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Congruences - Arithmetique

Spe Maths terminale S : Exercices

Corriges en video avec le cours sur

jaicompris.com Apprendre a calculer avec les congruences 1.

D emontrerque 115 27[11] et que3927[11]

2. T rouverun en tiernaturel ninferieur a 100 qui verie :( n27 [11] n4 [7] 3.

Com biend'en tiersnaturels inf erieurs a1 000son tcongru s a27 mo dulo11 ?Chire des unites avec les congruences

A l'aide des congruences, quel est le dernier chire dans l'ecriture decimale de 3

2015?Determiner un reste avec les congruences

Repondre aux questions suivantes en utilisant les congruences : 1. Quel est le reste d ansla division euclidienne de 451 643912 par 7? 2. Quel est le dernier c hiredans l' ecritured ecimalede 3

2017?Soitnun entier naturel. Demontrer a l'aide des congruences, que sin2est pair alorsnest pair.Determiner un reste avec les congruences

Quel est le reste dans la division euclidienne de 451643912 par 7?Savoir si un nombre est divsible par ... a l'aide des congruences

Pour quelles valeurs de l'entier natureln, 34n+ 2 est-il divisible par 11?Determiner le chire des unites avec les congruences

1.

V erierque 7

41[10].

2. Quel est le c hiredes unit es(dans l' ecritured ecimale)de 7

98?Resoudre une equation avec les congruences

On considere l'equation (E) :x27y2= 3

ouxetysont deux entiers relatifs. 1. Justier que si le couple d'en tiers( x;y) est solution alorsx23[7]. 2. D eterminerles restes p ossiblesde la division de x2par 7. 3.

En d eduirequ el' equation( E) n'a pas de solution.Montrer qu'un nombre est divisible avec les congruences

Demontrer que 2

4n+1+ 34n+1est divisible par 5 quel que soit l'entier natureln.Disjonction de cas et congruence

Demontrer en raisonnant par disjonction de cas que, pour tout entier natureln, l'entiern(n2+ 5) est divisible par 3.Criteres de divisibilite par3et9

1 On considere un entier natureladeni par son ecriture decimalea=a nan1:::a1a0avecan6= 0.

On a donc :

a=an10n+an110n1+:::+a110 +a0

1) Montrer que l'entieraest divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chires est divisible par 3.

2) Montrer que l'entieraest divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chires est divisible par 9.

3) 8176312459102535214621 est-il divisible par 3? Par 9?Critere de divisibilite par 11

On considere un entier natureladeni par son ecriture decimalea=a nan1:::a1a0avecan6= 0.

On a donc :a=an10n+an110n1+:::+a1101+a0.

Le rang du chireakestk.

1.

D emontrerqu'un en tierest divisible par 11 si, et seulemen tsi la somme de ses c hiresde ran gpair moins la somme de

ses chires de rang impair est divisible par 11. 2. L'en tier619 852 805 est-il divisible par 11 ?Critere de divisibilite par 7 On admet le critere de divisibilite par 7 suivant :

Pour savoir si un entier naturelnest divisible par7, on separe le chire des unites dendes autres chires et on eectue la

dierence entre le nombre forme par les autres chires et le double du chire des unites. L'entiernest divisible par7, si et

seulement si, cette dierence est divisible par7. 1. A l'aide de ce crit ere,d eterminersi 4 361es tdivisible par 7. M ^emequestion a vec542.

2.Dans la suite de l'exercice, on propose de demontrer ce critere pour un nombre de trois chires.

Soitnun entier naturel de trois chires dont l'ecriture decimale estn=abcaveca6= 0. (a)

Mon trerque n2a+ 3b+c[7].

(b) On app elleml'entier egal a la dierence decrite dans le critere.

Montrer quem3a+b2c[7].

(c)

En d eduireque n3m0[7] etm+ 2n0[7].

(d)

En d eduireque m0[7] si et seulement sin0[7] puis conclure.Pieges et erreurs classiques sur les congruences

Indiquer si les armations suivantes sont vraies ou fausses, en justiant :

1) Siab0 [6] alorsa0 [6] oub0 [6].

