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G.P.DNSSeptembre 2009

DNS Sujet

Calculs de base en ondes électromagnétiques......................................................................................1

A.Une onde.................................................................................................................................1

B.Réflexion sur un conducteur parfait........................................................................................1

1)Métal parfait en z=0.......................................................................................................1

2)Métal parfait en z=L.......................................................................................................2

C.Réflexion et transmission........................................................................................................2

Calculs de base en ondes

électromagnétiques

Toutes les ondes envisagées sont polarisées selonux.

A.Une onde

Une onde électromagnétique sinusoïdale transversale se propage, dans le vide, dans le sens croissant de l'axe des

z,Ez,t=E0expjt-k0zavecE0=E0exp-j0ux. On

suppose connus: E0,0,,c.

1.Quelle est la phase retardMde l'onde en un point

Mde cotez?

2.Retrouver l'expression de

k00en fonction de.

3.Retrouver l'expression deBz,t.

B.Réflexion sur un conducteur parfait

A une cotez, perpendiculairement à l'axe

z, on a placé un plan infiniment conducteur. On

indique que le champ électrique dans le vide (continuité de la composante tangentielle du champ

électrique) doit s'annuler au niveau du plan infiniment conducteur. Il y a alors création d'une onde

réfléchie. L'onde incidente est E0expjt-k0z(voir ci-dessus).

1)Métal parfait en z=0

On suppose que le plan se trouve enz=0. On cherche la solution en complexes sous la forme:

Ez,t=E0expjt-k0zE'0expjtk0z( avec

z0).

4.Déterminer

E'0en utilisant la condition aux limites.

5.En déduire le déphasage retard

='M-Mde l'onde réfléchie par rapport à l'onde

incidente en un point Mde cotez. Commenter les deux termes du résultat.

6.Quel est la valeur du coefficient de réflexion en amplitude

rEpour le champEdéfini comme 1/10

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rE=Eréfléchi

Eincidentauniveauduplan

7.Donner l'expression du champ magnétique de l'onde réfléchie. Déterminer la valeur du coefficient

de réflexionrBpour le champB.

8.Donner l'expression simplifiée au maximum deEz,tet celle deBz,t. Ces expressions

doivent faire intervenir cosk0zousink0z. Donner aussi les expressions réelles des deux champs. Quel est le déphasage deBz,tpar rapport àEz,t.

9.Donner le position des plans nodaux de

E(plans pour lesquelsE=0).

2)Métal parfait en z=L

On reprend la même étude mais en supposant cette fois que le plan se trouve non pas enz=0 mais en z=L. On cherche toujours la solution en complexes sous la forme:

Ez,t=E0expjt-k0zE'0expjtk0z( aveczL).

10.DéterminerE'0.

11.En déduire le déphasage retard

12.Déterminer

rEetrB.

13.Donner les expressions simplifiées au maximum de

Ez,tetBz,t.Ces expressions doivent faire intervenir

14.Déterminer en partant deEz,tla position des plans nodaux deE.

C.Réflexion et transmission

On envisage cette fois le cas de l'onde

E0expjt-k0zarrivant sur un diélectrique (exemple: verre) occupant l'espacez0d'indice nconnu. Dans ce cas, il apparaît une onde réfléchie dans

le videE'0expjtk0zet une onde transmise dans le diélectriqueE''0expjt-nk0z.

15.En utilisant l'équation de Maxwell-Faraday, écrire le champ magnétique

B''dans le diélectrique connaissant le champ électriqueE''.

Le champs électrique tangentiel et le champ magnétique doivent être continus à l'interface en

z=0.On suppose connus:E0,,c,n.

16.En écrivant ces relations de continuité, on obtient deux relations entrerEettE(coefficients

de réflexion et de transmission en amplitude pour E). DéterminerrEettE. Déterminer aussi rBettB.

17.En se rappelant que l'amplitude d'un nombre complexezs'obtient plus simplement en faisant

∣z∣=zz∗oùz∗désigne le complexe conjugué, déterminer l'amplitudeA(réel positif)

du champ Edans le vide en fonction dez.

18.On poseY=A/2E0et

X=z/0. Tracer la courbeYXpourn=1,50. Commenter. 2/10

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