[PDF] Lanalyse de données Peut être minimisée en

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La statistique au service de la science expérimentale

Pierre-Alexandre Turgeon

Université de Sherbrooke

Pierre-Alexandre Turgeonde données7 Mars 2017

Source : xkcd

Pierre-Alexandre Turgeon7 Mars 2017

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Moyenne

Variance

Mesure de la dispersion des valeurs autour de la moyenne y!

Écart-type

Racine carrée de la variance

Quelques définitions statistiques

Pierre-Alexandre Turgeon7 Mars 2017

3 expérimentale ƒTousles chiffres différents de 0 sont significatifs

3,25 (3 CS)4513 (4 CS)

ƒLe 0 peut être significatif ou non, dépendamment des cas

0,0023 (2 CS)8,20 (3 CS)

grâce à la notation scientifique

4,25 x 104(3 CS)4,250 x 104(4 CS)

Les chiffres significatifs

Pierre-Alexandre Turgeon7 Mars 2017

4 Dans le contexte du cours, vos valeurs seront toujours rapportées avec une incertitude expérimentale. Votre valeur doit avoir la même

7,82 0,1 (incorrect)7,8 0,1 (correct)

Arrondir un nombre

Méthode habituelle :

Cas particuliers:

61,17ĺchiffre impair)

61,16ĺchiffre pair)

. Arrondir pendant les étapes intermédiaires peut engendrer des erreurs.

Les chiffres significatifs

Pierre-Alexandre Turgeon7 Mars 2017

5 mathématiques aux données expérimentales pour en extraire de

Vitesse mesurée en fonction du tempsExemple

On laisse tomber une balle du toit

du département de chimie et on mesure sa vitesse en fonction du temps.

Hypothèse:

La vitesse augmente linéairement

de mouvement de Newton

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6 mathématiques sur les données expérimentales pour en extraire de

Vitesse mesurée en fonction du tempsExemple

On applique une régression linéaire

paramètres :

Et on obtient un coefficient de

corrélation :

Quelle sont les unités de a et v0?

Quelles sont leurs significations? Pourquoi v0est-elle négative?

Comment ces valeurs sont elles obtenues?

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Les résidus

Différence entre un modèle et des

données expérimentales. Prenons une fonction linéaire représentée par :

Le résidu (ri) pour un point iest

donné par la différence entre yiet le modèle

Méthode des moindres carrés

Pour trouver le meilleur modèle pour représenter les données expérimentales, il faut minimiser les résidus. En réalité, on minimise la sommes des résidus au carré

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8

Exemple simple

Les points expérimentaux ci-

contre sont donnés par les couples (10,18), (20,50), (30,54) et (50,109).

Le modèle est donné par:

La somme des résidus au carré

est donnée par:

Méthode des moindres carrés

On doit trouver les paramètres alpha et beta qui minimisent S

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Exemple simple

Pour minimiser S, on prend ses

dérivées partielles et on les fixe à 0 : deux équations et deux inconnus.

Méthode des moindres carrés

Solution manuelle

Solution Excel

Les chiffres significatifs supplémentaires servent à montrer

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Le coefficient de détermination

Le coefficient de détermination (R2

entre un modèle et des données expérimentales Le numérateurcorrespond à la variance par rapport au modèle alors que le dénominateurcorrespond à la variance globale de la distribution.

Méthode des moindres carrés

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Les régressions en général

Il existe autant de types de régressions que de fonctions mathématiques! régressions linéairesavec les paramètres statistiques:

ƒFonction DROITEREG (anglais: LINEST)

Il permet aussi sans statistiques:

ƒExponentielle

ƒLoi de puissance

ƒLogarithmique

Méthode des moindres carrés

Il est parfois possible de les linéariser,

sinon on doit utiliser une méthode alternative (Origin, Python, Matlab, etc.)

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Toute mesure expérimentale

ƒDistribution statistique (ou "bruit») dans les mesures expérimentales. ƒPeut être minimisée en prenant un plus grand nombre de mesure afin

ƒAffecte la précision

ƒErreur qui affecte toutes les mesures de façon similaire. Provient procédure expérimentale déficiente. ƒDifficile à détecter et caractériser. Le fait de prendre plus de mesures ne

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La précision

mesures répétées autour de la moyenne. Elle est synonyme de reproductibilité. Reliée à la différence entre la valeur mesurée et la "valeur attendue». expérimentale

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La statistique des erreurs aléatoires

Si on répète une mesure plusieurs fois, on obtiendra une distribution de Cette distribution suit habituellement la loi normale: expérimentale

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Les intervalles de confiance

de 95% est la suivante:

IncertitudeIntervalle de

confiance

±ʍ68.26%

±1.64ʍ90%

±1.96ʍ95%

±2.58ʍ99%

±3.29ʍ99.9%

Pour un grand nombre de mesures, la vraie valeur

confiance calculés pour chaque mesure.

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16 échantillonnage. Le traitement statistique est alors possible:

ƒMoyenne

ƒÉcart-type (si les données suivent la loi normale)

Les mesures manuelles

ƒVolume: incertitude indiquée sur la fiole jaugée ƒThermomètre : moitié de la plus petite graduation ƒVoltmètre digital : moitié de la résolution (plus petit changement mesurable) À la fin, il revient à vousde déterminer la confiance que vous avez en votre mesure!

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17 Ayant de la difficulté à lire baromètre, vous vous demandez comment une erreur sur la lecture de pression se répercutera sur le calcul de la température. fonction de la pression:

Pour un changement de ǻP

(en assumant que la dérivée partielle ne change pas considérablement avec ǻP)

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20 De façon plus générale, pour des incertitudes de nature instrumentale (non- donnée par:

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Pour des erreurs de type aléatoire (ou statistiques) qui suivent une distribution normale, il y a une forte probabilité les incertitudes se présentée précédemment Dans le cas des erreurs statistiques, on propage les variances de la façon suivante: Où représente la covariance entre les variables x et y. Ce terme est difficile à déterminer et sera généralement négligé pour les fins des laboratoires.

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Si on néglige les covariances entre les variables, la formule suivante permet -type de la fonction fà partir des écart-types sur les paramètres de cette fonction. Cette équation assume que les écart-types sont petits et que la dérivée partielle ne change pas de façon considérable sur la plage De façon plus générale, on peut approximer que toutes les sources comportement statistique, on peut donc appliquer la formule pour la

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Addition / soustraction

Multiplication / division

Exposant

Logarithme

Pour les fonctions plus complexes, il faut faire les dérivées partiellesquotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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