[PDF] Cours 3 : Courbures On appelle COURBURE DE GAUSS





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Chapitre 2. Surfaces de R

12 juil. 2005 thonormé du plan tangent (les directions principales) et deux nombres les courbures principales (ou alternativement par la courbure moyenne ...



Cours 3 : Courbures

On appelle COURBURE DE GAUSS en p et on et les courbures principales ?1(p)?2(p) sont les solutions ... Toute direction est direction principale.



Propriétés de Courbes et Surfaces

courbures normales principales Pour trouver les lignes de courbure principale: ... K = 0 : Au moins l'une des deux courbures principales est nulle ...



Géométrie de lellipsoš?de

19 juin 2012 On appelle rayon de courbure principale R1 et R2 les rayons de courbure nor- male dans les deux directions principales.



TD 10 — Lignes de courbure principales

Étant donnée une surface lisse ? ? R3 on note ?1 et ?2 les fonctions qui donnent ses courbures principales en vérifiant ?1 ? ?2. Un point p ? ? est.



Filtrage structurel dimages grises par analyse des courbures

tridimensionnelle des images à niveaux de gris (x y



CM-S4 : Courbes remarquables sur les surfaces

Courbure normale. Jean-Baptiste. Meusnier. Courbes asymptotiques. Charles Dupin. Lignes de note k(p) sa courbure principale nprinc(p) sa normale.



Sur les éléments de la courbure des courbes et surfaces

courbure é^al au rayon de la sphère; si le cône est en contact avec ce plan l'arête de contact



Familles de surfaces isoparamétriques dans les espaces

courbures principales sont constantes reals



Imosteo

La courbure principale est souvent encadrée par deux courbures secondaires l'une sus et l'autre sous-jacente. La somme des amplitudes de ces courbures 



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COURBURES PRINCIPALES et notées ?1(p) et ?2(p) (éventuellement ?1(p) = ?2(p)) Les vecteurs propres sont appelés les DIRECTIONS PRINCIPALES



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Courbure d'une courbe Le théor`eme fondamental Surfaces Courbures des surfaces Courbure des courbes et des surfaces Aziz El Kacimi



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Normale principale • dans le plan normal • pointe sur le centre de courbure • Plan osculateur défini par pi u et pi uu • Module de la projection de



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12 juil 2005 · Calculer l'aire l'intégrale par rapport `a l'élément d'aire de la courbure de Gauss ainsi que de sa valeur absolue les courbures principales 



[PDF] Chapitre 3 : Courbure

12 juil 2005 · duit des courbures principales d'une surface de R3 est égal `a la courbure de Gauss intrins`eque i e définie uniquement `a partir de la 



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Étant donnée une surface lisse ? ? R3 on note ?1 et ?2 les fonctions qui donnent ses courbures principales en vérifiant ?1 ? ?2 Un point p ? ? est



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1 6 Vecteur normal principal et la courbure signée Soit n le vecteur unitaire normal principal de la courbe x(s) continue en s alors il est



[PDF] LE THEOREME DE GAUSS On a défini les courbures principales ?1

On a défini les courbures principales ?1?2 en tout point d'une surface réguli`ere orientée L'orientation opposée donne les courbures principales opposées



[PDF] Surfaces

Exercice 9 Surface implicite a) Déterminer les courbures principales k1k2 la courbure moyenne H et la courbure totale de Gauss K en tout point de la 

  • Comment calculer la courbure ?

    On a ainsi la relation : ?? = ?SR Le rapport ???S est constant et égal à 1/R. Il est indépendant des points de départ et d'arrivée mais aussi du mode de parcours (mouvement uniforme ou non). C'est ce qu'on appelle la courbure du cercle.

  • Comment calculer la courbure d'une courbe ?

    Mathématiquement, le rayon de courbure est la valeur absolue du rayon du cercle tangent à la courbe au point recherché, cercle qui y « épouse cette courbe le mieux possible ». Ce cercle est appelé cercle osculateur à la courbe en ce point. Le rayon de courbure est aussi l'inverse de la courbure ? : ? = 1/?.

  • Comment calculer la courbure d'une surface ?

