[PDF] 2 - Notions de torseurs 15 nov. 2015 2 - Notions

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Lycée Gustave Eiffel de Dijon

Classe préparatoire P.T.S.I.

Année 2015 - 2016Modélisation

2 - Notions de torseursTable des matières

I Introduction1

II Expression d"un torseur

2

1 Éléments de réduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

2 Écriture vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

3 Écriture des composantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

III Proprietes4

1 Déplacement d"un torseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2 Equiprojectivité du champ de moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

3 Égalité de deux torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

4 Automoment d"un torseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

IV Opération sur les torseurs

7

1 Somme de deux torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2 Produit par un scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

3 Comoment de deux torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

V Axe central9

1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2 Équation vectorielle de l"axe central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

VI Torseurs particuliers

12

1 Torseur nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2 Torseur couple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

3 Glisseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 Concevoir

Réaliser

Expérimenter

CommuniquerAnalyser

Modéliser

RésoudreCompétences

15 novembre 2015

1

ModélisationNotions de torseursI.In troduction

SoitEnun ensemble denvecteurs glissants :

E n=n A 1;!U1 A n;!Uno

SoitEpun autre ensemble depvecteurs glissants :

E p=n B 1;!V1 B p;!Vpo On dit que les deux ensemblesEnetEpsont équivalents si et seulement si ,8O2E3: 8< !U1++!Un =!V1++!Vp !OA1^!U1++!OAn^!Un =!OB1^!V1++!OBn^!Vp (1)Supposons quatre vecteurs glissants A;!V1 B;!V2 C;!V3 et C;!V4 , tels que :!V1=!V4,!V2=!V3, !V2= 2!V1et !V1 = 1 Soient deux ensembles de deux vecteurs glissants : E 1=n A;!V1

D;!V4o

E 2=n B;!V2

C;!V3o

Essayons de voir siE1etE2sont équivalents.Exemple 1 :

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ModélisationNotions de torseursLe "torseur" (souvent notéfTg) désigne indistinctement tous les ensembles de vecteurs glissants

rendus équivalents par la relation 1 . Son expression se réduiten un point deE3(par exemple le pointO) à deux vecteurs que l"on appelle "éléments de réduction defTgenO" : fTg= O( !R(T)=!U1++!Un!MO(T)=!OA1^!U1++!OAn^!Un) (2) !R(T)s"appellerésultante du torseurfTg.

!MO(T)s"appelleMoment au pointOdu torseurfTg.Définition 1 :TorseurNous verrons dans les paragraphes suivant à quoi correspondent ces éléments de réduction. L"écriture et les

calculs effectués sur les éléments de réduction d"un torseur sont plus rapides et plus simples que ceux effectués

sur les ensembles de vecteurs glissants. Des propriétés intéressantes peuvent être dégagées. C"est ce qui fait tout

l"intérêt des torseurs.

En mécanique, beaucoup de grandeurs physiques sont représentables par des torseurs (actions mécaniques,

mouvements, quantités de mouvements, chocs, etc...). Nous en verrons dans les prochains cours. II. Expression d"un torseur 1Élémen tsde réduction

Nous venons de le voir, untorseurpeut être exprimer simplement avec uncouple de deux vecteurs!R(T)et!MO(T).Résultante:!R(T)est appelérésultante du torseurfTg. Il forme unchamp uniforme.

Moment:!MO(T)est appelémoment du torseurfTgau pointO. Comme son nom l"indique, il forme unchamp de moment. D"après l"équation2 , il dépend du

point où il est exprimé (ici : le pointO).Définitions 2 :Résultante / Moment d"un torseurGraphiquement, on représente généralement la résultante par une flèche simple et le moment par une flèche

double (fig. 1

). Ce n"est toutefois pas une obligation.Lycée Gustave Eiffel de Dijon 2 /14 Classe préparatoire P .T.S.I.

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ModélisationNotions de torseurs

M MFigure1-Représentation graphique d"un torseur. 2

Écriture v ectorielleL"expression du moment (donc celle du torseur) dépend du point où on l"exprime. De ce fait,il faut toujours

préciser le point où l"on souhaite exprimer le torseur. On écrira un torseur sous forme "vectorielle" de

la manière suivante : fTg= O( !R(T)!MO(T)) (3)SiAetBsont deux points distincts deE3, alors A( !R(T)!MA(T)) et B( !R(T)!MB(T)) représentent

un même torseur. Mais ce torseur est simplement exprimé en deux points différents.Attention :

3

Écriture des com posantes

On peut également écrire le torseur avec des coordonnées, sous la forme d"un couple de vecteurs colonnes.

Donnons-nous une baseB. Si les composantes de la résultante et du moment sont : R(T)= X Y Z! B

MO(T)=

L M N! B On peut alors noter le torseur sous la forme "colonne" suivante :fTg= O( X Y ZL M N) B! R(T)!

MO(T)Contrairement à l"écriture vectorielle, l"écriture en colonne fait apparaître des coordonnées. Il

faut donc préciser la base dans laquelle sont exprimées ces coordonnées.Remarque 1 :

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ModélisationNotions de torseursIII.Proprietes

1

Déplacemen td"un torseur

Nous venons de voir qu"un torseur était exprimé à chaque foisen un point précis. Il est alors possible de

déterminer ses éléments de réduction en un autre point. On parle de "déplacement" de torseur.

On se donne deux pointsAetBdeE3, une baseBet un torseurfTgexprimé au pointApar : fTg= A( !R(T)!MA(T)) A( X Y ZL M N) B Dans ce paragraphe, nous allons voir comment exprimerfTgau pointB(fig.2). M T T Figure2-Illustration d"un déplacement de torseur. a)

Déplacemen tde la résultan teLa résultante d"un torseur est uninvariantde l"espaceE3. Ainsi, pour tout pointAetBde

E 3:

R(T)B=(4)Propriété 1 :

b)

Déplacemen tdu momen t

Le moment se calcule par la formule des champs de moment (cf. cours précédent)Pour tout pointAetBdeE3:

MB(T)=(5)Propriété 2 :

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ModélisationNotions de torseursUn moyen mnémotechnique pour se rappeler de l"ordre des vecteurs mis en jeu dans cette formule

consiste à penser au mot : En effet, en décomposant , on obtientdans le même ordre que la formule5 : "B" (point d"arrivé), "A" (point de départ),!BA(le déplacement) et!R(T)(la résultante).

Astuce 1 :

Dans une baseB, soientA=

1 1 0! B ,B= 1 1 2! B etC= 0 1 0! B trois points deE3. Soit le torseurfTg, dont les éléments de réduc-quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

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