ecole Royale de l'air de Marrakech Exercices Corriges de probabilite Annee 2019/2020Exercice13SolutionOn dispose d'une urne contenantNboules indiscernables au toucher numerotees de1aN. On

eectue, a partir de cette urne,ntirages successifs d'une boule, avec remise, et on noteXle plus grand nombre obtenu. ¬Soitk2N. Que vautP(Xk)? En deduire la loi deX. a l'aide de l'exercice precedent, verier queE(X) =NN1X k=0 kN n

®En deduire quelimN!+1E(X)N

=nn+ 1.

Exercice14 (D'apres CNC 2017)SolutionOn dispose d'un jeton non truque a deux faces numerotees1et2et d'un de tetraedriques (famille

des pyramides de quatre faces triangulaires), equilibre, dont les faces sont numerotees de1a4. On lance le jeton et on noteNle numero obtenu, puis on lanceNfois le de et pour chaque lancer, on note le numero de la face d'appui du de. SoitSla somme des numeros obtenus lors des cesN lancers, (siN= 1, le de est lance une seule fois etSest le numero lu sur la face d'appui du de).

¬Determiner la loi deN.

Donner la loi conditionnelle deSsachant[N=k];pourk= 1, puis pourk= 2. ®En deduire la loi deS, puis son esperance et sa variance. Exercice15 (D'apres CCP 2016)Solution¬Demontrer que la famillen+m2 n+m (n;m)2N2est sommable et calculer sa somme. SoitXetYdeux variables aleatoires sur un meme espace probabilise a valeurs dansN. On suppose que la loi conjointe du couple(X;Y)verie :

8(n;m)2N2;P(X=n;Y=m) =n+m2

n+m+3 (a) V erierque la r elationci-dessus d enitbien une loi c onjointe. (b) D emontrerque les variables al eatoiresXetYsuivent une meme loi. (c) L esvariables al eatoiresXetYsont-elles independantes. Exercice16SolutionSoitXune variable aleatoire sur l'espace probabilise( ;T;P)suivant la loi de Poisson de parametre >0. Montrer queY=1X+1admet une esperance et la caculer |||||||||||{ 3. Variables aleatoires de lois continues |||||||||||{ Exercice17SolutionSoitXune variable aleatoire reelle denie sur un espace probabilise( ;T;P)et suivant la loi uni- forme sur[0;1]. Determiner la loi deY=ln(X). Reconnaitre la loi deY. En deduireE(Y)etV(Y). Exercice18SolutionSoitXune variable aleatoire reelle denie sur un espace probabilise( ;T;P)et suivant la loi normale centree reduite:X N(0;1)si8x2R;fX(x) =1p2ex22 On dit qu'une variable aleatoireZsuit la loi Gamma de parametre(;)ou; >0et on note

Z(;)sifZ(t) =(

()x1exex2 si x >0

0si x0.

Ou8x >0;(x) =Z

+1 0 tx1etdt. ¬En utilisant, la loi normale centree reduite, calculer(12

On considere la variable aleatoireY=X2.

(a)

Exprimer FYen fonction deFX.

(b)

E nd eduireque Y=X2suit la loi(12

;12 Exercice19SolutionSoitXune variable aleatoire reelle denie sur un espace probabilise( ;T;P)et suivant la loi expo-

nentielle de parametre >0.https://ettahrifouad1.wixsite.com/prepasmarrakech3/16ettahrifouad1@gmail.com

Ecole Royale de l'air de Marrakech Exercices Corriges de probabilite Annee 2019/2020Pour tout reelx,[x]designe la partie entiere dex.

On denit l'applicationY= [X]partie entiere deX.

¬Verier queYest une variable aleatoire.

Pour toutk2N, calculerP(Y=k1).

®En deduire queY+ 1suit une loi geometrique dont on donnera le parametre. ¯En deduire l'esperance et la variance deY+ 1, puis l'esperance et la variance deY.

Exercice20SolutionSoitXune variable aleatoire reelle et suivant la loi exponentielle de parametre >0etYest une

variable aleatoire suivant la loi geometrique de parametrep2]0;1[denies sur le m^eme espace prob- abilise( ;T;P). On suppose queXetYsont independantes et on denit l'applicationTparT=XY ¬Justier queTest une variable aleatoire reelle.

Verier que pour tout reelt,(T > t) =[

k2N(Y=k)\(X > tk).

®En deduire que pour tout reelt,P(T > t) =(

pet1(1p)etsi t0

1si t <0.

¯Montrer queTsuit une loi continue, puis determiner sa fonction de densitefT.

