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Chapitre C-XIII

Ondes électromagnétiques dans la

matière : propagation, réflexion et transmission.

Joël SORNETTE met ce cours à votre disposition selon les termes de la licence Creative Commons :

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RÉSUMÉ :

On commence par étudier la propagation d"une onde électromagnétique dans quelques

types de milieux : un métal réel ou idéalisé, un plasma peu dense, éventuellement plongé

dans un champ magnétique statique, et un diélectrique linéaire. On établit le lien entre les discontinuités des champs et les charges ou courants surfa-

ciques. On en déduit les coefficients de réflexion et de transmission à la surface d"un métal

réel ou parfait ou sur un dioptre entre diélectriques, en incidence normale ou oblique. On détaille très attentivement la notion de courant surfacique libre. On s"intéresse aussi aux coefficients énergétiques, tout particulièrement dans le cas d"indices complexes. En annexe, on traite de la répartition du courant dans un circuit filiforme, des guides d"onde et des électroaimants. 2

Table des matières

C-XIII Ondes électromagnétiques dans la matière : propagation, réflexion et transmission. 1

1 Propagation d"ondes électromagnétiques dans la matière. . . . . . . . . 5

1.a Méthodologie utilisée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.b Ondes dans un métal. Effet de peau. . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.c Modèle du métal parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.d Ondes dans un plasma peu dense. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.e Ondes dans un plasma peu dense magnétisé. . . . . . . . . . . . . 14

1.f Ondes dans un diélectrique linéaire homogène isotrope. . . . . . . 18

2 Réflexion et transmission d"ondes sur un dioptre. . . . . . . . . . . . . 23

2.a Lois de Snell-Descartes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.b Réflexion totale. Onde évanescente. . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.c Relations de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.d Réflexion sur un métal parfait en incidence normale. . . . . . . . . 31

2.e Réflexion sur un métal réel en incidence oblique. . . . . . . . . . . 32

2.f Coefficients de réflexion et transmission entre diélectriques. . . . . 36

2.g Coefficients de réflexion et transmission énergétiques (milieux non

absorbants). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.h Coefficients de réflexion et transmission énergétiques (milieux ab-

sorbants). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3 Problématiques annexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.a Répartition du courant alternatif dans un circuit filiforme. . . . . 45

3.b Onde propagative dans un guide d"onde. . . . . . . . . . . . . . . 49

3

3.c Application aux ferromagnétiques. Exemple de l"électro-aimant. . 51

4

1 Propagation d"ondes électromagnétiques dans la matière.

1.a Méthodologie utilisée.

La transformation deFourierà quatre dimensions permet de considérer, en notation complexe, toute fonction scalaire de la position!r=!OMet du tempstcomme somme d"ondes planes progressives sinusoïdales de la forme a (!k ;!) exp[i(! t!k!r)] En étudiant un seul des termes, noté alors pour allégeraexp[i(! t!k!r)], sans préciser les valeurs de!et!k, on les étudie tous;aest l"amplitude complexe. Par projection sur les trois axes, on peut en dire autant d"une fonction vectorielle et l"on étudiera donc des ondes planes progressives en!aexp[i(! t!k!r)] En notantkx,kyetkzles composantes de!ketx,yetzles coordonnées deM, les ondes sont en : exp[i(! tkxxkyykzz)] Pour ce type de fonction la dérivée partielle par rapport au temps @@t est formellement une multiplication pari!; formellement, on a une réécriture symbolisée par@@t !i!; de même :@@x ! ikx@@y ! iky@@z ! ikz Il en résulte que le vecteur symbolique " nabla » peut se transcrire ainsi : !r=ddx!ex+ddy!ey+ddz!ez! ikx!exiky!eyikz!ez=i!k et que, pour des fonctions de type ondes planes progressives sinusoïdales, scalaires ou vectorielles selon le cas, on pourra affirmer, en notations complexes : 8>< gradf=!rf=i!k f=if!k div!V=!r !V=i!k!V!rot!V=!r ^!V=i!k^!V

Par exemple, si l"on note

!E=!E0exp[i(! t!k!r)]et!B=!B0exp[i(! t!k!r)], l"équation deMaxwell-Faraday, soit!rot!E=@B@t , se traduit par : i!k^!E=i! B et même, après simplification par l"exponentielle (et anecdotiquement ici pari), par : !k^!E0=! B0 5 Dans tout ce chapitre, on passera donc directement de !rot!E=@B@t

à!k^!E0=!B0pour aérer l"écriture.

1.b Ondes dans un métal. Effet de peau.

