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Chapitre VI

Collisions

VI.a. Introduction

Nous étudierons au chapitre VII le mouvement de deux points matériels tout au long de leur interac-

tion. Dans le cas de deux corpsM1etM2quelconques (p.ex.deux solides ou deux particules dont

l"énergie interne peut changer), ce qui se passependantl"interaction est généralement très complexe.

Nous nous contenterons d"étudier leur mouvementavantetaprèsl"interaction. Pendant les phases

"avant» et "après», l"interaction entreM1etM2est négligeable(1). Notons~v1et~v2(resp.~v01et~v02) les

vitessesdescentresd"inertiedeM1etM2pendantlaphase"avant»(resp."après»). Plusgénéralement,

toutes les quantités relatives à la phase "après» porteront un prime. Nous considérerons deux types de phénomènes :

Collision.M1etM2sont initialement loin l"un de l"autre. Après une brève interaction, ils s"éloi-

gnent à nouveau ( ~v01,~v02) ou restent attachés (~v01=~v02). On parle aussi dechoc.

Explosion.M1etM2sont initialement attachés (~v1=~v2). Après l"explosion, ils s"éloignent l"un de

l"autre. On parle aussi dedésintégration.

VI.b. Lois de conservation

Considérons un système isolé (pas de forces extérieures) (2)et plaçons-nous dans un référentiel

galiléen,R. Le système étant isolé, il obéit aux trois lois de conservation suivantes :

ˆconservation de la quantité de mouvement;

ˆconservation du moment cinétique;

ˆconservation de l"énergieinternedu système. Notonsm1etm2lesmassesdescorpsM1etM2,supposéesinchangéeslorsdelacollision. Nousferons

l"hypothèse que les corps sont ponctuels ou que la collision ne modifie pas le mouvement de rotation

des corps sur eux-mêmes. Nous ne nous intéresserons donc qu"au mouvement des centres d"inertie

deM1etM2et n"utiliserons pas la conservation du moment cinétique (cette loi serait en revanche utile

pour étudier le mouvement de rotation des corps; l"énergie cinétique de rotation devrait par ailleurs

être prise en compte dans l"énergie interne de chacun des corps). D"après la loi de conservation de la quantité de mouvement, ~p=~p0, soit m

1~v1+m2~v2=m1~v01+m2~v02:

NotonsGle centre d"inertie du systèmefM1;M2g. On a~p=(m1+m2)~vG, donc~v0G=~vG.

D"après la loi de conservation de l"énergie interne,U=U0. L"énergie interne de ce système vaut

U=12 m1v21+12 m2v22+U1+U2+Ep;1$212 (m1+m2)v2G;1. ... ou d"intensité constante siM1etM2sont attachés.

2. Les résultats donnés ici sont également valables dans les deux cas suivants :

ˆsi le système est pseudo-isolé, c.-à-d.si les forces extérieures se compensent;

ˆsi la durée de la collision est très brève, même en présence de forces extérieures, à condition d"appliquer les lois

de conservation entrejuste avantetjuste aprèsla phase d"interaction. 67

Michel FiocDynamique des systèmesoùU1etU2sontlesénergiesinternesdescorpsM1etM2,etEp;1$2estl"énergiepotentielled"interaction(3)

entreM1etM2.

DeU=U0et~vG=~v0G, on déduit que

12 m1v21+12 m2v22+U1+U2+Ep;1$2=12 m1v021+12 m2v022+U01+U02+E0p;1$2: L"énergie potentielle d"interactionEp;1$2entreM1etM2ne dépend que de la distancerentre les

corps. Elle tend rapidement vers une constante (généralement nulle par convention) quandrtend vers

1, donc

12 m1v21+12 m2v22+U1+U2=12 m1v021+12 m2v022+U01+U02; si les corps sont loin l"un de l"autre avant et après l"interaction (c .-à-d.~v1,~v2et~v01,~v02). Si les corps restent liés après l"interaction (c .-à-d.~v01=~v02B~v01;2), on a 12 m1v21+12 m2v22+U1+U2=12 (m1+m2)v021;2+U01+U02+E0p;1$2: Si, au lieu d"une collision, on a une explosion (c .-à-d.~v1=~v2B~v1;2), alors 12 (m1+m2)v21;2+U1+U2+Ep;1$2=12 m1v021+12 m2v022+U01+U02: La quantitéE0p;1$2ouEp;1$2porte dans ces deux derniers cas le nom d"énergie de liaison.