Exercice21 (D'apres CNC 2019)SolutionPour tout entier natureln, on denit la fonctiongnde la variable reellexpar :

8x2R;gn(x) =xnexp

x22 ¬Soitn2N. Montrer que la fonctiongnest integrable sur l'intervalle[0;+1[.

Pour tousa >0etn2N, on poseIn=Z

+1 0 g n(x)dxetIn(a) =Z a 0 g n(x)dx: (a) Soit n2N. Pour touta >0, etablir une relation entre les integralesIn(a)etIn+2(a)a l'aide d'une integration par parties puis en deduire queIn+2= (n+ 1)In: (b) En utilisant la loi normale centree reduite, justier queI0=p 2 (c) C alculerla valeur de l'int egraleI1et montrer que, pour tout entier natureln1 I 2n=r 2 (2n)!2 nn!etI2n+1= 2nn! ®Soitgla fonction denie pour tout reelxpar :g(x) =g1(x)six0;

0six <0:

(a)

D emontrerque gest une densite de probabilite.

(b) Soit Xune variable aleatoire reelle admettantgcomme densite de probabilite. Justier queX admet une esperanceE(X)et une varianceV(X)puis preciser leur valeur. (c) On d esignep arFetGles fonctions de repartitions respectives des variables aleatoiresXet Y=X2. Pour tout reelx, exprimerG(x)en fonction deF(px), puis en deduire queYest une variable a densite. Reconnaitre la loi deYet donner la valeur de son esperanceE(Y)et de sa varianceV(Y). ||||||||||{ 4. Fonctions generatrices ||||||||||{

Exercice22 (D'apres CCP 2019)SolutionUn sac contient quatre boules : une boule numerotee 0, deux boules numerotees 1 et une boule

numerotee 2. On eectuentirages d'une boule avec remise et on noteSnla somme des numeros tires. Determiner pour toutt2]1;1[; GSn(t)et en deduire la loi deSn.

Exercice23SolutionSoientX1;X2;:::;Xndes variables aleatoires independantes de lois de Poisson de parametres respectifs

1;2;:::;n>0. Determiner, en calculant sa fonction generatrice, la loi deX1+X2+:::+Xn:https://ettahrifouad1.wixsite.com/prepasmarrakech4/16ettahrifouad1@gmail.com

Ecole Royale de l'air de Marrakech Exercices Corriges de probabilite Annee 2019/2020||||||||||{ 5. Inegalites et theoremes limites ||||||||||{

Exercice24SolutionSoitnun entier naturel etXune variable aleatoire suivant la loi geometriqueG(1n

¬Montrer queP(X>n2)61n

Montrer queP(X>2n)611n

Exercice25SolutionSoit(pn)n2Nune suite de reels de[0;1]tel quelimn!+1npn=et(Xn)n2Nune suite de variable aleatoire

telle queXnsuit la loi binomiale de parametre(n;pn). Montrer que la suite(Xn)n2Nconverge en loi versXouXsuit la loi de Poisson de parametre.

Exercice26SolutionAppliquer le theoreme central limite a une suite(Xn)n1de variables aleatoires independantes de loi

de Poisson de parametre1, pour demontrer quelimn!+1ennX k=0n kk!=12 Ecole Royale de l'air de Marrakech Exercices Corriges de probabilite Annee 2019/2020|{

Corriges d'exercices|{

|||||||||||{ Espaces probabilises |||||||||||{

Solution de l'exercice?1Retour a l'enonce

Pour toutn1, on considere les evenementsA" Tous les nombres obtenus soient pairs " etAn" Lesnpremiers nombres obtenus sont pairs ". Comme la suite(An)n1est decroissante etA=\ n1A n, alorsP(A) = limn!+1P(An) = limn!+1 36
n = 0

Solution de l'exercice?2Retour a l'enonce

¬Comme les evenementsAnsont deux a deux incompatibles, alors la serieX n0P(An)est convergente et sa somme est egale aP [ n2NA n! , en particulierlimn!+1P(An) = 0.

On suppose que la serieX

n0P(An)est convergente.

Pour toutn2N;\

n2N[ knA k[ knA k, donc0P0 n2N[ knA k1 A P0 knA k1 A +1X k=nP(Ak).

Puisque la serie

X n0P(An)est convergente, alors+1X k=nP(Ak)!n!+10, par suiteP0 n2N[ knA k1 A = 0

Solution de l'exercice?3Retour a l'enonce

NotonsBl'evenement " on a tire une boule blanche " et pouri2[[0;2]],Ail'evenement "on a transfere iboules blanches de l'urneBdans l'urneA".

