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Intégrales Multiples et Algèbre Linéaire François DE MARÇAY Département de Mathématiques d'Orsay Université Paris-Sud France
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Calculs d"intégrales doubles
Exercice 1[ 01947 ][Correction]
Calculer
I=?? D xydxdy avecD=?(x,y)?R2|x,y>0etx+y61?
Exercice 2[ 01949 ][Correction]
Calculer
I=?? D x2dxdy oùD=?(x,y)?R2|x61,y>0ety26x?.Exercice 3[ 01950 ][Correction]
Calculer
D x2dxdy oùDest l"intérieur de l"ellipse d"équation x 2a 2+y2b 2= 1Exercice 4[ 03373 ][Correction]
a) Donner les coordonnées des foyersFetF?de l"ellipseEd"équation x 2a 2+y2b 2= 1 (avec0< b < a) b) Calculer I=?? D (MF+MF?)dxdy oùDdésigne l"intérieur de l"ellipseExercice 5[ 03746 ][Correction]Calculer
I=??Ddxdy(1 +x2)(1 +y2)
avecD=?(x,y)?R2/06y6x61?.Exercice 6[ 00085 ][Correction]
Calculer
I=?? D sin(x+y)dxdy oùD=?(x,y)?R2|x,y>0etx+y6π?.Exercice 7[ 00086 ][Correction]
Calculer
I=?? D yx2dxdy oùD=?(x,y)?R2|x61,y>0ety26x?.Exercice 8[ 00096 ][Correction]
Calculer??
(x3-2y)dxdy avec (x,y)?R2/x>0,y>0,x2a 2+y2b 261?On pourra utiliser le changement de variablex=aucosθety=businθ.
Exercice 9[ 02914 ][Correction]
Soit I n=?? [0,1]2dxdy1 +xn+ynDéterminer la limite deInquandn→+∞.
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés2Exercice 10[ 03365 ][Correction]
Calculer???
D (x+y+z)2dxdydz oùD=?(x,y,z)?R3,x>0,y>0,z>0,x+y+z61?
Exercice 11[ 03815 ][Correction]
Calculer??
D (xy+ 1)dxdy oùD=?(x,y)?(R+)2/y+x-160?
Exercice 12[ 02564 ][Correction]
Dessiner
D=?(x,y)?R2,x>0,16xy62,16x2-y264?
Montrer queφ(x,y) = (xy,x2-y2)est unC1difféomorphisme sur]0,+∞[2.Expliciterφ(D).
Calculer
I=?? D f(x,y)dxdyoùf(x,y) =xy(x2+y2)x 2-y2Etudier les extrema def.
Calculs d"intégrales doubles en coordonnées po- lairesExercice 13[ 01951 ][Correction]
Calculer
I=?? D cos(x2+y2)dxdy oùDest le disque de centreOet de rayonR.Exercice 14[ 01952 ][Correction]Calculer
D sin(x2+y2)dxdy oùDdésigne le disque de centreOet de rayon⎷π.Exercice 15[ 01953 ][Correction]
Calculer
I=?? Dx2+y2x+?x
2+y2dxdy
oùDest le quart de disque unité inclus dansR+×R+.Exercice 16[ 01954 ][Correction]
Calculer
D xdxdy oùDdésigne le domaine borné délimité par la cardioïde d"équation polaireρ= 1 + cosθ.
Exercice 17[ 01957 ][Correction]
Calculer
D xdxdy oùD=?(x,y)?R2/x2+y2-x60?.Exercice 18[ 03396 ][Correction]
Calculer
I=?? D (1 +xy)dxdy oùDdésigne le disque fermé de centreOet de rayon 1.Exercice 19[ 00089 ][Correction]
Calculer
I=?? D x2y2dxdy oùDest l"intérieur de la boucle de la lemniscate d"équation polairer=⎷cos2θ obtenue pourθ?[-π/4,π/4]. Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés3Exercice 20[ 00090 ][Correction]
Calculer
D (x+y)2dxdyExercice 21[ 00095 ][Correction]
Calculer
Ddxdy(1 +x2+y2)2
oùDest donné par|x|6x2+y261.Exercice 22[ 03200 ][Correction]
Ddésigne le demi-disque supérieur de centre(1,0)et de rayon 1. Calculer I=??Dy1 +x2+y2dxdy
Applications du calcul d"intégrales doubles
Exercice 23[ 00093 ][Correction]
SoitR >0. On note
AR= [0,R]×[0,R]etBR=?(x,y)?R2/x,y>0etx2+y26R2?
On pose
f(R) =?? ARexp(-(x2+y2))dxdyetg(R) =??
BRexp(-(x2+y2))dxdy
a) Montrer queg(R)6f(R)6g(R⎷2). b) En déduire la valeur de?+∞ 0 e-t2dtExercice 24[ 02546 ][Correction]
SoitC(R)le quart de disquex>0,y>0,x2+y26R2,R >0.a) Montrer que ??R 0 e-t2dt? 2 est compris entreC(R)e-x2-y2dxdyet??
