[PDF] Diffraction (1) 2020. 9. 29. Corrigé. Diffraction (

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Préparation à l"agrégation de Montrouge

Septembre 2020Clément Sayrin

clement.sayrin@lkb.ens.frCorrigé

Diraction (1)

OOO ExerciceI Diffraction deFraunhoferFigure1.1 - Géométrie considérée

1.Principe de Huygens-Fresnel :(Cf.BFR)

Enoncé du principe

Chaque point M d"une surfaceatteinte par la lumière peut être considérée comme une source secondaire émettant une onde sphérique. L"état vibratoire de cette source secondaire est proportionnel à celui de l"onde incidente en M et à l"élément de surfacedentourant le point M. Les vibrations issues des diérentes sources secondaires interfèrent entre elles.P

Mφrd

φFigure1.2 - Principe de Huygens-Fresnel.

Soit P un point de la surfaceéclairée et M un point de l"espace (point d"obser- vation), on notel"angle entre les directions~r=!PMet d~le vecteur normal àen

P. Alors

ds(M)=A()t(x;y)s0(P)eikrr d!s(M)=Z

A()t(x;y)s0(P)eikrr

d;(I.1) oùk=2=etest la longueur d"onde de la source. On a ici sommé les amplitudes complexes car les diérentes sources secondaires interfèrent entre elles. Le facteurA()=A(0), appeléfacteur d"oblicitéoud"inclinaison, permet de tenir compte de l"anisotropie du diagramme d"émission des sources secondaires et de l"ab- sence de diraction vers l"arrière [A()=0]. On écritA()=A(1+cos)=2. En pratique, on considère des rayons faiblement inclinés sur l"axe optique, auquel cas

A()A(0)A, soit

s(M)=AZ t(x;y)s0(P)eikPMPM d:(I.2) des équations de Maxwell. La théorie de Kirchhopermet de formuler des équations sur les solutions d"une équation d"onde scalaire, notamment le théorème intégral de

Kirchhoet Helmholtz. En supposant de surcroît toutes les distances caractéristiquesDernière modification : 29 septembre 20201/12

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clement.sayrin@lkb.ens.frgrandes devant la longueur d"onde, et en se limitant à la diraction à grande distance,

on obtient la formule dite de Fresnel-Kirchhode la diraction, qui n"est rien d"autre que l"équation (I.1), à ceci prêt que l"expression deA() y est explicite. [Voir par exemple Born & Wolf ou fr.wikipedia.org/wiki/Théorie_de_Kirchho]. 2. On applique le principe de Huygens-Fresnel au cas considéré [surf acede transmit- dede coordonnéesx;y. Alors s(M)=AZ s

0(P)t(x;y)eikPMPM

dxdy: Or !PM=0

BBBBBBBB@Xx

Yy D1

CCCCCCCCAet PM2=D2"

1+xXD 2 +yYD 2# , soit

PM=Ds1+xD

2+XD 2 +yD 2+YD 2

2xX+yYD

2:

On se place maintenant dans la situation où

x;yD;dpupille petite;(I.3)

X;YDpetits angles:(I.4)

On retrouve ici les conditions de Gauss. La première condition traduit le fait qu"on ne s"intéresse qu"à la diraction par de petits objets ou, ce qui est équivalent, qu"il n"y a de la lumière que proche de l"axe optique. La seconde condition impose que les rayons considérés soient tous faiblement inclinés sur l"axe. On introduit pour cela les angles directeurs de !OM, notés=XD et=YD ,i.e.!OM=D0

BBBBBBBB@

11

CCCCCCCCA. La condition (I.4) se

récrit alors ;1:(I.5)

Dans ce cas,

PMD" 1+12 xD 2+12 XD 2 +12 yD 2+12 YD 2 xX+yYD 2# =D

1+2+22

+r22D2x+yD ;(I.6)avecr2=x2+y2=OP2. On peut alors faire l"approximation PMDdans la normes0(P)=PM dans (I.2) : la norme ne varie significativement que si les variations de PM sont de l"ordre deD. En revanche,pour évaluer la phase =kPM, il faut tenir compte des variations dePMà l"échelle de la longueur d"onde,, et l"on garde donc les ordres plus élevés du développement : =k=D(x+y)+D2

2+2+r22D:(I.7)

Finalement, l"onde émise par le point P est, au point M,sP(M)ei=D. On trouve de mêmes0(P)=s0ei0=d, où

0=k=d+(0x+0y)+d2

20+20+r22d;(I.8)

avec0=X0d et0=Y0d les angles directeurs de!SO, supposés faibles (0;01), et (X0;Y0) les coordonnées du point source S. Si S est sur l"axe optique,0=0=0.

