[PDF] Tous les exercices - Electromagnétisme PCSI MPSI PTSI

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Raphaële Langet

Professeur en classes préparatoires

Tous les exercices

© Nathan,

Sommaire

1 Distributions de charges ...................................................................3

2 Champ électrostatique .....................................................................9

3 Circulation et potentiel électrostatique ......................17

4 Théorème de Gauss ............................................................................28

5 Champ électrostatique ...................................................................43

6 Mouvement des particules chargées

dans un champ et .................................................................57

7 Distributions de courants ..............................................................69

8 Champ magnétostatique ..............................................................73

9 Théorème d'Ampère .........................................................................85

10 Dipôle magnétique .............................................................................97

EB

© Nathan,

1 - Distributions de charges

3

Tester ses connaissances| CorrigŽs p. 6

1Parmi ces distributions, lesquelles ne présen-

tent pas de symétrie cylindrique ? aΦCylindre d'axe de rayon de hau- teur uniformément chargé en volume. bΦCylindre d'axe de rayon infini, uniformément chargé en surface. cΦCône d'axe de sommet O, d'angle au sommet uniformément chargé en volume. dΦCylindre d'axe de rayon R, infini, de densité de charges

2Soit un cube de centre O et d'arrête a, uni-

formément chargé en surface. Dans la liste suivante, quelles sont les symétries du cube ? aΦSymétrie par rapport à tout plan passant par O. bΦSymétrie par rapport à tout plan contenant cΦSymétrie par toute rotation autour de O. dΦSymétrie par une rotation d'angle autour de

3Compléter cette phrase : la charge volumi-

que est une grandeur : aΦquantifiée. bΦmésoscopique. cΦdiscrète. dΦmicroscopique.

4La distribution surfacique

est à symétrie : aΦsphérique. bΦquelconque. cΦcylindrique.

Savoir appliquer le cours| CorrigŽs p. 6

Donner les symétries des distributions de charges suivantes :

1Fil infini, d'axe de densité linéique de

charge uniforme

2Cylindre infini, d'axe de rayon R, uni-

formément chargé en volume.

3Sphère de centre O, de rayon R, uniformé-

ment chargée en surface.

Avant la colle

Oz,R, h, Oz,R, Oz, Oz, rR? 0 r R ln= Oz. 3 2 Oz. M xyzx 2 y 2 +,=z Oz, 0 Oz,

1 Ð Distributions de charges

© Nathan,classe prépa

s'entraîner ƒlectromagnŽtisme PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prŽpa 4

CorrigŽ p. 6

Carré de quatre charges

Soient quatre charges rŽparties au sommet dÕun carré : :+q: -q :-q:+q DŽterminer les plans de symŽtrie et dÕantisymŽtrie de cette distribution.

CorrigŽ p. 6

Cercle chargé

une densité linéique de charges uniforme et pour une densité linéique de char- ges uniforme Quelles sont les symétries de cette distribution ?

CorrigŽ p. 6

Droite chargée

Déterminer les invariances et symétries de la dis- tribution de charges dans les cas suivants.

1.La densitŽ linŽique de charges est uniforme :

2.La densitŽ linŽique de charges est : si

et si

CorrigŽ p. 7

Cube chargé

chargé sur deux de ses faces opposées (en et en avec des densités surfaciques de charges uniformes, mais opposées (respectivement +σ et -σ). Déterminer les symétries et invariances d'une telle distribution.

CorrigŽ p. 7

Distribution volumique

suivante :

1.Quelles sont les invariances et symŽtries dÕune

telle distribution ?

2.Calculer la charge totale de la distribution.

CorrigŽ p. 7

Modélisation d'une densité linéique

Un tube cylindrique ˆ section circulaire de rayon a est chargŽ uniformŽment avec la densitŽ volumi- que Le rayon a Žtant petit ˆ lՎchelle macrosco- pique d'étude, on modélise le tube par un fil portant une densité linéique

Exprimer en fonction de et a.

CorrigŽ p. 7

Charge totale d'une distribution

surfacique portant en sa surface une densitŽ de charges où Calculer la charge totale portée par la distribution.