C(R⎷2)
e-x2-y2dxdy b) CalculerC(R)e-x2-y2dxdy
c) En déduire la valeur de 0 e-t2dtExercice 25[ 00097 ][Correction]
a) Justifier la convergence de 0 cos(u2)duet? 0 sin(u2)du b) Soitf: [0,π/2]→R+?une application continue. Pourt >0on pose D et on introduit ?(t) =?? D tsin(x2+y2)dxdyetψ(t) =?? D tcos(x2+y2)dxdy Déterminer les limites, quandTtend vers+∞de 1T T 0 ?et1T T 0 c) On choisitfpour queD1= [0,1]2. On poseC(t) =?
t 0 cos(u2)duetS(t) =? t 0 sin(u2)du Montrer que?(t) = 2C(t)S(t)etψ(t) =C(t)2-S(t)2. d) En déduire les valeurs des intégrales de Fresnel 0 cos(u2)duet? 0 sin(u2)du Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés4Exercice 26[ 03515 ][Correction]
Calculer
I=?0sintt
dt en utilisant l"intégrale doubleJ(u) =??
[0,u]2sin(x)e-xydxdyExercice 27[ 00091 ][Correction]
Soient1< a < b. En calculant de deux manières
0? b adxx-costdt déterminer 0 lnb-costa-costdtExercice 28[ 00092 ][Correction]
Observer que pour toutx?[0,1],
ln(1 +x) =? 10xdy1 +xy
En déduire la valeur de
I=? 10ln(1 +x)dx1 +x2
Formule de Green Riemann
Exercice 29[ 03363 ][Correction]
Soit(a,b)?R2,a >0,b >0. On noteΓl"ellipse d"équation x 2a 2+y2b2-1 = 0
etDla partie deR2définie par x 2a 2+y2b2-160a) Calculer l"intégrale double
I=?? D (x2+y2)dxdy (on poserax=arcosθety=brsinθ) b) Calculer l"intégrale curviligne J=? (y3dx-x3dy) c) Quelle relation existe-t-il entreIetJ?Exercice 30[ 00269 ][Correction]
SoitΓla courbe orientée dans le sens trigonométrique, constituée des deux portions de courbes, comprises entre les points d"intersection, de la droite d"équationy=xet de la parabole d"équationy=x2. a) Calculer I=? (y+xy)dx b) En utilisant la formule de Green-Riemann, retrouver la valeur de cette intégrale.Exercice 31[ 00108 ][Correction]
On considèref:R2→Rde classeC2vérifiant :2f∂x
2+∂2f∂y
2= 0Soit?:R+→Rdéfinie par
?(r) =? 2π 0 f(rcosθ,rsinθ)dθ a) Montrer que la fonction?est dérivable. b) Calculer??et en déduire une expression?. On pourra interpréterr??(r) comme la circulation d"une forme différentielle sur un contour simple. c) SoitDle disque de centre 0 et de rayonR. Quelle est la valeur de D f(x,y)dxdy? Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés5Calcul d"airesExercice 32[ 00111 ][Correction]
Calculer l"aire de la portion bornée du plan délimitée par l"ellipse donnée par ?x(t) =acost y(t) =bsint(aveca,b >0)Exercice 33[ 00079 ][Correction]
Calculer l"aire de la portion bornée du plan délimitée par l"astroïde donnée par ?x(t) =acos3t y(t) =asin3t(aveca >0)Exercice 34[ 00606 ][Correction]
Calculer l"aire de la portion bornée du plan délimitée par l"arche de la cycloïde ?x(t) =t-sint y(t) = 1-cost obtenue pourt?[0,2π]et l"axe des abscisses.Exercice 35[ 02462 ][Correction]
Calculer l"aire de la portion bornée du plan délimitée par la courbe définie par ?x(t) = cos2t y(t) = (1 + sint)costExercice 36[ 00112 ][Correction]
Calculer l"aire de la portion bornée du plan délimitée par la cardioïde d"équation polaire r= 1 + cosθExercice 37[ 00069 ][Correction]
Calculer l"aire de la portion bornée du plan délimitée par la lemniscate d"équation polaire r=⎷cos2θExercice 38[ 00062 ][Correction] Calculer l"aire de la boucle de la strophoïde droite d"équation polaire r=cos2θcosθExercice 39[ 00110 ][Correction]
[Inégalité isopérimétrique] Soitγune application de classeC1et2π-périodique deRversCtelle que ?s?R,|γ?(s)|= 1 On noteSl"aire orientée délimitée parγ[0,2π]. a) ExprimerSà l"aide des coefficients de Fourier exponentiels deγ. b) MontrerS6πet préciser le cas d"égalité.Exercice 40[ 03769 ][Correction]
On considère la courbe paramétrée du plan donnée par ??x(t) =t1 +t4 y(t) =t31 +t4avect?R a) Déterminer centre de symétrie et axe de symétrie. Indice : calculerx(1/t) ety(1/t). b) Voici l"allure de la courbe surR. Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés6Calculer l"aire intérieure délimitée par cette courbe.
Intégrales doubles sur un produit d"intervallesExercice 41[ 02919 ][Correction]
Calculer??
[0,+∞[2y(1 +x2+y2)2dxdyExercice 42[ 00098 ][Correction]
En calculant de deux façons??
]0,1]2xydxdy déterminer la valeur de ?10t-1lntdtExercice 43[ 00099 ][Correction]
En calculant de deux façons
[0,π]×[0,1[11 +ycosxdxdy déterminer la valeur de0ln(1 + cost)costdt
Exercice 44[ 00100 ][Correction]
En calculant de deux façons
[0,+∞[2e-(x2+y2)dxdy déterminer la valeur de 0 e-t2dtExercice 45[ 00101 ][Correction]
On pose
I=?? ]0,+∞[2e-(x2+y2)dxdy a) Justifier l"existence deIet établir I=? x=0? u=0xe-(1+u2)x2du? dx b) En déduire la valeur de 0 e-t2dtquotesdbs_dbs28.pdfusesText_34[PDF] courbure d'une surface
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