L"onde diractée s"écrit alors

s(M)=As0ei'0dD Z t(x;y)eik[(0)x+(0)y]+ikr22 (1d +1D )dxdy:(I.9) Remarque 1On a ici omis le terme phase global exp[ik(d+D)] qui ne joue aucun rôle et qu"on peut donc toujours oublier.

On a aussi introduit la phase

0=kd2 (20+20)+kD2 (2+2)=kX20+Y202d+kX2+Y22D;(I.10) qui ne dépend que des positions de la source et du plan d"observation, et donc pas, en particulier, de l"objet diractant. Comme on ne s"intéresse en général qu"à la figure de diraction, c"est-à-dire à l"intensité lumineuse en M,js(M))j2, on "oublie» la plupart du temps cette phase'0et surtout sa dépendance en M. Notons au passage que ces termes de phase correspondent à la phase accumulée par une onde sphérique pour aller de la source S au point O (exp[ik(X20+Y20)=2d], onde sphérique de rayon de courbure d) et par une onde sphérique pour aller du point O au point M (exp[ik(X2+Y2)=2D], onde sphérique de rayon de courbureD).

On écrit donc par la suite ˜s0=As0dD

ei'0en omettant le fait que sa phase, stricto sensu, dépend du point d"observation M. On verra plus loin (voir exercice III) qu"il est en fait possible de supprimer cette dépendance en M.

Dernière modification : 29 septembre 20202/12

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clement.sayrin@lkb.ens.frRemarque 2On n"a jusqu"ici pas précisé à quelle grandeur physique l"ébranlement

scorrespond. En particulier, on ne précise pas son unité. On pourrait ajouter partout un coecient qui viendrait assurer l"adimensionnalité des, par exemple en écri- vant pour une onde sphériques0(P)= s0eikr=r: a la dimension d"une longueur. En pratique, on ne calculera les figures qu"à un facteur multiplicatif près, commun à toutes les figures. On " cachera » donc par la suite le problème dans le coecients0, proportionnel à l"amplitude de l"onde émise par la source. 3. La diraction de Fraunhofercorrespond au cas où la phase quadratique dans (I.9),

Q=kr22

1d +1D ;(I.11) proportionnelle àr2, peut être négligée. L"onde diractée s"écrit dans ce cas s(M)=˜s0Z t(x;y)eik[(0)x+(0)y]dxdy:(I.12) On distingue trois cas important où la condition de Fraunhofer est réalisée : Di raction d"une onde plane (1=d=0) à l"infini (1=D=0). Dans ce cas, l"onde incidente est repérée par son vecteur d"onde ~k0et la direction d"observation par le vecteur d"onde ~k, avec k0=k0

BBBBBBBB@

0 0 11

CCCCCCCCAet~k=k0

BBBBBBBB@

11

CCCCCCCCA:

L"onde diractées(M) prend alors la forme

s(M)=˜s0Z t(P)ei(~k~k0)·!OPd:(I.13) Di raction d"une onde plane (1=d=0) à grande distance (1=D0). On retrouve la formule précédente dans le cas où kr

22D,Dr22:

Cette condition n"est en pratique pas très restrictive. Par exemple, pour un objet de tailler=50m, éclairé par une lumière de longueur d"onde=500nm, il

sut de placer l"écran àd2;5mm pour que la condition soit vérifiée.-Di raction au voisinage del"image géométriquede la source. Cette situation

correspond à la situation où 1=d,0, 1=D,0 mais (1=d+1=D)=0. En fait, on peut reprendre les calculs précédents en écrivantd=D: la source eective est située sur l"écran d"observation. VoirSextantp.139. C"est le fait que la diraction de Fraunhofer corresponde à cette situation qui la rend si importante en pratique! Ladiraction de Fresnelcorrespond à la situation où les termes quadratiques (en r

2) ne sont plus négligeables, tout en omettant les ordres suivants du développement.zX