On étudie ici un métal où les effets de la conductivité masquent les effets diélectriques

et magnétiques que nous négligerons donc. La densité volumique de chargeet la densité de courant!jse confondent donc respectivement aveclibet!jlib(voir chapitre C-XII).

Loi d"Ohm locale et conséquences.

On rappelle la loi d"Ohmlocale qui, en tenant compte de la distinction entre charges libres et liées, s"écrit!jlib= !E. Le lecteur est renvoyé au chapitre C-V consacré à l"électrocinétique pour les justifications de cette loi. La première conséquence est que sur un très large domaine de fréquences, on est dans l"approximation des régimes quasi-permanents (voir chapitre C-VIII sur les équations de

Maxwell); en effet, il suffit1pour cela que :

"0@!E@t k !Ek soit avec un champ du type !E=!E0exp[i(! t!k!r)]: i!!E0 !E0

0k!E0k

k!E0k 2 "0f f2 4 "0

Dans le cas du cuivre (

= 6;3107S:m1) et avec14 "09109, la condition est f5;71017Hz, disonsf661015Hz, ce qui correspond à des longueurs d"ondedans le vide=cT=c=f>0;5 107m = 0;05m = 50nm, l"approximation est donc valable

pour les fréquences industrielles, les fréquences hertziennes (radio, TV, radar, etc.), l"infra-

rouge, le visible et le proche ultra-violet! Une autre conséquence est que le milieu est électriquement neutre (= 0). Physique-

ment, c"est aisé à comprendre : les électrons de la liaison métallique peuvent se déplacer1. On a montré dans le chapitre C-VIII que cette présentation pourtant traditionnelle n"est pas satis-

faisante mais on ne développe pas ici. 6 librement. Comme ils sont repoussés par les zones positives et attirés par les zones posi-

tives, ils vont se déplacer des zones où ils sont en excès vers celles où ils font défaut, ce

déplacement est dans le sens d"un retour à l"équilibre et comme on sait qu"il y a dissipation

d"énergie par effetJoule, on sait bien que tôt ou tard, on atteindra l"équilibre. Quanti- fions maintenant le phénomène, la démonstration est courte et astucieuse

2. On part de

l"équation de conservation de la charge, on y reporte!j= !Epuis la troisième équation deMaxwell:@@t + div!j= 0 @@t div!E= 0 @@t 0= 0 dont la solution est :

8M (M;t) =(M;0) exp(t=)

avec="0= ;est donc négligeable au bout de7, soit de l"ordre de1018s dans le cas du cuivre!

Effet de peau.

Les équations deMaxwelldans un tel milieu sont donc : div !B= 0 rot!E=@!B@t div!E= 0 car= 0 !rot!B=0!j=0 !E(régime quasi permanent et loi d"Ohm)

Prenons

3le rotationnel de la deuxième :

rot(!rot!E) =!grad(div!E)!E=!rot@!B@t =@!rot!B@t =0 @!E@t soit, grâce à la troisième et un changement de signe : !E=0 @!E@t

2. Il faut comprendre qu"il est opportun de l"apprendre par coeur.

3. On commence par ne pas utiliser la méthode énoncée plus haut. C"est qu"il y a un impératif supé-

rieur : la mise en évidence d"un aspect diffusif. On utilise une formule classique d"analyse vectorielle sur le

rotationnel d"un rotationnel. 7 qu"on appelleéquation-pilotede ce milieu. On y reconnaît l"équation caractéristique des phénomènes diffusifs (voir le chapitre E-X qui leur est consacré). Plaçons nous dans le cas d"un plan d"équationx= 0séparant côtéx <0le vide (en

pratique l"air) et de l"autre (x >0) un métal et étudions la possibilité d"une onde plane se

propageant orthogonalement au plan et polarisée rectilignement (pour alléger les calculs), soit en notation complexe : !E=E0expi(! tkx)!ey

En projection surOy, l"équation-pilote donne :

(ik)2E0expi(! tkx) =0 (i!)E0expi(! tkx) soitk2=i0 !=0 !exp(i=2)d"où k=p 0 !exp(i=4) =p 0 p2 2 ip2 2 =q 0 !2 (1i), en se rappelant qu"il est plus aisé de calculer la racine carrée d"un complexe lorsqu"on exprime celui-ci en module et argument). Notons pour allégerk=iet reportons dans l"expression du champ avecE0= E

0expi', on obtient :