CorrigŽ p. 7

Hélice chargée

suivantes : avec variant de à 1 5 min

A1, 0, 0()B0 1, 0Ð,

D0, 1, 0()C1, 0, 0Ð()

2 5 min x0 +λ,x0 3 5 min Ox() 0 0 x0λλ 0

Ð=x0.

4 5 min z a 2 z a 2 5 5 min

ρrθ?

0 r a 0 0 si si ra 0 ra 0 6 5 min 7 10min 0

1θcos+(),=θOz,OP().=

8 10min xRθ,cos=yRθ,sin=z pθ 2π min max

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1 - Distributions de charges

5 Cette hŽlice porte une densitŽ linŽique de charges uniforme

1.Donner les ŽlŽments de symŽtrie dÕun cylindre

infini de même axe de même rayon R, et de densité surfacique de charge uniforme.

2.LÕhŽlice inÞnie et

possède-t-elle les mêmes invariances ?

3.QuÕen est-il de lÕhŽlice Þnie ?

CorrigŽ°pΦ°γ

Du point de vue du potentiel et du champ Žlectri- que qu'ils créent, les noyaux de certains atomes légers peuvent être modélisés par une distribution volumique de charge à l'intérieur d'une sphère de centre O et de rayon a. On dŽsigne par le vecteur position d'un point P quelconque de l'espace.

Pour la charge volumique qui repré-

sente le noyau varie en fonction de r suivant la loi : où est une constante positive.

1.Donner les symŽtries de cette distribution de

charges.

2.Exprimer la charge totale Q du noyau.

OzPC, min max 9 10min rOP,= ra,?IPPC r 0 1 r 2 a 2 0

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Électromagnétisme PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prŽpa 6 corrigés

Tester ses connaissances

1RŽponses a. et c. Le c™ne comme le cylindre de

hauteur finie ne présentent pas l'invariance par trans- lation d'axe contenue dans la symétrie cylindri- que. Ils possèdent tous deux en revanche la symétrie de révolution d'axe (invariance par rotation).

2RŽponse d. Un plan passant par mais non

perpendiculaire aux faces du cube ne laisse pas la distribution invariante, de même qu'une rotation quelconque autour de O. Des 4 propositions, seule la dernière laisse la distribution invariante.

3RŽponse°b. Il sÕagit dÕune grandeur continue, dŽÞ-

nie à l'échelle intermédiaire mésoscopique, contenant un grand nombre d'entités microscopiques.

4RŽponse c. En coordonnŽes cylindriques,

donc l'invariance proposée se traduit par

Savoir appliquer le cours

1Une telle distribution est invariante par toute trans-

lation d'axe puisque la densité de charges est uniforme. On a aussi invariance par toute rotation d'axe On a donc une symétrie cylindrique. Tous les plans contenant ou perpendiculaires à sont des plans de symétrie de la distribution.

2Une telle distribution est invariante par toute

translation d'axe puisque la densité volumique de charges est uniforme. On a aussi invariance par toute rotation d'axe On a donc une symétrie cylindrique. Tous les plans contenant ou per- pendiculaires à sont des plans de symétrie de la distribution.

3La densitŽ de charges est uniforme, la distribution

de charges a donc les symétries de la surface qui la porte. On a invariance par toute rotation autour de tout axe passant par O. Il y a symétrie sphérique.

Tout plan contenant O est un plan de symŽtrie.

S'entraîner

1Le plan contenant les quatre charges est

plan de symétrie de la distribution, puisque chaque point est sa propre image. Une symétrie par rapport au plan échange les points et et laisse les points et invariants. Elle laisse donc invariante la dis- tribution. Le plan est plan de symétrie. Il en va de même pour une symétrie par rapport au plan qui échange et en laissant et invariants.

Le plan d'équation échange les points

et d'une part et les points et d'autre part. Il s'agit donc d'un plan d'antisymétrie. Il en va de même pour le plan d'équation qui

échange les points et d'une part et les

points et d'autre part.

