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Cours de mathématiques
BTS SIO première année
Nicolas FRANCOIS
nicolas.francois@free.fr24 mars 2012
2I Numération1
I Introduction : que signifie 1789 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2II Les numérations de position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 A Numération en base 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 B Numérations en baseb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 C Deux bases particulièrement utiles en informatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3III Conversions, changements de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4A Conversion de la basebà la base décimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
B Conversion de la base décimale à la baseb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
C Conversion directe entre binaire et hexadécimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5IV Annexe : représentation informatique des nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6A Les entiers non signés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6B Les entiers signés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 C Les nombres en virgule flottante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Feuille d"exercices n
1 - numération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
II Calcul des propositions11
I Propositions, valeurs de vérité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12A Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12 B Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12II Connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12 A Négation d"une proposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 B Équivalence de deux propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 C Conjonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 D Disjonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 E Implication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14III Propriétés des connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15 A Commutativité et associativité de_et^. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15B Double distributivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16C Élément neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16 D Loi de De Morgan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16E Principe de dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16Feuille d"exercices n
2 - calcul des propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
III Matrices19
I Notion de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20 A Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20B Définition générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20C Égalité matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21II Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21A Addition matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
B Produit d"une matrice par un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
C Produit de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Feuille d"exercices n
3 - Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25
IV Rappels et compléments sur les suites 29
iI Notion de suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
A Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30B Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30C Deux modes de définition de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
D Comportement global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
II Suites classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31A Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31B Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31III Notion de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32A Limite finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
B Limite infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
C Comparaison de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Feuille d"exercices n
4 - Rappels et compléments sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34
V Langage de la théorie des ensembles 35
I Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36A Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
B Notion d"ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
II Sous-ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37A Parties d"un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
B Opérations usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
C Lien avec la logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
III Cardinal d"un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38IV Produit cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39Feuille d"exercices n
5 - Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40
VI Notions de base sur les graphes 43
I Notion de graphe simple orienté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44II Modes de représentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44III Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44Feuille d"exercices n
6 - Graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45
iiCHAPITREINumération
ARITHMÉTIQUE 1
SommaireI Introduction : que signifie 1789 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 II Les numérations de position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 A Numération en base 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 B Numérations en baseb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 C Deux bases particulièrement utiles en informatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 III Conversions, changements de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 A Conversion de la basebà la base décimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 B Conversion de la base décimale à la baseb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 C Conversion directe entre binaire et hexadécimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 IV Annexe : représentation informatique des nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 A Les entiers non signés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 B Les entiers signés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 C Les nombres en virgule flottante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Feuille d"exercices n
1 - numération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 1
I Introduction : que signifie 1789 ?
On a besoin, dans de nombreux domaines, de pouvoir exprimer des quantités. Pour dire qu"on a un troupeau
de 252 moutons, on pourrait montrer une allumette par tête, ou tracer un bâton par tête, de manière à ne pas
avoir à trimballer tout son troupeau, mais cela ne serait guère pratique 1.Il a donc fallu, au cours du temps, inventer des méthodes plus efficaces pour représenter les quantités. L"arrivée
des symboles a permis de représenter les nombres par des écritures plus ou moins faciles à manipuler : systèmes
babylonien, égyptien, basés sur la représentation de certaines quantités par des symboles, et par mise bout-
à-bout de ces symboles pour les autres nombres, système romain, dans lequel la position d"un symbole peut
modifier la signification du symbole suivant...Notre système de numération moderne est fondé sur plusieurs idées intéressantes : un symbole pour chacun des
nombres de0à9, en raison de l"utilisation de la base décimale, et un principe denumération de position: un
même chiffre a une signification différente selon sa position dans l"écriture du nombre.De nombreuses civilisations ont utilisé (et utilisent encore) la base10, sans doute pour des raisons physiologiques
! Le système de notation positionnelle provient de Chine, et a été amélioré et diffusé à partir de l"Inde, au VI
ème
siècle. Enfin, les chiffres que nous utilisons aujourd"hui ont été inventé par les indiens, et leur diffusion en
Europe s"est faite par l"intermédiaire de la civilisation arabe aux alentours du IXèmesiècle.
Mais que signifie donc une écriture telle que1789? Et bien, à chaque position est associée un "poids", d"autant
plus important que le chiffre est plus à gauche. Ce poids est une puissance de la base utilisée, ici la base10.
Ainsi :
1789 = 9100+ 8101+ 7102+ 1103
= 9 + 80 + 700 + 1000Cette écriture est exceptionnellement économique en symboles, puisqu"on évite l"utilisation de symboles représentant
10,100,... Elle permet surtout de réaliser efficacement les opérations dont nous avons le plus besoin dans la vie
courante :interprétationd"une quantité,comparaisonde deux quantités,addition,soustraction,multiplication2...
Nous mettrons en oeuvre ces méthodes en TP d"algorithmique lorsque nous programmerons les opérations
usuelles sur des "grands" entiers.II Les numérations de position
A Numération en base 10
Nous venons donc de voir le principe de la numération en base10. Si un nombre entier s"écrit a nan1an2:::a2a1a0oùnest un entier supérieur ou égal à1, les symbolesaireprésentant des chiffres pris dans l"ensemblef0;1;2;3;4;5;6;7;8;9g,
alors la quantité qu"il représente est : a n10n+an110n1+:::a2102+a1101+a0100=nX i=0a i10iLepoidsdu chiffreakest10k, la puissance de10par laquelle il faut le multiplier pour connaître son influence
dans le nombre. On remarquera que les chiffres dont le poids est le plus important (on parle des chiffresles
plus significatifs) sont à gauche dans l"écriture du nombre. Ainsi, si l"on veut obtenir une bonneapproximation
d"un grand nombre, il suffit de ne conserver que les chiffres les plus à gauche, et de remplacer les autres par des
0(pour conserver la signification des positions !).