Y M ?k k OP =?k·-→OPFigure1.3 - Calcul de l"amplitude de la vibration lumineuse dans l"approximation de Fraunhofer.'est le déphasage de l"onde émise en P par rapport à l"onde émise en O. Remarque 1La formule de Fraunhofer peut être retrouvée simplement dans le cas de la diraction d"une onde plane à l"infini. Dans ce cas en eet, L"onde émise par un point P deau point M présente un déphasage'(voir FIG. 3) par rapport à celle

émise par le point O égal à

'=~k·!OP:Dernière modification : 29 septembre 20203/12

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clement.sayrin@lkb.ens.frDe même, l"onde reçue au point P est déphasée par rapport à celle reçue au point O

d"une grandeur

0=~k0·!OP:

On obtient alors directement

s(M)/Z t(P)ei['(P)+'0(P)]d =Z t(P)ei(~k~k0)·!OPd: Remarque 2 Base de l"optique de Fourier[Cf.TD Diraction (2)]. On a une relation de transformée de Fourier entret(x;y) et le profil d"intensité diracté dans le cadre de la diraction de Fraunhofer. On appelleplan de Fourierle plan où l"on observe cette figure de diraction. Remarque 3On peut en fait montrer que l"on est dans le cadre de la diraction de Fraunhofer quand la taille de la tache de diraction est grande devant la taille de l"image géométrique (i.e.sans diraction). VoirSextantp.140.

4.Diraction par une fente rectangulaireDans le plan focal focal de la lentille, éclairée

par une onde plane de vecteur d"onde ~k0=k0

BBBBBBBB@

0 0 11

CCCCCCCCA, en M=0

BBBBBBBB@X=f

Y=f D1

CCCCCCCCA, on a

s(M)=˜s0Z +b=2 b=2dyZ +a=2 a=2dx1ab eik[(0)x+(0)y] =˜s01ab

1ik(0)

2isinka(0)2

1ik(0)

2isinkb(0)2

=˜s0sinc a(XX0)f! sinc b(YY0)f! avecX0=f0etY0=f0. D"où le profil d"intensité, en notantI0=j˜s0j2,

I(X;Y)=I0sinc2 a(XX0)f!

sinc

2 b(YY0)f!:

Pour une fente infiniment fineb!0,I!I0sinc2aXf, de largeur2fa (première annulation en fa

) : la figure de diraction estperpendiculaireà la fente diractante.Figure1.4 - Diraction par une fente rectangulaire.

5.

Un trou de rayon aest compris entre une fente carrée de côté 2aet une autre de côtép2a. Les largeurs des taches de diraction de ces carrés sontfa

etp2fa , respective- ment.aFigure1.5 - Un trou de rayonaest compris entre deux carrés de cotés 2aetp2a. La largeur angulairedu rayon de la tache de diraction du trou de rayonavérifie alors a < Donc1;2a 0;2a

. Le calcul complet fait apparaître des fonctions de Bessel etDernière modification : 29 septembre 20204/12

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clement.sayrin@lkb.ens.frpermet de trouver '1;22a:

6.Théorème de Babinet.

Soit deux écrans1et2de transmittancet1(x;y) ett2(x;y) complémentaires (8x;y t1(x;y)+t2(x;y)=1). En dehors de l"image géométrique, les figures de diraction données par les deux écrans sont identiques. D ´emonstration: La vibration enMpour l"écran1s"écrit s

1(M)=AZ

1e ikPMPM t1(x;y)dxdy; et de même pour l"écran2 s

2(M)=AZ

2e ikPMPM t2(x;y)dxdy: En l"absence d"objet diractanti, au point M, on ne voit que l"image géométrique de la source. En dehors de l"image géométrique, il n"y a donc pas d"éclairement en l"absence d"objet diractant : Hors de l"image géométrique :I=s·s=0!s=0: Or, cette situation correspond àt(x;y)=1 en tout point. Commet1+t2=1 en tout point, en dehors de l"image géométrique, on en déduit s=AZeikPMPM t1(x;y)dxdy+AZeikPMPM t2(x;y)dxdy=s1(M)+s2(M)=0:

Doncs1(M)=s2(M), soit

I

1(M)=I2(M) pourMen dehors de l"image géométrique:zx

yX Y M kφ k 0 O e DFigure2.1 - Diraction par un ensemble de structures. ExerciceII Diffraction par un ensemble de structures

1.Cas général

1.1 On applique le principe de Huygens-Fresnel dans l"approximation de Fraunhofer s(M)=As0Z t(P)ei(~k~k0)·!OPPM dxdy: À chaque élément diractantfjg, on associe une transmittancetj(P) et une position O j. On a alors t(P)=X j t j(P): 1.2