2Le plan contient le cercle chargŽ. Une

symétrie par rapport à un tel plan laisse tous les points de la distribution invariants, c'est donc un plan de symétrie de la distribution de charges. Le plan est également un plan de symétrie de la distribution, puisqu'à un point P de densitŽ linŽique locale il associe un point de densité linéique locale Le plan est quant à lui un plan d'antisymétrie de la distribution de charges puisqu'à un point P de densité linéique locale il associe un point de densité linéique locale Il n'y a pas d'invariance par rotation ou translation.

31. La densitŽ linŽique de charges est uniforme.

On a donc invariance par translation d'axe et

Oz?? Oz?? Oz?? rx 2 y 2 ?r z??r??,= z?.? Oz??, 0 Oz??. Oz??, Oz?? Oz??, Oz??. Oz??, Oz??, xOy?? xOz??

Bq-??Dq-??A+q??

C+q?? xOz?? yOz??,A+q??C+q??

Bq-??Dq-??

yx=A+q??

Dq-??Bq-??C+q??

yx-=

A+q??Bq-??

Dq-??C+q??

xOy?? xOz?? P yOz?? P Ox??

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1 - Distributions de charges

7 par rotation dÕaxe La distribution prŽsente une symétrie cylindrique. Tout plan contenant ou per- pendiculaire à est plan de symétrie.

2. La distribution nÕest plus invariante par translation

d'axe mais elle est toujours invariante par rotation d'axe Tout plan contenant est toujours plan de symétrie. En revanche, le plan perpendiculaire à passant par O (plan est plan dÕantisymŽtrie, puisquÕil " échange » un point de densité linéique locale avec un point de densité linéique locale La distribution de charges ne présente plus de symétrie particulière pour tout autre plan perpendiculaire à passant par O, est plan dÕantisymŽtrie de la distribution. Les plans médiateurs, et et les plans diago- naux des faces chargées sont des plans de symétrie de la distribution de charges. Leur intersection avec le plan d'une face chargée est représentée sur la figure ci-dessous.

51. La densitŽ volumique de charges est indŽpen-

dante des coordonnées et il y a donc invariance par toute rotation autour de O. On a une symŽtrie sphŽ- rique. Tout plan contenant O est plan de symŽtrie de la distribution. rayon Une telle coquille sphérique a un volume et porte donc une charge élémentaire Par intégration pour r variant de 0 ˆ on obtient la charge totale portée par la distribution :

Donc :

6ConsidŽrons une petite portion, de hauteur h, du

cylindre chargé. Cette portion de la distribution a un volume Elle porte donc la charge Il lui correspond dans la description linéique un seg- ment de droite de longueur h. Il porte donc une charge Pour que les deux descriptions soient équivalentes, il faut que soit :

7La distribution prŽsente une symŽtrie dÕaxe

On la découpe donc en couronnes élémentaires d'axe constituées de tous les points de la sphère vus surface élémentaire de cette couronne est et elle porte donc une charge

élémentaire

En intégrant sur l'ensemble de la sphère, c'est-à-dire pour variant de 0 à on obtient la charge totale q :

D'où et enfin :

uniformément chargée en surface En effet, la dis- tribution est la somme d'une sphère uniformément chargée en surface et d'une sphère portant une densité Cette deuxième partie donne un hémisphère chargé positivement (pour et un hémisphère chargé négativement (pour avec la même valeur absolue, ce qui fait que les charges se compensent.

81. Le cylindre inÞni prŽsente une invariance par trans-

lation d'axe et une invariance par rotation d'axe

Tout plan contenant l'axe est plan de symé-

trie, de même que tout plan perpendiculaire à l'axe Ox. Ox Ox Ox Ox.Ox Ox yOz) Ox. xOy, xOzyOz,

Plans de symétrie du cube, en coupe

dans le plan d'une face chargée. rdr.+ d4r 2 dr= dqd4 0 r 3 a 0 -----dr.== a 0 qdq4 0 a 0 -----r 3 dr4 0 a 0 r 4 4 0 a 0 0 a 0 0 a 0 q 0 a 0 3 a 2 h.= q a 2 h.== q h.= qq,= a 2 Oz. Oz d dS2R Rd

ásin=

dq 0 1 cos+2R 2 d .sin= qdq2R 2 0 =1 cos+d cosÐ 0 2R 2 0quotesdbs_dbs18.pdfusesText_24

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