Congruences et théorème chinois des restes
Développé au début du 19ème siècle par Carl Friedrich. Gauss. On dit que a ? b (mod n) si a ? b est divisible par n. Si r est le reste de la division de a
2.7 Théorème chinois
2.7 Théorème chinois. Théorème 49. Soit et des entiers positifs. Soit : Z ? Z/ Z et : Z ? Z/ Z les morphismes d'anneaux quotient.
Master-1 de mathématiques (MAlg 1) 2004/2005 module MAlg 1
tiquement cette analogie : le théorème chinois des restes est analogue au théorème de Entiers modulo n théorème des restes chinois.
4 Anneaux factoriels principaux
théorème chinois
Théorème des restes chinois
Théor`eme 1.1 (des restes chinois). Soient p ? N? n1
Untitled
Congruences linéaires et théorème des restes chinois. 1.4 Le groupe (Z/nZ)* et l'indicatrice d'Euler. 1.5 Un théorème d'Euler et de Fermat.
Anneaux.
On reviendra sur ces notions dans un cadre plus général. 1.3.3 Théorème des restes chinois. L'énoncé élémentaire de ce théorème dans Z est le suivant :.
Exercices de mathématiques - Exo7
En utilisant le petit théorème de Fermat on obtient que
Contrôle 2 Exercice 1 : Déterminer toutes les solutions dans de l
d'après le théorème de. Gauss divise et donc 7 divise Comme 11 et 13 sont premier entre eux
Théorème des restes chinois Exponentiation rapide par répétition
À présent redescendons sur Terre ! 2. Théorème des restes chinois. Soit maintenant s un anneau commutatif unitaire euclidien normal
[PDF] Congruences et théorème chinois des restes - Apprendre-en-lignenet
Congruences et théorème chinois des restes Michel Van Caneghem Février 2003 Turing : des codes secrets aux machines universelles #2 c 2003 MVC
[PDF] 27 Théorème chinois
On peut généraliser le théorème chinois à un nombre fini d'idéaux Théorème 51 Soit un anneau Soit ? 1 un entier Soit (? ) =1 un ensemble
[PDF] Le théorème mandarin
Le théorème mandarin Xavier Caruso Janvier 2009 Le théorème chinois est un énoncé classique sur les congruences bien connu de tout
[PDF] Théor`eme des restes chinois - Epsilon 2000
1 Enoncé du théor`eme Théor`eme 1 1 (des restes chinois) Soient p ? N? n1 np des entiers naturels deux `a deux premiers entre eux et (a1 ap)
[PDF] UN PROBLEME DE RESTES ET SA RESOLUTION PAR QIN
Shushu Jiuzhang (Neuf chapitres sur le calcul) (1247) 1 Des problèmes de restes 1 1 Une origine possible du « théorème des restes chinois »
[PDF] Théorème des restes chinois Exponentiation rapide par répétition
Les mathématiciens connaissent la probabilité asymptotique que deux nombres entiers choisis au hasard soient premiers entre eux elle vaut : Card{1 ? a b ? N
[PDF] Théorème dEuler/Fermat Théorème des restes chinois
chinois Exercice 1 (Petit théorème de Fermat) 1 Soit p un nombre premier et i ? N compris entre 1 et p ? 1 Montrer que p
[PDF] Théorème chinois Suite du sujet métropole juin 2011
Ils projettent de se les partager également et de donner le reste au cuisinier chinois Celui- ci recevrait alors 3 pièces Mais les pirates se querellent et
[PDF] Les AVENTURES du THÉORÈME CHINOIS - Kafemath
10 nov 2022 · sont congrus modulo chacun des entiers du produit ?Une conséquence du théorème chinois est que : 3-1 FACILITER les CALCULS avec le THÉORÈME
Theoreme des restes chinois
1 Enonce du theoreme
Theoreme 1.1 (des restes chinois)Soientp2N,n1;:::;npdes entiers naturels deux a deux premiers entre eux et(a1;:::;ap)2Zp. Alors
le systeme de congruences deni par :8k2J1;pK;xak(modnk)admet une unique solution moduloN=n1:::np, donnee parxpP
k=1u kNkak, ou pour toutk2J1;pK,Nk=Nn ketukN1 k(modnk). Preuve. Soientp2N,n1;:::;npdes entiers deux a deux premiers entre eux et (a1;:::;ap)2Zp. Notons (S) le systeme de congruences deni par :8k2J1;pK;xak(modnk):
Pour toutk2J1;pK, on noteNkl'entierNN
k. Les entiersnketant deux a deux premiers entre eux, il en resulte que pour tout entierk2J1;pK,Nketnksont premiers entre eux et doncNkest inversible modulonk. Pour toutk2J1;pK, notonsukN1 k(modnk). Soitx=pP k=1u kNkak. Soiti2J1;pK. Sik2J1;pKetk6=i, alors N i0 (modnk). On a alorsxuiNiai(modni). OruiNi1 (modni) par denition deuidoncxai (modni). Ceci etant vrai pour tout entieri2J1;pK,xest une solution du systeme (S). D'ou l'existence. Soityune autre solution de (S). Alors pour toutk2J1;pK,xy0 (modnk), c'est-a-direnkdivisexy. Les entiersnketant deux a deux premiers entre eux, il en resulte queNdivisexy, c'est-a-direxy (modN), d'ou l'unicite de la solution moduloN.Theoreme 1.2Soientp2Netn1;:::;npdes entiers naturels deux a deux premiers entre eux. NotonsN=n1:::np.