!E=E0expi[! t(i)x+']!ey=Emexp(x)expi(! t x+')!ey soit, en notation réelle : !E=E0exp(x)cos(! tx+')!ey On reconnaît une propagation amortie, l"onde est divisée par un facteur 1000 (et devient négligeable au delà) à une abscisse, appelée profondeur de pénétration : = ln(1000)== ln(1000)r2 0 != ln(1000)=p 0 f Une application numérique s"impose; on rappelle queln(1000) = 6;9et aussi que

0= 4107, on a pour le cuivre

= 6;3:107S:m1: - à la fréquence industrielle de 50 Hz,= 62mm - aux fréquences radio FM ou TV, disons à 100 MHz,= 44m - aux fréquences optiques disons à 0,51015Hz,= 20nm Ces résultats restent valables pour une surface de séparation air/métal non plane, pourvu que son rayon de courbure soit grand devant. Les phénomènes électromagnétiques restent cantonnés dans une " peau » d"épaisseurà la surface des métaux. Pour un fil cylindrique conducteur de rayonr, ce n"est pas gênant sir, la gêne est supportable si ret c"est franchement nuisible sir(la surface utile traversée par le courant passe de r2à l"aire d"une couronne de l"ordre de2ret la résistance augmente d"autant) 8 Par exemple à la fréquence du réseau EDF, pour les fils domestiques de surfaces nor- malisées à1;5mm2pour l"éclairage, à2;5mm2pour les prises de courant et4mm2pour les fours ou plaques électriques, soit des rayons de 0,7 mm, 0,9 mm et 1,1 mm, tout va très bien (= 62mm). Par contre aux fréquences FM ou TV seule une peau de 44m "travaille»; en fait on utilise plutôt des conducteurs creux (cable coaxial, antenne télescopique). On pourra retenir qu"une feuille d"aluminium alimentaire (d"épaisseur 50m) empêche toute écoute de la première symphonie, dite "Titan», de GustavMahler4sur la bande FM.

Etude énergétique

Si le champ électrique est, en notation complexe, !E=E0expi(! tkx)!eyavec k=iet=q 0 !2 , la seconde équation deMaxwelldonne, en notation complexe i!k^!E=i!!Bd"où : B=k! !ex^E0expi(! tkx)!ey=k!

E0expi(! tkx)!ez

Calculons maintenant le vecteur dePoyntingqui nécessite, on ne le répétera jamais assez, un retour aux notations réelles car c"est un produit de grandeurs sinusoïdales; pour le champ électrique, pas de problème, avecE0=E0expi', on obtient (cf supra) : !E=E0exp(x)cos(! tx+')!ey Pour le champ magnétique, c"est plus délicat, on a : B=i!

E0exp(x)expi(! t x+')!ez

dont la partie réelle est : !B=!

E0exp(x)[cos(! t x+') + sin(! t x+')]!ez

d"où : (x;t) =E20

0!exp(2x)[cos2(! t x+')+sin(! t x+'):cos(! t x+')]!ex

dont la moyenne temporelle est : h

!(x;t)i=E2020!exp(2x)!ex4. Cette symphonie était à mon cours en PC ce que la coccinelle était aux BD de Gotlib. Il fallait donc

que j"y fisse référence quelque part dans ce cours. 9 Bien sûr, on constate que, comme l"onde, la puissance surfacique moyenne transportée décroît exponentiellement avec la distance parcourue. Considérons un volume cylindrique d"axeOxde surfaceScompris entre les abscissesx etx+dxet faisons un bilan énergétique entre les instantstett+dt. En moyenne temporelle, il entre, en notant=<>!ex, une énergie<(x;t)> Sdtà l"abscissexet il sort une énergie<(x+ dx;t)> Sdtà l"abscissex+ dx; le bilan par unité de volume et de temps est donc l"absorption d"une puissance volumique : <(x;t)> Sdt<(x+ dx;t)> SdtSdxdt @ <>@x =2E20

0!exp(2x) = (

E20=2) exp(2x)

Ce résultat est satisfaisant, car on sait que les charges absorbent la puissance volumique j :!E= !E2=

E20exp(2x)cos2(! tx+')

de moyenne temporelle : E 202
exp(2x) et l"on retrouve bien le même résultat; c"est beau la physique, non? En tout cas, moi, je ne m"en lasse pas! Du reste la démonstration est possible aussi, quoique plus calculatoire, en valeur ins- tantanée.

