[PDF] int”grales d”finies_5.111 du calcul différentiel et

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3.1 La notation sigma

André Lévesque 3-1

L"intégrale définie 3

Nous verrons dans ce chapitre qu"il existe une relation étonnante entrela notion de primitive et la notion de somme. Cette relation permettrade résoudre rapidement certaines sommes provenant aussi bien desmathématiques que de la physique, de la chimie, de la biologie, del"économie, de la psychologie, de la sociologie, etc...

3.1 La notation sigma

On aura souvent à traiter de sommes à plusieurs termes. Il convient d"adopter une notation appropriée pour les traiter. La notation "sigma" sera celle utilisée. Elle tire son nom de la lettre grecque ∑ l"équivalentde notre lettre S, la première lettre du mot somme. lire "la somme des termes de la forme i où i varie de 1 jusqu"à 10"

Une façon d"abréger l"écriture

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

est d"écrire i=110 i symbole correspondant à la somme des dix premiers entiers positifs c"est-à-dire à 55.

Ainsi,

i=17 i 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 + 6 2 + 7 2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 = 140

La variable i est une variable fictive (indice de sommation). On peututiliser une autre lettre sans changer la valeur de la somme. Les bornesde cette variable fictive sont des valeurs quelconques entières. La borneinférieure est toujours plus petite que la borne supérieure.

Par exemple

j = -21

3j + 2 = (3(-2) + 2) + (3(-1) + 2) + (3(0) + 2) + (3(1) + 2)

= (-4) + (-1) + 2 + 5 = 2

3.1 La notation sigma

André Lévesque 3-2

k = 0n k + 1) 3 = 1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 + ... + (n + 1) 3 = 1 + 8 + 27 + 64 + ... + (n + 1) 3 (n ≥ 0)

D"une façon générale,

notation sigma i=mn a i = a m + a m+1 + a m+2 + a m+3 + ... + a n-1 + an i est un nombre réel. exemple 3.1.1 solutionSi a 1 = -4, a 2 = 1/2, a 3 = 7, a 4 = -7/2, a 5 = 1 alors calculer k=15 a k ____________ k=15 a k = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 = (-4) + 1/2 + 7 + (-7/2) + 1 = 1 exemple 3.1.2Écrire à l"aide de la notation sigma.

ƒ(x

1 )Δx 1 + ƒ(x 2 )Δx 2 + ƒ(x 3 )Δx 3 + ƒ(x 4 )Δx 4 + ... + ƒ(x n )Δx n ____________ exemple 3.1.3

Évaluer ∑

j=2100 (( )) 1 j - 1 j - 1 . ____________ rép: - 0,99

3.1 La notation sigma

André Lévesque 3-3

propriétés de lasommation m et n sont des entiers tels que n ≥ m 1) i=mn ca i = c i=mn a i où c est une constante, 2) i=mn () a i

± b

i i=mn a i i=mn b i , démonstration 1) i=mn ca i = ca m + ca m+1 + ca m+2 + ca m+3 + ca m+4 + .. . ca n-1 + ca n = c (a m + a m+1 + a m+2 + a m+3 + a m+4 + ... a n-1 + a n = c i=mn a i 2) i=mn () a i + b i i=mn () a i - b i i=mn a i i=mn b i se démontre de la même façon.

3.1 La notation sigma

André Lévesque 3-4

exemple 3.1.4 solutionSi k=128 a k = 19 et k=128 b k = 8 alors trouver k=128 2a k + 3b k ____________ k=128 2a k + 3b k k=128 2a k k=128 3b k (par la propriété 2) = 2 k=128 a k + 3 k=128 b k (par la propriété 1) = 2(19) + 3(8) (par hypothèse) = 62 formules utiles noter que la borne inférieure de la variable fictive i est 1 pour les 3 formules 1) i=1n c = nc pour toute valeur de n ≥ 1 (c est une constante), 2) i=1n i = n(n + 1)

2 pour toute valeur de n ≥ 1,

3) i=1n i 2 = n(n + 1)(2n + 1)

6 pour toute valeur de n ≥ 1.

démonstration preuve par induction 1) i=1n c = c + c + c + c + c + ... + c (n fois) = nc 2) i=1n i = n(n + 1)

2 pour toute valeur de n ≥ 1

a) Vérifions que la proposition est vraie pour n = 1. i=11 i = 1(1 + 1) 2

1 = 1 (vraie pour n = 1)

3.1 La notation sigma

André Lévesque 3-5

puisque par hypothèse , la proposition est vraie pour n = k alors i=1k i = k(k + 1) 2

b) Démontrons que la proposition est vraie pour n = k + 1 lorsqu"elle est vraie pour n = k.

i=1k+1 i i=1k i + ( k + 1) k(k + 1) 2 + (k + 1) k(k + 1) + 2(k + 1) 2 = (k + 2)(k + 1) 2 () (k+ 1) + 1 (k + 1) 2 La proposition est toujours vraie pour n = k + 1 lorsqu"elle est vraie pour n = k. On conclut qu"elle est vraie pour toute valeur de n ≥ 1. 3) i=1n i 2 = n(n + 1)(2n + 1)

6 pour toute valeur de n ≥ 1

Prouver cette proposition par induction.

3.1 La notation sigma

André Lévesque 3-6

exemple 3.1.5 solutionÉvaluer j=117 9 ____________ j=117 9 = 17(9) (par la formule 1) exemple 3.1.6 solutionÉvaluer i=110

5 - 3i

____________ i=110

5 - 3i

i=110 5 i=110 3i (par la propriété 2) i=110 5 3 i=110 i (par la propriété 1) = 10(5) - 3 (( )) 10(11) 2 (par les formules 1 et 2) = 50 - 165 = -115

3.1 La notation sigma

André Lévesque 3-7

exemple 3.1.7

Évaluer

i=1n (2i + 1) ____________ rép: n(n + 2) exemple 3.1.8

Évaluer

i=1n

6(1 + i)

2 ____________ rép: n(2n 2 + 9n + 13)

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André Lévesque 3-8

exemple 3.1.9

Évaluer dans R_

lim n → ∞ ((( i=1n i n 2 ____________ rép: 1/2

3.1 La notation sigma

André Lévesque 3-9

Exercices 3.1

1. Évaluer chacune des sommes.

a)∑ k=14 1 kd) k=11000 (-1) k b) i=05 2 i e) k=1 100
() ⎷‾k - ⎷‾‾‾‾k - 1 c) j= -56 j 3 2. Si k=118 a k = 37 et k=118 b k = -83 alors trouver k=118 b k - 3a k utiliser les propriétés de la sommation (page 3-3) ainsi que les formules de la page 3-4

3. Évaluer chacune des sommes.

a) i=175 (2i - 1) b) k=120 (5 - 3k 2 utiliser les propriétés de la sommation (page 3-3) ainsi quequotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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