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Congruences et théorème chinois des restes

Développé au début du 19ème siècle par Carl Friedrich. Gauss. On dit que a ? b (mod n) si a ? b est divisible par n. Si r est le reste de la division de a 



2.7 Théorème chinois

2.7 Théorème chinois. Théorème 49. Soit et des entiers positifs. Soit : Z ? Z/ Z et : Z ? Z/ Z les morphismes d'anneaux quotient.



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tiquement cette analogie : le théorème chinois des restes est analogue au théorème de Entiers modulo n théorème des restes chinois.





Théorème des restes chinois

Théor`eme 1.1 (des restes chinois). Soient p ? N? n1



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Congruences linéaires et théorème des restes chinois. 1.4 Le groupe (Z/nZ)* et l'indicatrice d'Euler. 1.5 Un théorème d'Euler et de Fermat.



Anneaux.

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:
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Theoreme des restes chinois

1 Enonce du theoreme

Theoreme 1.1 (des restes chinois)Soientp2N,n1;:::;npdes entiers naturels deux a deux premiers entre eux et(a1;:::;ap)2Zp. Alors

le systeme de congruences deni par :8k2J1;pK;xak(modnk)admet une unique solution modulo

N=n1:::np, donnee parxpP

k=1u kNkak, ou pour toutk2J1;pK,Nk=Nn ketukN1 k(modnk). Preuve. Soientp2N,n1;:::;npdes entiers deux a deux premiers entre eux et (a1;:::;ap)2Zp. Notons (S) le systeme de congruences deni par :

8k2J1;pK;xak(modnk):

Pour toutk2J1;pK, on noteNkl'entierNN

k. Les entiersnketant deux a deux premiers entre eux, il en resulte que pour tout entierk2J1;pK,Nketnksont premiers entre eux et doncNkest inversible modulonk. Pour toutk2J1;pK, notonsukN1 k(modnk). Soitx=pP k=1u kNkak. Soiti2J1;pK. Sik2J1;pKetk6=i, alors N i0 (modnk). On a alorsxuiNiai(modni). OruiNi1 (modni) par denition deuidoncxai (modni). Ceci etant vrai pour tout entieri2J1;pK,xest une solution du systeme (S). D'ou l'existence. Soityune autre solution de (S). Alors pour toutk2J1;pK,xy0 (modnk), c'est-a-direnkdivisexy. Les entiersnketant deux a deux premiers entre eux, il en resulte queNdivisexy, c'est-a-direxy (modN), d'ou l'unicite de la solution moduloN.

Theoreme 1.2Soientp2Netn1;:::;npdes entiers naturels deux a deux premiers entre eux. NotonsN=n1:::np.

AlorsZ=NZest isomorphe a(Z=n1Z) (Z=npZ).

Preuve. Pour ne pas alourdir les notations nous allons faire la demontration dans le cas de deux entiers

naturels premiers entre eux, la demonstration etant analogue pourpentiers naturels deux a deux premiers

entre eux.

Soientaetbdeux entiers premiers entre eux. Sixdesigne un entier, on noteracla(x) la classe dexmoduloa,

cl b(x) la classe dexmodulobetclN(x) la classe dexmoduloN=ab. Soitfl'application denie surZ=NZ, a valeurs dans (Z=aZ)(Z=bZ) denie parclN(x)7!(cla(x);clb(x)). Verions quefest bien denie. Soient xetytels queclN(x) =clN(y).Ndivise alorsxy, c'est-a-direabdivisexy. Par suite,adivisexyet bdivisexy. On a donccla(x) =cla(y) etclb(x) =clb(y) et doncf(clN(x)) =f(clN(y)). Montrons maintenant quefest lineaire. Soientx;y2Z.

Theoreme des restes chinois

f(clN(x) +clN(y)) =f(clN(x+y)) (denition de l'addition dansZ=NZ) = (cla(x+y);clb(x+y)) (denition de la fonctionf) = (cla(x) +cla(y);clb(x) +clb(y)) (denition de l'addition dansZ=aZetZ=bZ) = (cla(x);clb(x)) + (cla(y);clb(y)) (denition de l'addition surZ=aZZ=bZ) =f(clN(x)) +f(clN(y)):

De m^eme, on montre quef(clN(x)) =f(clN(x))f(clN(y)). De plus,f(clN(1)) = (cla(1);clb(1)) et (cla(1);clb(1))

est l'unite deZ=aZZ=bZ.fest donc un morphisme d'anneaux. Montrons quefest injective. Soitx2Ztel quef(clN(x)) = (cla(0);clb(0)). Alorscla(x) =cla(0) donca

divisex. De m^eme,clb(x) =clb(0) doncbdivisex.aetbetant premiers entre eux, il en resulte queabdivise

x, c'est-a-direclN(x) =clN(0).fest donc injective. Pour terminer, il reste a montrer quefest surjective. Soit (cla();clb())2Z=aZZ=bZ. On cherchex2Z tel quef(clN(x)) = (cla();clb()), c'est-a-dirextel quex(moda) etx(modb). D'apres le theoreme des restes chinois, on sait qu'un telxexiste.fest donc surjective.

Remarque 1.3On aurait pu conlure egalement en disant quefest injective et que l'ensemble de depart et l'ensemble

d'arrivee ont le m^eme cardinal doncfest bijective.

2 Exemples de resolution d'un systeme de congruences

Exemple 2.1Resoudre dansZle systeme suivant :8>><

>:x4 (mod 5) x3 (mod 6) x2 (mod 7):

5^6^7 = 1. On applique le theoreme des restes chinois, avecn1= 5;n2= 6;n3= 7;N= 210;a1= 4;a2= 3

eta3= 2. On sait que ce systeme admet une unique solution modulo 210, donnee parx=u1a1N1+u2a2N2+ u

3a3N3, ouN1=Nn

1=2105

= 42,N2=Nn

2=2106

= 35 etN3=Nn

3=2107

= 30, etu1;u2;u3sont les inverses respectifs deN1;N2;N3modulon1;n2;n3.

42^5 = 1. D'apres le theoreme deBezout, il existe (u;v)2Z2tel que 42u+5v= 1. L'algorithme d'Euclide

donne :

42 = 58 + 2

5 = 22 + 1

2 = 12 + 0

En remontant cet algorithme, on obtient successivement :

1 = 522

1 = 5(4258)2

1 = 5422 + 516

42(2) + 517 = 1.

On en deduit queu1=2.

Un raisonnement analogue conduit au2=1 etu3=3.S. Duchet-http://epsilon.2000.free.fr2/3

Theoreme des restes chinois

Par suite,x 2442 + (1)335 + (3)302 (mod 210), c'est-a-direx9 (mod 210) (apres simplications).

Exemple 2.2Resoudre dansZle systeme suivant :8<

:x3 (mod 4) x5 (mod 6):

4 et 6 ne sont pas premiers entre eux. Soitxune solution du systeme. Alorsx2 (mod 3), de sorte qu'on

peut resoudre le systeme : 8< :x3 (mod 4) x2 (mod 3):

4 et 3 sont premiers entre eux donc on applique le theoreme chinois pour resoudre ce systeme. On verie

ensuite que les solutions trouvees sont solutions du systeme de depart.S. Duchet-http://epsilon.2000.free.fr3/3

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