1.c Modèle du métal parfait

Si l"épaisseur de l"effet de peau est négligeable devant la taille du conducteur, on peut la considérer comme nulle; or faire tendre= ln(1000)=p 0 fvers0revient formellement

à faire tendre la conductivité

vers l"infini. Un conducteur parfait est donc un conduc-

teur de conductivité infinie. La conséquence pour le champ électrique est très simple : en

réécrivant la loi d"Ohm!E=!j = et en faisant tendre vers l"infini, on en déduit que le champ électrique dans un conducteur parfait est nul. Pour le champ magnétique, dans un contexte quelconque, la seconde équation deMaxwellavec un champ électrique nul conduit à : @!B@t =!0 donc à un champ magnétique stationnaire. Dans un contexte purement sinusoïdal de pulsation!, c"est encore plus simple puisque la relation précédente devient : i! !B= !0 10 donc à un champ magnétique lui aussi nul. Reste à discuter la validité du modèle, soit pour un conducteur dont la taille caractéristique estL: = ln(1000)=p 0 fL La condition ne porte pas que sur le conducteur par l"intermédiaire de sa taille et de sa conductibilité mais aussi sur la fréquence du phénomène étudié; on doit avoir : fln(1000)2 0 L2 disons f>100ln(1000)2 0 L2

Un fil de cuivre (voir données plus haut) cylindrique de rayon 1 cm pourra être considéré

comme un métal parfait au delà de 200 kHz; le courant sera alors localisé à la surface du

cuivre et le fil pourra parfaitement être creux, on est dans la technologie du cable coaxial.

Pour l"eau de mer de conductivité faible

= 103Sm1et pour un océan de profondeur

10 km, c"est un conducteur parfait au delà de 12 kHz; cela voudra dire que les ondes radio

au delà de 12 kHz se réfléchiront sur l"océan comme sur une surface métallique.

1.d Ondes dans un plasma peu dense.

Modélisation.

Nous prendrons ici l"ionosphère pour exemple.

L"équation du mouvement d"un électron libre dans l"ionosphère soumis aux champs électrique!Eet magnétique!Bd"une onde sinusoïdale peut s"écrire : m d!vdt=eh!E+!v^!Bi !v Au second membre figurent la force de Lorentz et une force de frottement fluide qui rend compte de façon phénoménologique de tous les phénomènes dissipatifs (chocs avec les particules neutres, essentiellement). Ce dernier terme peut être négligé dans un plasma peu dense où la probabilité d"un choc devient très petite. De façon quasi-systématique, on verra dans tout ce chapitre quek!Bk=k!EkV 'oùV' est la vitesse de phase (voir chapitre D-IV sur la dispersion et l"absorption en physique vibratoire et ondulatoire) de l"onde, toujours proche dec, vitesse de la lumière dans le vide.

On en déduit que

k!v^!Bkk !Ek29183650000. Il en résulte que la vitesse des ions est négligeable et qu"on peut les considérer comme immobiles. Puisque seuls les électrons contribuent à la densité de courant et que leur densité volumique de charge est=n(e), on a !j=!v=neiem! !E=ine2m! !E Relation de dispersion. Pulsation de coupure. Vitesse de phase et vitesse de groupe. Reportons ce dernier résultat dans l"équation de Maxwell-Ampère !rot!B=0!j+"0@!E@t transcrite en notations complexe (voir plus haut la méthodologie) : i!k^!B=0(ine2m! +i! "0)!E Tirons parti des équations deMaxwell-Faraday,!rot!E=@!B@t , sous la forme trans- crite en régime sinusoïdal,i!k^!E=i! "0!B, d"où successivement, avec la formule du double produit vectoriel

5et la première équation deMaxwell,div!B= 0sous la

formei!k!B= 0: i!k^(i!k^!B) =0 ine2m! +i! "0 (i!k^!E)5. !a^(!b^!c) =!b(!c!a)!c(!a!b) 12 i!k(i!k!B)(i!k)2!B=0"0 ine2m! " 0+i! (i!!B) k2!B=1c 2 ne2m"

0+!2!B

qui n"est possible, sauf à avoir une onde nulle, c"est-à-dire pas d"onde, que si !ket! sont liés par l"équation de dispersion: k

2=!k2=!2!2Pc

2 oùk=k!kket où!P=qne 2m"

0est lapulsation plasma.

Remarque : la méthode employée remplace la méthode en !rot!rot!Bemployée dans le cas du métal parfait et c"en est la simple transcription en notation complexe. La méthode en!rot!rot!Best ici utilisable formellement (et donne le bon résultat) en remplaçant!j parine2m! !E, mais ce n"est guère rigoureux. Pour! < !p,k2est négatif donckimaginaire pur, ce qui conduit à des ondes en exp(jkjx) cos(! t)qui est non propagative et d"amplitude décroissante; on pourra parlerquotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

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