On note

~Rj=!OOj, et on décompose OP=!OOj+!OjP=~Rj+!OjP:Dernière modification : 29 septembre 20205/12

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clement.sayrin@lkb.ens.frSi l"on note~k=~k~k0, on obtient s(M)=As0D X j0

BBBBBBBBBBBBBBBBB@e

i~k·~RjZ t j(P)ei~k·!PjPd | {z } indépendant dej1

CCCCCCCCCCCCCCCCCA

s(M)=s000

BBBBBBB@X

j e i~k·~Rj1CCCCCCCA | {z }

Facteur de structureZ

1 structure

t

0(~r)ei~k·~rd

| {z }

Facteur de forme:

La figure de diraction obtenue est le produit d"un facteur de structure, qui ne dépend que de la répartition des structures sur l"écran diractant, et d"un facteur de forme, qui ne dépend que de la forme d"une structure unique.

2.Structures réparties de façon aléatoire

On a

I/ js(M)j2=js00j2

X j ei~k0~k·~Rj 2 Z t

0(~r)ei~k0~k·~rd2

| {z } =F(M)diraction d"un seul motif:

SoitS=P

jei~k0~k·~Rj2le facteur de structure. On a S= X j ei~k0~k·~Rj 2 =X j;lei~k0~k·~Rj~Rl ;(II.1) X j=l1+X j,lei~k0~k·~Rj~Rl =N+X j,lei~k·~Rj~Rl | {z }

0 siNgrand:(II.2)

Le deuxième terme dans l"équation précédente s"annule car les structures sont répar- ties de façon aléatoire sur l"écran diractant. On a alors I(M)=NF(M):Si on aNmotifs répartis aléatoirement, on obtient la figure de diraction d"un seul motif maisNfois plus intense qu"avec un motif unique. ExempleCette situation est particulièrement utile quand l"on cherche, par exemple,

à connaître le rayon moyen des grains d"une poudre. En répartissant de façon aléatoire

les grains sur une plaque, la figure de diraction obtenue pour l"ensemble des grains est la figure de diraction d"un grain dediamètre moyen. En montage, on peut par exemple mesurer le diamètre de spores de lycopode par cette méthode. Notons qu"on ne gagne, ni ne perd, en intensité par rapport à la situation où l"on éclairerait un seul grain, à intensité lumineuse totale constante. En eet, l"intensité éclairant le grain unique estNfois plus grande que l"intensité éclairant un grain parmi lesNrépartis de façon aléatoire. Mais comme la figure de diraction dans ce dernier cas estNfois plus intense que dans le premier cas, les deux figures de diraction obtenues sont également intenses. RemarqueLa situation est diérente au centre de la figure de diraction,i.e.pour ~k=~k0. Dans ce cas en eet, tous les termes de la somme dans l"équation (II.1) sont égaux à 1, etS=N2. Autrement dit, au centre de la figure, l"intensité est proportion- nelle àN2.

3.Structures périodiques : réseau

Si les motifs sont répartis de manière ordonnée, une relation de phase déterminée est établie entre chacun d"eux et le deuxième terme de la somme (II.2) est non nul. 3.1 On en visagele cas simple du réseau plan. Les positions ~Rjsont alors données par ~Rj=j~aoù~aest le vecteur caractéristique du réseau. Le facteur de structure s"exprime dès lors S= X j ei j~a·~k0~k2 X j e i jka(sin0sin) 2 =(N2;sika(sin0sin)0[2];

0 sinon (pourNgrand):

On retrouve alors la formule dite des réseaux qui stipule que les interférences entre les ondes émises par les diérentes fentes du réseaux sont constructives dans la directionquandprend l"une des valeursndéfinies par sinn=sin0+na ;n2Z:

Dernière modification : 29 septembre 20206/12

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clement.sayrin@lkb.ens.frLe nombrenest appeléordre de diraction. 3.2 L "expressione xactede Sse calcule facilement en notant que N X j=1e i(sinsin0)2 aj=1ei'N1ei'ei'=ei'(N1)2 sin'N2 sin '2 où'=2a (sin0sin). Ce déphasage correspond au déphasage entre deux rayons issus de deux fentes successives du réseau,i.e.à la diérence de marchequotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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