B Numérations en baseb
Sibest un entier supérieur ou égal à2, on peut utiliser le principe ci-dessus pour représenter les nombres "en
baseb".1Par contre, ce système de représentation "une allumette pour un mouton" est extrêmement pratique pour additionner les
nombres de moutons de deux troupeaux : il suffit de réunir les paquets d"allumettes de chaque troupeau !
2On ne va pas mettre dans cette liste la division, qui n"est quand même pas une opération si simple que cela, même si notre
système de numération permet de concevoir un algorithme relativement efficace. Mais essayez de diviser deux nombres écrits en
chiffres romains, pour voir ! 2Il faut pour cela une collection de symboles pour représenter tous leschiffresde0jusqu"àb1. C"est facile
lorsquebest inférieur ou égal à10, puisqu"il suffit de prendre les chiffres usuels en ne gardant que ceux strictement
inférieurs àb. Par contre, pour des bases supérieures à10, il faut "inventer" de nouveaux "chiffres".
Ainsi, en base16, les chiffres sont :f0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;A;B;C;D;E;Fg, leAétant le chiffre "10",Ble
chiffre11, etc. Une fois cette collection de symboles choisie, un nombre dont l"écriture en basebest a nan1an2:::a2a1a0oùnest un entier supérieur ou égal à1, les symbolesaireprésentant des chiffres de la baseb, alors la quantité
qu"il représente est : a nbn+an1bn1+:::a2b2+a1b1+a0b0=nX i=0a ibi()Lorsqu"il peut y avoir une confusion entre plusieurs bases, on ajoute en indice à droite du nombre la base utilisée
7548est un nombre écrit en base8,
111011100102est un nombre écrit en base2...
qui ne doit pas être confondu avec1110111001010, qui est une écriture en base10. En l"absence d"indice et de contexte, la base employée est la base décimale.Lorsqu"on écrit un source en langage informatique, on utilise un préfixe ou un suffixe pour préciser la base
employée :en Pascal, l"absence de notation indique la base10, un préfixe $ indique un nombre hexadécimal, un % un
nombre binaire, et un & un nombre octal (base8) ; ainsi, $1AE représente le nombre hexadécimal1AE16
en C, les préfixes0xet0bdésignent respectivement des nombres écrits en hexadécimal ou en binaire.
Notons que la formule()fournit une méthode pour convertir un nombre de la basebvers la base10. C Deux bases particulièrement utiles en informatique1 La base2, ou système binaire
C"est la plus petite base envisageable. Elle n"utilise que deux symboles,0et13. Un chiffre binaire est appelé
"bit" en informatique, ce qui est une contraction de "binary digit", autrement dit "chiffre binaire" en anglais. Le
poids du bit en positionkest2k. Voici la représentation des premiers entiers en binaire :En base10En binaire 00 11 210311
4100
5101
6110
7111
81000
91001
101010En base10En binaire
111011
121100
131101
141110
151111
1610000
1710001
1810010
1910011
2010100
2110101
3ce qui tombe bien puisque l"électronique numérique sait représenter ces deux valeurs par deux plages de tensions différentes, de
façon efficace. On pourrait imaginer un plus grand nombre de plages, mais le système deviendrait alors beaucoup plus sensible au
bruit, sans gain réel d"efficacité. 3Exemples :
Le nombre11101112a pour valeur
126+ 125+ 124+ 023+ 122+ 121+ 120= 64 + 32 + 16 + 4 + 2 + 1 = 119
Pour convertir le nombre221en base2, on va chercher les puissances de2"entrant" dans ce nombre : -la plus grande puissance de2inférieure à221est27= 128; le reste est221128 = 93; -la plus grande puissance de2inférieure à93est26= 64; le reste est9364 = 29; -la plus grande puissance de2inférieure à29est24= 16; le reste est2916 = 13; -la plus grande puissance de2inférieure à13est23= 8; le reste est138 = 5; -la plus grande puissance de2inférieure à5est22= 4; le reste est54 = 1 = 20.Ainsi,22110= 27+ 26+ 24+ 23+ 22+ 20= 110111012.
Exercices :
a)Écrire les nom bres27,31,84et128en binaire.
b) Donner la v aleurdes nom bresdon tl"écriture binaire est 1101102,1111112et101010102.2 La base16, ou système hexadécimal
En base16, on a vu que les "chiffres" sontf0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;A;B;C;D;E;Fg. Nous verrons par la suite
l"intérêt de cette base, qui est un substitut plus "humain" du binaire pour "communiquer" avec le microprocesseur
d"un ordinateur. Voici la représentation des premiers entiers en hexadécimal :En base10En hexadécimal 00 11 2233
44
55
66
77
88
99
10AEn base10En hexadécimal
11B 12C 13D 14E 15F 16101711
1812
1913
2014
2115
Exercices :
a) Écrire les nom bres27,31,84et128en hexadécimal. b) Donner la v aleurdes nom bresdon tl"écriture hexadécimale e st8316,A116,FF16etA10E16.III Conversions, changements de bases
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