VI.c. Chocs élastiques

VI.c.1. Conservation de l"énergie cinétique

Si l"état de chacun des corpsM1etM2ne change pas (masses conservées, pas de déformation ni

d"échauement), le choc est ditélastique: l"énergie cinétique(4)est alors conservée. La conservation

de l"énergie cinétique, exacte par exemple dans le cas de deux particules ne subissant pas de transition

énergétique, est généralement une bonne approximation dans le cas de deux solides élastiques.

La loi de conservation de la quantité de mouvement, m

1~v1+m2~v2=m1~v01+m2~v02;

donne trois équations scalaires (une selon chaque axe :m1v1x+m2v2x=m1v01x+m2v02x, etc.) et la loi de conservation de l"énergie (cinétique, ici), 12 m1v21+12 m2v22=12 m1v021+12 m2v022; une équation, soit un total de quatre équations.

Pour déterminer

~v01et~v02(trois composantes chacunes), il faudrait six équations. Seule l"étude du

systèmependantl"interaction pourrait fournir les deux équations manquantes. À défaut, il faut donner

deux paramètres supplémentaires pour résoudre le problème. Nous allons montrer dans ce qui suit

que, si l"on connaît la direction de ~v01(soit deux angles), on peut trouver sa norme puis~v02. Pour cette étude, il est plus commode de se placer dans le référentiel barycentrique du système. VI.c.2. Étude dans le référentiel barycentrique du système La vitesse deGdans le référentiel galiléenRest vG=m1~v1+m2~v2m 1+m2:

v1,~v2et~vGsont donc dans un plan,P.3. L"énergie potentielle d"interaction et l"énergie interne ne dépendent pas du référentiel.

4. Pour être précis, il s"agit de la somme des énergies cinétiques macroscopiques de translation et de rotation.

68

Chapitre VI. Collisions

De même,

v0G=m1~v01+m2~v02m 1+m2: v01,~v02et~v0Gsont donc aussi dans un plan,P0, en général diérent deP. Or ~vG=~v0G: les plansPetP0ont donc en commun la droiteDpassant par le point de rencontre entreM1etM2et dirigée selon~vG.

Le référentiel barycentrique du système,R, est le référentiel en translation rectiligne à la vitesse~vG

par rapport àR. Il est donc ici galiléen. Indiquons par un astérisque les quantités dans le référentiel

R

. On a~v1=~v1~vG; de même pour~v2,~v01et~v02.Dans le référentiel barycentrique, la conservation de la quantité de mouvement donne

m

1~v1+m2~v2=~0=m1~v01+m2~v02(1)

et la conservation de l"énergie cinétique 12 m1v12+12 m2v22=12 m1v012+12 m2v022:(2)

En exprimant

~v2(resp.~v02) en fonction de~v1(resp.~v01) à partir de l"équation (1) et en remplaçant dans l"équation (2), on obtient v

01=v1etv02=v2:

Notons

~wB~v2~v1la vitesse deM2par rapport àM1. On a~wB~v2~v1=~w. D"après l"équation (1), w=~v2~v1= 1+m1m 2 v1= 1+m2m 1 v2=m1 ~v1=m2 ~v2; où=m1m2=(m1+m2) est la masse réduite. On obtient de même w0=m1 ~v01=m2 ~v02:

Commev01=v1, on aw0=w.Z

Supposons connu le vecteur unitaire

~u01dirigé selon~v01, c.-à-d.ladirectionde~v01. Ceci revient à donner deux angles : l"angle("longitude») entre les plansPetP0; l"angleentre~vGet~v01. On a v01Bv01~u01=w0m

1~u01et~v02=w0m

2~u01:

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Michel FiocDynamique des systèmesVI.c.3. Étude dans le référentielR

Dans le référentielR, on a

v01=~v01+~vGet~v02=~v02+~vG:

On peut en déduire les angles1=(~vGb;~v01) et2=(~vGb;~v02). Notons~uxle vecteur unitaire dirigé

selon ~vGet~uyun vecteur unitaire du planP0perpendiculaire à~ux. On a

On obtient donc

v

01cos1=w0m

1cos+vGetv01sin1=w0m

1sin:

On en déduit que

tan1=sincos+m1vG=(w0):

De même, de

v

02cos2=w0m

2cos+vGetv02sin2=w0m

2sin; on déduit que tan2=sincosm2vG=(w0):

VI.c.4. Cas particuliers

VI.c.4.a. CibleM2immobile avant la collision

On a alorsv2=0,w0=w=k~v2~v1k=v1etvG=m1v1=(m1+m2).

tan1=sincos+m1=m2: tan2=sincos1=2 sin(=2) cos(=2)2 sin2(=2)=1tan(=2); d"où2==2=2.

Corps de même masse

tan1=sincos+1=2 sin(=2) cos(=2)2 cos

2(=2)=tan(=2);

d"où1==2 :~v01et~v02sont donc perpendiculaires siv2=0 etm1=m2. On retrouve ce cas simplement à partir des lois de conservation v1=~v01+~v02etv21=v021+v022: En mettant la première équation au carré et en soustrayant la deuxième, on obtient ~v01~v02=0.

VI.c.4.b. Choc frontal

On parle également de choc direct. Dans ce cas, les vitesses sont toutes colinéaires. On peut trouver

v01et~v02sans passer par le référentiel barycentrique. Notonsv 1,v 2,v 01etv

02les vitessesalgébriquesselon

l"axe commun. La conservation de la quantité de mouvement donne m 1(v 1v

01)=m2(v

02v 2) 70

Chapitre VI. Collisions

et celle de l"énergie cinétique, m

1(v21v021)=m2(v022v22);

soit m 1(v 1v 01)(v 1+v

01)=m2(v

02v 2)(v 02+v 2):

S"il y a eu une collision, (v

1;v 2),(v 01;v

02). En divisant la dernière équation par la première, on

obtientv 1+v 01=v 2+v 02 puisv

01=(m1m2)v

1+2m2v

2m 1+m2: Par symétrie, en échangeant les indices 1 et 2, on obtientv

02=2m1v

1+(m2m1)v

2m 1+m2:

On constate que sim1=m2, alorsv

01=v 2etv 02=v

1: les vitesses deM1etM2ont été échangées. En

particulier, siM2est au repos avant le choc,M1est au repos après le choc etM2a la vitesse deM1 d"avant le choc (phénomène de "carreau»). Siv

2=0 etm1m2,v

01 v 1etv

020 :M1rebondit surM2avec la même vitesse, mais de sens

contraire, etM2reste immobile. Sim1m2,v 01v 1etv 022v
1.

VI.d. Chocs inélastiques

VI.d.1. Dissipation de l"énergie cinétique

Lors d"un chocinélastique, une partie de l"énergie cinétique (au sens de la note no4) est dissi-

pée. L"énergie interne du système devant être conservée, la somme des énergies internes de chacun

des corps et de leur énergie potentielle d"interaction doit augmenter. Cette augmentation de l"énergie

non cinétique peut prendre plusieurs formes : chaleur (augmentation de la température des corps,

vaporisation), déformation, énergie de liaison... La quantité de mouvement reste en revanche toujours

conservée.

On a les équations suivantes :

m

1~v1+m2~v2=m1~v01+m2~v02;

12 m1v21+12 m2v22=12 m1v021+12 m2v022+U01+U02+E0p;1$2U1U2| {z } >0: Dans le référentiel barycentrique, la deuxième équation prend cette forme : 12 w2=12 w02+U01+U02+E0p;1$2U1U2:

Cette équation ne présente d"intérêt que si la quantitéU01+U02+E0p;1$2U1U2est connue. Toute

autre quantité équivalente, p .ex.le coecient de restitution(5), =w0w 61;

fait également l"aaire. On peut alors traiter le problème dans le référentiel barycentrique, puis dansR.

de l"énergie cinétique et des relations qui en découlent :w0=w,v01=v1etv02=v2.5. Le cas=1 correspond au choc élastique.