    ?(s) = t?(s) = ?? ? ? 1 R ( ?cos s R ,?sin s R,0)?? ? ? = 1 R . Ce qui correspond `a l'idée intuitive que l'on a de la courbure d'un cercle : plus le rayon est petit plus la courbure est grande et plus le virage est difficile `a prendre
  • Le rayon de courbure est lui défini par R=1/c. R = 1 / c . Le cercle osculateur est le cercle dont le centre est le point O, situé sur la normale, est tel que ???MO=R?N.
Cours 3 : Courbures

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V. Borrelli

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Université de Lyon

Une surface hyperbolique

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Définition.-Soitf:U !R3une paramétrisation régulière et injective de supportSet soith:S!Rn:On dit queh estDIFFÉRENTIABLEsihf:U !Rnl"est. On définit de façon analogue les applications de classeCk:

Soitp=f(u;v):SiX2TpS;on pose

dh p(X) :=d(hf)(u;v)() oùest l"unique vecteur deR2tel quedf(u;v)() =X:

Il est clair que

dh p:!TpS!Rn est linéaire, on l"appelle l"APPLICATION TANGENTEdehen p.

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Proposition.-L"application tangente dh

pest indépendante d"un reparamétrage de f: Démonstration.-Soit':V ! Uun reparamétrage, on poseg=f'et on note(u0;v0)le point tel que '(u0;v0) = (u;v):En particulierp=f(u;v) =g(u0;v0): Soitl"unique vecteur tel quedg(u0;v0)() =X:Puisque g=f'on a nécessairement=d'(u0;v0)(): On a d(hg)(u0;v0)() =d(hf')(u0;v0)() =d(hf)'(u0;v0)(d'(u0;v0)()) =d(hf)(u;v)()

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Exemple : l"application normale.-Il s"agit de l"application n:S!R3 p7!N(u;v) =fu(u;v)^fv(u;v)jfu(u;v)^fv(u;v)j où(u;v)est tel quef(u;v) =p:En particulierN=nf.

Il est clair quenest à valeur dansS2:

Puisque, pour tout(u;v)et tout2R2;

hdN(u;v)();N(u;v)i=0 on a dn p:!TpS!Vect(n(p))?:

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Puisque!TpS=Vect(n(p))?;la différentielle

dn p:Vect(n(p))?!Vect(n(p))? est un endomorphisme. Définition.-L"opposée de la différentiellednpest appelée

ENDOMORPHISME DEWEINGARTEN. On noteWp:=dnp:

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Définition.-On appelleCOURBURE DEGAUSSenpet on

noteK(p), le déterminantdet(Wp)de l"endomorphisme de

Weingarten. On appelleCOURBURE MOYENNEet on note

H(p)sa demi-trace12

tr(Wp):

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Proposition.-L"endomorphisme de Weingarten est

auto-adjoint. En particulier, il est diagonalisable dans une base orthonormée.

Démonstration.-Il faut montrer que

Soit(e1;e2)une base deVect(n(p))?:Par (bi)linéarité, il suffit de montrer la relation pour les couples(e1;e1), (e2;e2)et(e1;e2):Seul le dernier cas est non trivial.

Soit(eu;ev)la base canonique deR2 U:On choisit

e

1(p) =df(u;v)(eu) =@f@u(u;v)

e

2(p) =df(u;v)(ev) =@f@v(u;v):

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On adn

p(e1) =d(nf)(u;v)(eu) =dN(u;v)(eu) @N@u(u;v)

De même

dn p(e2) =@N@v(u;v): Ainsi hdnp(e1);e2i=h@N@u(u;v);@f@v(u;v)i

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DehN;@f@vi=0, on déduit

h

Finalement

hdnp(e1);e2i=hN(u;v);@2f@u@v(u;v)i:

De même

he1;dnp(e2)i=hN(u;v);@2f@v@u(u;v)i: L"égalité recherchée se déduit du caractèreC2def:

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Définition.-Les valeurs propres deWpsont appelées les

COURBURES PRINCIPALESet notées1(p)et2(p)

(éventuellement1(p) =2(p)). Les vecteurs propres sont appelés lesDIRECTIONS PRINCIPALES.

En particulierK=12etH=1+22

Définition.-La forme bilinéaire

T pSTpS!R (X;Y)7! hWp(X);Yi est appelée laSECONDE FORME FONDAMENTALE, elle se noteIIp: Propriété.-Puisque Wpest auto-adjoint, IIpest symétrique.

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Soient

L=hNu;fui=hN;fuui N=hNv;fvi=hN;fvvi

M=hNu;fvi=hNv;fui=hN;fuvi

La matrice deIIpdans la base(fu;fv)est donc

L M M N

En particulier

II p(X;Y) = (Xu;Xv)L M M N Yu Y v

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La relation

8X;Y2TpS;IIp(Y;X) =hY;Wp(X)i

s"écrit sous forme matricielle dans la base(fu;fv) (Yu;Yv)L M M N Xu X v (Yu;Yv)E F F G a11a12 a 21a22
Xu X v où a11a12quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34
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