2) Si 2x4 [12] alorsx2 [12].

3) Si 2x4 [12] alorsx2 [6].

4) Si 7x5 [3] alorsx2 [3].

5) Pour tout entierx,x5x[4].Determiner les entiers naturelsnpour lesquelsn22nest divisible par 7.Resoudreax=bavec les congruences

1. Compl eterla table des reste sdans la congr uencemo dulo9 : x012345678

4x2.R esoudrealors l' equation4 x5[9]

3. En remarquan tque 4 71[9], resoudre sans utiliser de table des restes l'equation :

7x8[9]

2

4.R esoudreenn l' equation3 x6[9].Demontrer de deux facons dierentes que pour tout entier natureln, 32n1 est un multiple de 8.Compatibilite de l'addition avec les congruences

Soienta,b,c,detncinq entiers avecnnon nul.

1.

Mon trerque si ab[n] etcd[n] alorsa+cb+d[n]

2.

En d eduireq uesi ab[n] alorsa+cb+c[n]

3.

La r eciproquede la propri etepr ecedenteest-elle vraie ?Compatibilite de la multiplication avec les congruences

Soienta,b,c,detncinq entiers avecnnon nul.

1.

Mon trerque si ab[n] etcd[n] alorsacbd[n]

2.

En d eduirequ esi ab[n] alorsacbc[n]

3. (a)

V erierqu e6 567[12]

(b)

La r eciproquede la propri etepr ecedenteest-elle vraie ?Compatibilite des puissances avec les congruences

Soienta,betntrois entiers avecnnon nul.

1. Mon trerpar r ecurrenceque p ourtout en tiernaturel pnon nul, siab[n] alorsapbp[n]. 2.

Mon trerque 41

1836[7].

3. (a)

V erierqu e2

343[7].

(b) Soit pun entier naturel non nul, siapbp[n], a-t-onab[n]? 4. (a)

A-t-on 2

225[3].

(b) Soit pun entier non nul, siab[n], a-t-onpapb[n]?Suite et congruence On considere la suite numerique (un) d'entiers naturels denie par( u 0= 14

8n2N;un+1= 5un6.

1.

Calculer u1,u2,u3etu4.

Quelle conjecture peut-on emettre concernant les deux derniers chires deun? 2. (a)

Mon trerque p ourtout en tiern,un+2un[4].

En deduire que, pour tout entier naturelk,u2k+10[4] etu2k2[4]. (b) Mon trerpar r ecurrenceque, p ourtout en tiernaturel n, 2un= 5n+2+ 3. (c) Mon trerqu e,p ourtout en tiernaturel n, 5n+225[100]. (d) En d eduireque, p ourtout en tiernatur eln, 2un28[100]. Determiner les deux derniers chires dans l'ecriture decimale deun.3

Nombres de Fermat

On appellenombres de Fermatles entiersFn= 22n+ 1 avecnun entier naturel. 1. (a)

Calculer F0,F1,F2,F3etF4. Que remarque-t-on?

(b)

En 1640, Pierre de Fermatannonce qu'il est persuade que les nombresFnsont premiers. A l'aide de la calculatrice,

verier que 641 diviseF5. Quelle question peut-on se poser? 2. (a) Mon trerque p ourtout en tiernaturel n,Fn+1= (Fn1)2+ 1. (b)

En d eduirepar un raisonnemen tpar r ecurrenceque p ourn>2, l'ecriture decimale deFnse termine par un 7.Un rep-unit est un entier naturel dont l'ecriture decimale ne comprend que le chire 1 comme par exemple 11 ou encore

111111. Le but de cet exercice est de trouver tous les repunits qui sont des carres parfaits.

1. Soit nun entier naturel. On suppose que l'ecriture decimale den2se termine par le chire 1. (a)

Quel p eut^ etrele c hiredes unit esde n?

(b)

En remarquan tqu'un en tierse terminan tpar 1 ou 9 p euts' ecrire10 k+ 1 ou 10k1 aveckentier, montrer que

n

21[20].

2. En d eduiretou sles r epunitsqui son tdes carr esparfaits. 4quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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