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Michel FiocDynamique des systèmesVI.d.2. Choc parfaitement mou Le cas=0 porte le nom dechoc parfaitement mou: on a alorsw0=0, c.-à-d.queM1etM2restent liés après la collision. D"après la conservation de la quantité de mouvement, v01=~v02=m1~v1+m2~v2m 1+m2:

On obtient bien que

E

0cEc=12

(m1v021+m2v022m1v21m2v22)=m1m2(2~v1~v2v21v22)2 (m1+m2) =m1m2(~v1~v2)22 (m1+m2) est négatif.

VI.e. Explosions

Le cas des explosions s"apparente à celui des chocs parfaitement mous, la diérence étant qu"une

partie de l"énergie non cinétique est transformée en énergie cinétique. On a v1=~v2=m1~v01+m2~v02m 1+m2; d"où E

0cEc=12

(m1v021+m2v022m1v21m2v22)=m1m2(v021+v0222~v01~v02)2 (m1+m2) m1m2(~v01~v02)22 (m1+m2) est positif. ‡ VI.f. Section ecace ‡ VI.f.1. Angle solide

Considérons une sphère de rayonR. L"élément de surface d2Sde la sphère compris entre les longitudeset+d

et les colatitudeset+dvaut d

2S=(Rsind)(Rd):

L"angle solideélémentaire correspondant à d2S, d2!Bd2S=R2, est indépendant du rayon de la sphère et vaut

d

2!(; )=sindd:

L"angle solide d!compris entre les colatitudeset+dvaut d!()=Z 2 =0d2!(; )=2sind: L"angle solide!cône() du cône compris entre les colatitudes 0 etvaut cône()=Z

0=0d!(0)=2(1cos):

L"angle solide couvert par la sphère toute entière correspond à=, soit sphère=4: ‡ VI.f.2. Sections ecaces diérentielle et totale

Considérons un faisceau de particulesM1envoyées à la vitesse~v1contre une cible de faible épaisseur, constituée de

particulesM2immobiles (~v2=0). Un certain nombre de projectiles vont être déviés par les particules de la cible dans

la direction caractérisée par les angleset1. NotonsI1l"intensité du faisceau incident, c.-à-d.le nombre de particules

rencontrant la cible par unité de temps;n2le nombre de particules cibles par unité de surface de la cible; et d2N!(; 1)

le nombre de particulesM1déviées par unité de temps dans l"angle solide d2!(; 1).

A priori, d

2N!/I1n2d2!.

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Chapitre VI. Collisions

On appellesection ecace diérentielledi(; 1) la quantité di(; 1)=d2N!I

1n2d2!:

Cette quantité a la dimension d"une surface.

Le nombre dN1de particules déviées par unité de temps entre1et1+d1vaut dN1=Z 2 =0d2N!=Z 2 =0I1n2di(; 1) sin1d1d:

Sidi(; 1) ne dépend pas de, c.-à-d.s"il y a symétrie de révolution autour de l"axeD, notonsdi(1)Bdi(;

1).

On a alors

dN1=I1n2di(1)Z 2 =0sin1d1d=2I1n2di(1) sin1d1; d"où di(1)=12I1n2sin1dN1d1:

On définit également lasection ecace totale

tot=NI 1n2; oùNest le nombre de particules déviées par unité de temps dans toutes les directions. ‡ VI.f.3. Application à la diusion entre noyaux

Considérons des noyaux d"atomesM1envoyés contre des noyauxM2au repos. La plupart des projectiles passent

loin des noyaux cibles. Certains passent cependant près d"une cible. NotonsDle paramètre d"impact correspondant et

l"angle de déviation dans le référentiel barycentrique. On rappelle (cf.§ VII.e.2.c.iii) que

tan 2 =Kv20D:

La probabilitép(D) dDqu"un noyauM1ait un paramètre d"impact compris entreDetD+dDest proportionnelle à

2DdD. La probabilitép() dqu"il soit dévié entreet+d(dans le référentiel barycentrique) vaut

p() d=p(D)dDd d/dtan(=2) sin2(=2): On a dNd/p(); d"où di()/1sindNd/1sin

4(=2):

On peut à partir de cette expression obtenir la section ecace diérentielle dans le référentielRplutôt que dansR.

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