On aP(A0) =(8

2)( 12

2)=2866

;P(A1) =(8 1)(4 1)( 12

2)=3266

;P(A2) =(4 2)( 12

2)=666

¬Comme(A0;A1;A2)est un systeme complet d'evenements, d'apres la formule des probabilites to- talesP(B) =P(B=A0)P(A0) +P(B=A1)P(A1) +P(B=A2)P(A2) =613 2866
+713
3266
+813
666
=220429

On utilise la formule de Bayes

P(A1[A2=B) =P(A1=B) +P(A2=B) =P(B=A1)P(A1)P(B)+P(B=A2)P(A2)P(B)=429220 713
3266
+429220
813
666
=3455

Solution de l'exercice?4Retour a l'enonce

¬NotonsAnl'evenement " Cette personne ne fume pas len-eme jour ".

Par la formule des probabilites totales, on a

p n+1=P(An+1) =P(An+1=An)P(An) +P(An+1=Acn)P(Acn) =ppn+ (1p)(1pn)

Ainsipn+1= (2p1)pn+ (1p).

On reconnait une suite arithmetico-geometrique. Son expression generale est

8n2N; pn= (2p1)np0+12

®On alimn!+1pn=12

. Lorsquenest grand, on n'a plus aucune indication permettant de savoir si la personne ne fume pas len-eme jour ou non

Solution de l'exercice?5Retour a l'enonce

¬p0= 1etpN= 0.

On suppose que0< a < N.

NotonsAal'evenement " Le processus se termine en0, en partant dea" p a=P(Aa) =P(Aa=Aa+1)P(Aa+1) +P(Aa=Aa1)P(Aa1) =ppa+1+ (1p)pa1. ®On appa+1pa+ (1p)pa1, donc(pa)0aNest suite reccurente lineaire d'ordre2d'equation caracteriqtique(c):pr2r+ (1p) = 0. On remarque quer1= 1est une racine de(c), donc l'autre racine estr2=1pp

Sip6=12

, alors(c)admet deux racices reelles distinctsr1etr2, dans ce cas9;2R, tels quehttps://ettahrifouad1.wixsite.com/prepasmarrakech6/16ettahrifouad1@gmail.com

Ecole Royale de l'air de Marrakech Exercices Corriges de probabilite Annee 2019/2020p a=rn1+ra2=+(1pp )a. Puisquep0= 1etpN= 0, alors

8a2[[0;N]];pa=

1pp N1pp a 1pp N1

Sip=12

, alors(c)admet une racine doubler1=r2= 1, dans ce cas9;2R, tels que p a= (a+)ra1=a+. Puisquep0= 1etpN= 0, alors

8a2[[0;N]];pa=NaN

¯De meme, on a(

q

0= 0; qN= 1

8a2[[1;N1]]; qa=pqa+1+ (1p)qa

Sip6=12

, on trouve

8a2[[0;N]];qa=

1pp a1 1pp N1

Sip=12

, on trouve8a2[[0;N]];qa=aN 8a2[[0;N]];pa+qa= 1, ceci justie bien que le processus se termine au point0ouN

Solution de l'exercice?6Retour a l'enonce

Commepest un diviseur positif den,9q2N;n=pq.

¬Soitc2[[1;n]].

c2Ap() 9k2Z;c=kp () 9k2[[1;q]];c=kp; car16c6n,16kp6pq,16k6q ()c2 fp;2p;3p;:::;qpg AinsiAp=fp;2p;3p;:::;qpg, par suiteP(Ap) =Card(Ap)Card([[1;n]])=qn =1p (a)Mon tronsque les evenementsAp1;Ap2;:::;Aprsont mutuellement independants. SoitJ=fn1;:::;nsgune partie (ni) de[[1;r]], a-t-onP0

16k6sA

pnk1 A =sY k=1P(Apnk) c2\

16k6sA

pnk() 8k2[[1;s]];c2Apnk () 8k2[[1;s]];pnkdivise c () 8k2[[1;s]];sY k=1p nkdivise c car des nombres premiers distincts sont premiers entre eux ()c2Apavec p=sY k=1p nk Ainsi

16k6sA

pnk=Apavecp=sY k=1p nk

Par suiteP0

16k6sA

pnk1 A =P(Ap) =1p =1s Y k=1p nk=sY k=11p nk=sY

Ecole Royale de l'air de Marrakech Exercices Corriges de probabilite Annee 2019/2020(b)i) Soit k2[[1;n]].

k2A()k^n= 1 () 8i2[[1;r]];k^pi= 1; car p1;p2;:::;prles diviseurs premiers den () 8i2[[1;r]];pine divise pask () 8i2[[1;r]];k2(Api)c ()k2r\ i=1(Api)cquotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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