AlorsZ=NZest isomorphe a(Z=n1Z) (Z=npZ).
Preuve. Pour ne pas alourdir les notations nous allons faire la demontration dans le cas de deux entiers
naturels premiers entre eux, la demonstration etant analogue pourpentiers naturels deux a deux premiers
entre eux.Soientaetbdeux entiers premiers entre eux. Sixdesigne un entier, on noteracla(x) la classe dexmoduloa,
cl b(x) la classe dexmodulobetclN(x) la classe dexmoduloN=ab. Soitfl'application denie surZ=NZ, a valeurs dans (Z=aZ)(Z=bZ) denie parclN(x)7!(cla(x);clb(x)). Verions quefest bien denie. Soient xetytels queclN(x) =clN(y).Ndivise alorsxy, c'est-a-direabdivisexy. Par suite,adivisexyet bdivisexy. On a donccla(x) =cla(y) etclb(x) =clb(y) et doncf(clN(x)) =f(clN(y)). Montrons maintenant quefest lineaire. Soientx;y2Z.Theoreme des restes chinois
f(clN(x) +clN(y)) =f(clN(x+y)) (denition de l'addition dansZ=NZ) = (cla(x+y);clb(x+y)) (denition de la fonctionf) = (cla(x) +cla(y);clb(x) +clb(y)) (denition de l'addition dansZ=aZetZ=bZ) = (cla(x);clb(x)) + (cla(y);clb(y)) (denition de l'addition surZ=aZZ=bZ) =f(clN(x)) +f(clN(y)):De m^eme, on montre quef(clN(x)) =f(clN(x))f(clN(y)). De plus,f(clN(1)) = (cla(1);clb(1)) et (cla(1);clb(1))
est l'unite deZ=aZZ=bZ.fest donc un morphisme d'anneaux. Montrons quefest injective. Soitx2Ztel quef(clN(x)) = (cla(0);clb(0)). Alorscla(x) =cla(0) doncadivisex. De m^eme,clb(x) =clb(0) doncbdivisex.aetbetant premiers entre eux, il en resulte queabdivise
x, c'est-a-direclN(x) =clN(0).fest donc injective. Pour terminer, il reste a montrer quefest surjective. Soit (cla();clb())2Z=aZZ=bZ. On cherchex2Z tel quef(clN(x)) = (cla();clb()), c'est-a-dirextel quex(moda) etx(modb). D'apres le theoreme des restes chinois, on sait qu'un telxexiste.fest donc surjective.Remarque 1.3On aurait pu conlure egalement en disant quefest injective et que l'ensemble de depart et l'ensemble
d'arrivee ont le m^eme cardinal doncfest bijective.2 Exemples de resolution d'un systeme de congruences
Exemple 2.1Resoudre dansZle systeme suivant :8>><
>:x4 (mod 5) x3 (mod 6) x2 (mod 7):5^6^7 = 1. On applique le theoreme des restes chinois, avecn1= 5;n2= 6;n3= 7;N= 210;a1= 4;a2= 3
eta3= 2. On sait que ce systeme admet une unique solution modulo 210, donnee parx=u1a1N1+u2a2N2+ u3a3N3, ouN1=Nn
1=2105
= 42,N2=Nn2=2106
= 35 etN3=Nn3=2107
= 30, etu1;u2;u3sont les inverses respectifs deN1;N2;N3modulon1;n2;n3.42^5 = 1. D'apres le theoreme deBezout, il existe (u;v)2Z2tel que 42u+5v= 1. L'algorithme d'Euclide
donne :42 = 58 + 2
5 = 22 + 1
2 = 12 + 0
En remontant cet algorithme, on obtient successivement :1 = 522
1 = 5(4258)2
1 = 5422 + 516
42(2) + 517 = 1.
On en deduit queu1=2.
Un raisonnement analogue conduit au2=1 etu3=3.S. Duchet-http://epsilon.2000.free.fr2/3Theoreme des restes chinois
Par suite,x 2442 + (1)335 + (3)302 (mod 210), c'est-a-direx9 (mod 210) (apres simplications).Exemple 2.2Resoudre dansZle systeme suivant :8<
:x3 (mod 4) x5 (mod 6):4 et 6 ne sont pas premiers entre eux. Soitxune solution du systeme. Alorsx2 (mod 3), de sorte qu'on
peut resoudre le systeme : 8< :x3 (mod 4) x2 (mod 3):4 et 3 sont premiers entre eux donc on applique le theoreme chinois pour resoudre ce systeme. On verie
ensuite que les solutions trouvees sont solutions du systeme de depart.S. Duchet-http://epsilon.2000.free.fr3/3
quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35[PDF] calcul consommation ampoule 100w
[PDF] consommation ampoule 60w
[PDF] combien coute une ampoule allumée
[PDF] calcul consommation ampoule led
[PDF] lumiere allumée toute la nuit consommation
[PDF] calcul de consommation électrique d'un appareil
[PDF] consommation ventilateur 40w
[PDF] consommation congelateur ancien
[PDF] consommation four electrique kwh
[PDF] tableau de consommation des appareils électroménagers pdf
[PDF] consommation frigo américain
[PDF] consommation frigo kwh
[PDF] cout electricite congelateur
[PDF] consommation vieux frigo