[PDF] Relativité et Électromagnétisme : TD 2 — L7 — 20 février 2014

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Relativité et Électromagnétisme : TD 2

- L7 -

Voyage interstellaire

20 février 2014

Exercice 1 : Diagramme de Loedel

Cet exercice porte sur la représentation graphique d"un espace-temps à 2 dimensions (une dimension d"espace et une dimension temporelle). On considère les systèmes d"axes obliquesxOyetx?Oy?définis par la figure 1 ci-dessous : Soit E un point du plan. On le repère par ses coordonnées ?x=OKy=OH x ?=ONy?=OM

1. Montrer que OH

2-OK2=OM2-ON2.

2. On pose OH=ct,OK=x,OM=ct?,et ON=x?.

Montrer que si E est un événement d"espace-temps,(ct,x)et(ct?,x?)représentent ses coordonnées dans deux référentiels inertielsRetR?.

3. Soitvla vitesse deR?par rapport àR.

Exprimez l"angleαen fonction deβ=v/c.

4. Dessinez le cône de lumière issu de O.

Exprimez l"angle que le rayon lumineux issu de O fait avec l"axe Ox.

5. On se propose de retrouver la formule de l"effet Doppler par une construction purement

géométrique (figure 2). On considère l"émission d"un signal lumineux issu de H à l"instantT0, calculer l"instant H? de réception du signal dans le référentielR.

On pourra utiliser la relation trigonométrique

a sinα=b sinβ=c sinγ, valable dans un triangle oùαest l"angle opposé au côtéa.

Exercice 2 : Paradoxe des Jumeaux

Deux jumeaux naissent sur Terre, l"un est appelé le sédentaire et notéSet l"autre est appelé

le voyageur et notéV. Dès leur naissance, les deux jumeaux sont séparés : pendant queSreste

sur la Terre,Vmonte dans une fusée piloté par le piloteP?et part pour une étoileEsituée à

une distanceL = 40années-lumière de la Terre et effectue son voyage à la vitesse constantev

(par rapport à la Terre) telle queγ= 22. On noteRle référentiel inertiel lié à la Terre dans

lequelSest au repos, etR?le référentiel inertiel lié au piloteP?. Le point de départ est l"origine

O(x= 0ett= 0) et le mouvement s"effectue selon l"axeOxdu référentielR. On noteraTla durée du voyage de la Terre à l"étoile dans le référentielR. 1

Licence de physiqueL7Année 2013-2014

1. Paramétrer les lignes d"univers deS,VetEdans chacun des deux référentielsRetR?.

Représenter les diagrammes d"espace-temps dansRetR?.

2. Calculer la duréeTdu voyage vue parSpuis la duréeT?du voyage pourV.

On s"intéresse maintenant au trajet retour : on suppose qu"à peine arrivé sur l"étoile,Vsaute

sur une seconde fusée pilotée parP??, et qui se dirige à la vitesse-vvers la Terre. On noteR??

le référentiel inertiel lié àP??.

3. Quelle est la durée du trajet retour pourSet pourV? En déduire les temps d"aller-retour

T

AR[S]etTAR[V]pourSetV.

4. Voici le raisonnement de Langevin :le temps d"aller-retourTAR[S]pourSest un temps

propre, il doit donc être égal àTAR[V]/γ. De même, le temps d"aller-retourTAR[V]pour Vest un temps propre, il doit donc être égal àTAR[S]/γ. Ces deux phrases sont contra- dictoires siγ?= 1. Où est l"erreur dans le raisonnement de Monsieur Langevin1? Quelle phrase est la bonne?

Exercice 3

Une règle est au repos dans le référentiel (R) et sa longueur estL0. Soit (R") un autre réferentiel

en translation uniforme par rapport à (R) avec une vitesseV. a- Comment un observateur dans (R") peut-il mesurer la longueur de la règle. b- Quelle est la longueur de la règle dans (R")?

Exercice 4

L"absence de notion de simultanéité absolue en relativité restreinte conduit à plusieurs "para-

doxes" apparents. Un des plus célèbres est celui d"une voiture et d"un garage qui ont la même

longueur propre. Le conducteur arrive avec une grande vitesse au garage et un gardien est chargé de fermer la porte lorsque l"arrière de la voiture entre au garage. Selon le gardien "La voiture a subi une contraction de Lorentz et j"ai pu facilement fermer la porte". Selon le conducteur

"Le garage a subi une contraction de Lorentz et était trop petit quand je suis entré au garage".

Lequel des deux a raison?

Exercice 5

Une règle de longueur au reposl0dans un système S" se trouve dans le plan (x",y") et fait un angle

arcsin(3/5) avec l"axe Ox". Le système S" se déplace avec une vitesse constanteVparallèlement

à l"axe x d"un autre système inertiel S.

1. Paul Langevin avait parfaitement compris la relativité restreinte et n"a jamais proposé le paradoxe des

jumeaux comme une preuve de l"inconsistance de la relativité restreinte. Au contraire, le " paradoxe » qui porte

son nom a en fait été porté devant ses contemporains par Langevin pour leur montrer que la notion de simultanéité

pouvait induire en erreur. TD n o22

Licence de physiqueL7Année 2013-2014

a- peut-on choisr la vitesseVpour que la règle soit inclinée de 45 degrés avec l"axe Px dans

S. b- Quelle est la longueur de la règle dans S dans ces conditions?

Exercice 6

Les coordonnées d"espace-temps de deux évènements mesurés dans S sont :

1-x1=x0,t1=x0/c,y1=z1= 0.

2-x2= 2x0,t2=x0/(2c),y2=z2= 0.

a) Il existe un référentiel S" dans lequel ces deux évènements sont simultanés. Trouver sa

vitesse par rapport à S. b) Quelle est la valeur de t où les deux évènemnts ont lieu dans S". TD n o23

Licence de physiqueL7Année 2013-2014OH

E K M N xy 0 x0y

Figure1: Diagramme de Loedel

TD n o24

Licence de physiqueL7Année 2013-2014xct

0 x0ct HH 0 (a) Diagramme de Loedelαa b γc a sinα=b sinβ=c sinγ (b) identité trigonométrique

Figure2: Diagramme de Loedel et effet Doppler

TD n o25quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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