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Relativité générale

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cours et exercices corrigés / Aurélien Barrau Julien Grain - ULysse

Relativité générale : cours et exercices corrigés / Aurélien Barrau Julien Grain ; Barrau Aurélien ; ; Grain Julien ; ; Paris : Dunod ; ; DL 2011 ;

  • Comment expliquer la relativité générale ?

    La relativité générale et ce qu'elle permet
    Avec la relativité générale, dire que la Terre tourne autour du Soleil devient incorrect. En fait, la Terre va tout droit dans l'espace-temps, mais c'est l'espace-temps lui-même qui, déformé par cette masse importante qu'est le Soleil, est courbé.

  • Quel est la formule de la relativité ?

    «E=mc2», la formule la plus cél?re du monde Issue de la théorie de la relativité restreinte, qu'Albert Einstein énonce dans un article paru en juin 1905, elle ouvre la voie à la formulation, dix ans plus tard, d'une théorie plus vaste intégrant la loi de la gravité de Newton: la relativité générale.

  • Quelle est la signification de E mc2 ?

    Étymologie. Cél?re formule d'Albert Einstein signifiant que l'énergie (E) est égale à la masse (m) multipliée par le carré de la vitesse de la lumière (c).
  • La démonstration ne fait appel qu'à trois lois classiques : 1) la conservation de la quantité de mouvement 2) la pression de radiation (quantité de mouvement d'une onde électromagnétique) 3) l'aberration de la lumière (composition de la vitesse de la source et de la vitesse de la lumière).
Relativité générale La relativité générale, théorie relativiste de la gravitation, est un des piliers de la physique théorique moderne. Elle est aujourd'hui indispensable en astrophysique et en cosmologie. Destiné aux étudiants en master de physique fondamentale et d'astrophysique ainsi qu'aux élèves des écoles d'ingénieurs, ce manuel comprend un cours complet et de nombreux exercices d'application corrigés.Il introduit progressivement les outils conceptuels essentiels à la théorie de la relativité générale avant d'en présenter les aspects fondamentaux puis ses principales applications astrophysiques (étoiles relativistes, trous noirs, ondes gravitationnelles et cosmologie).

WWW.VUIBERT.FRRelativité générale

MASTER PHYSIQUE FONDAMENTALE&

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ÉCOLES D

INGÉNIEURS

Cours & exercices corrigésDavid Langloisest directeur de recherche au CNRS et effectue ses recherches au laboratoire

AstroParticule et Cosmologie (CNRS/Université Paris-Diderot/CEA et Observatoire de Paris), dans les

domaines de l'astrophysique relativiste et de la cosmologie primordiale. Il enseigne actuellement la

cosmologie à l'École polytechnique, après y avoir été responsable des cours de relativité restreinte

et de relativité générale pendant sept ans.MASTER

PHYSIQUE FONDAMENTALE

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INGÉNIEURS

ISBN 978-2-311-00719-09 782311 007190

Sommaire

Introduction

1. Éléments de géométrie

2. Relativité restreinte

3. Courbure et équations d'Einstein

4. Géométrie et symétries

5. Étoiles relativistes et trous noirs

6. Cosmologie7. Ondes gravitationnelles

Annexe A. Compléments mathématiques

Annexe B. Principes variationnels

Annexe C. Formulaire

À la fin de chaque chapitre, on trouvera

des exercices suivis de leurs corrigésRelativité générale

Cours complet

Exercices d'application

Tous les corrigés détaillésDes fondements géométriques aux applications astrophysiques

David Langlois

Des fondements géométriques

aux applications astrophysiques

Relativité générale

David Langlois

CV_RelativiteGenerale:Mise en page 1 28/10/13 16:40 Page 1 ii "Book_GR_Vuibert_final" - 2013/10/28 - 16:55 - page VI - #4 ii i ii i ii "Book_GR_Vuibert_final" - 2013/10/28 - 16:55 - page III - #1 ii i ii iTable des matières

Avant-proposVII

Introduction1

1 Éléments de géométrie3

1.1 Quelques notions d"algèbre linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Espaces courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Dérivation covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4 Courbes et trajectoires newtoniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.6 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2 Relativité restreinte39

2.1 Espace-temps de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2 Électromagnétisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.3 Trajectoires dans l"espace-temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.4 Dynamique relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.5 Coordonnées de Rindler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.7 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3 Courbure et équations d'Einstein79

3.1 Tenseurs de courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.2 Gravitation relativiste et équations d"Einstein . . . . . . . . . . . . . . 91

3.3 Solution de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.5 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4 Géométrie et symétries111

4.1 Dérivée de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.2 Champ vectoriel de Killing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.3 Géodésiques de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

ii "Book_GR_Vuibert_final" - 2013/10/28 - 16:55 - page IV - #2 ii i ii iIVTable des matières

4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

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