[PDF] Calcul formel et Mathématiques avec Xcas

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Calcul formel

et

Mathématiques

avec Xcas

Renée De Graeve

Maître de Conférence à Grenoble I

2

Remerciements

Je remercie :

Bernard P arissepour ses précieux conseils et ses remarques sur ce te xte, c

2002, 2006 Renée De Graeve,renee.degraeve@wanadoo.fr

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Préface

Bernard Parisse

Maître de Conférences à l"Université de Grenoble I Développeur du logiciel de calcul formelgiacet de son interfaceXcas. La ver- sion à jour se récupère sur; 4

Table des matières

0.1 Style de l"index et notations

55

0.1.1 Notes concernant l"index de ce manuel

55

0.1.2 Remarques concernant les notations

55

0.2 La librairiegiacet ses interfaces sous Unix. . . . . . . . . . . 55

0.2.1 InterfaceXcas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56

0.2.2 Interface en ligne de commande

56

0.2.3 Interfacetexmacs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56

0.2.4 Interfaceemacs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

0.2.5 Utilisation dans un programme ou un moduleC++. . . .57

0.2.6 Savoir avec quelle version on travaille :version giac57

1 L"interfaceXcas59

1.1 Mise en route de l"interfaceXcas. . . . . . . . . . . . . . . . .59

1.1.1 Sous Unix

59

1.1.2 Sous Windows

59

1.1.3 Sous MacOS

59

1.2 Les différents niveaux d"entrée

59

1.3 Que voit-on au démarrage?

61

1.4 Les menus

62

1.4.1 Le menuFich. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62

1.4.2 Le menuEdit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64

1.4.3 Le menuCfg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65

1.4.4 Le menuAide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67

1.4.5 Les menus des commandes de calcul

69

1.5 Comment bien gérer son espace de travail

71

1.5.1 Pour sélectionner ou désélectionner un niveau

71

1.5.2 Pour remplir les niveaux

71

1.6 Les différentes configurations

72

1.6.1 Configuration du Cas

72

1.6.2 Configuration du graphique avec le menu :

CfgIConfiguration graphique. . . . . . . . .73

1.6.3 Configuration générale

74

1.7 Les différentes configurations avec les commandes

74

1.7.1 Le fichier.xcasrc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74

1.7.2 La configuration générale et la fonction :widget_size75

1.7.3 La configuration du cas avec la fonction :cas_setup. .75

1.7.4 Nombres de chiffres significatifs :Digits DIGITS. .76

5

6TABLE DES MATIÈRES

1.7.5 Choix du mode de langageXcasou Maple ou MuPad ou

TI89 :maple_mode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78

1.7.6 Choix de l"unité d"angle :angle_radian. . . . . . . .79

1.7.7 Choix du mode approximatif ou exact :approx_mode.79

1.7.8 Choix du mode réel ou complexe :complex_mode. . .79

1.7.9 Variables réelles ou complexes :complex_variables79

1.8 L"aide

80

1.8.1 Aide générale

81

1.8.2 Aide sur une fonction :findhelpou?. . . . . . . . .81

1.9 Sauver et imprimer

81

1.9.1 Pour sauver une session

82

1.9.2 Pour sauver un tableur

82

1.9.3 Pour sauver un programme

82

1.9.4 Pour imprimer

82

1.10 Traduction Latex

83

1.10.1 Traduction Latex d"une entrée :latex TeX. . . . . . .83

1.10.2 Imprimer la session ou/et la convertir en un fichier Latex

83

1.10.3 Traduction Latex d"un écran de géométrie

83

1.10.4 Traduction Latex de l"écranDispG. . . . . . . . . . . .84

1.10.5 Traduction Latex de l"écran3-d:graph3d2tex. . . .84

1.11 Traduction Mathml

85

1.11.1 Traduction Mathml d"une expression :mathml. . . . . .85

1.11.2 Traduction Mathml du tableur

85

1.12 Traduction de fichiers Maple en fichierXcasou Mupad. . . . . 85

1.12.1 Fichier Maple traduit en fichierXcas:maple2xcas. .85

1.12.2 Fichier Maple traduit en fichier Mupad :maple2mupad.86

1.13 Traduction d"un fichier Mupad en un fichierXcasou Maple. . . 86

1.13.1 Fichier Mupad traduit en fichierXcas:mupad2xcas. .86

1.13.2 Fichier Mupad traduit en fichier Maple :mupad2maple.86

2 Saisie

87

2.1 Pour écrire un commentaire :Alt+c. . . . . . . . . . . . . . . .87

2.2 L"éditeur d"expressions

88

2.2.1 Comment éditer une équation

88

2.2.2 Comment sélectionner

89

2.2.3 Comment éditer une chaîne de caractères

89

2.2.4 Utilité de l"éditeur d"expressions

90

2.3 Les éditeurs de matrices et les tableurs

90

2.3.1 Les sauvegardes d"un tableur

90

2.3.2 Les menus d"un tableur

90

2.3.3 La configuration d"un tableur

91

2.3.4 Les boutons d"un tableur

92

2.4 Les commandes d"effacement

92

2.4.1 Effacer dans le tableur

92

2.4.2 Effacerl"écranDispGdegéométrie:ClrGraph ClrDraw92

2.4.3 Effacer les écrans de géométrie :erase. . . . . . . . .92

2.4.4 Effacer une ligne de commande : toucheesc. . . . . . .93

TABLE DES MATIÈRES7

2.4.5 Effacer les noms des variables d"une seule lettre minus-

cule :rm_a_z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93

2.4.6 Effacer toutes les variables :rm_all_vars. . . . . . .93

2.5 Les variables

94

2.5.1 Le nom des variables et la variableCST. . . . . . . . . .94

2.5.2 L"affectation ::= => sto Store. . . . . . . . . . .94

2.5.3 L"affectation par référence dans une variable désignant un

élément d"une liste ou d"une matrice :=<. . . . . . . .97

2.5.4 L"incrémentation d"une variable :+= -=*= /=. . . .98

2.5.5 Archiveretdésarchiverdesvariablesetleurcontenu:archive

unarchive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99

2.5.6 Copier sans l"évaluer le contenu d"une variable :CopyVar99

2.5.7 Faireunehypothèsesurunevariable:assume supposons100

2.5.8 Faireunehypothèsesuppl"ementairesurunevariable:additionally104

2.5.9 Connaitre les hypothèses faites sur une variable :about.104

2.5.10 Effacer le contenu d"une variable :purge DelVar. . .105

2.5.11 Effacer le contenu de toutes les variables :restart. . .106

2.5.12 Accès aux réponses :ans(n). . . . . . . . . . . . . . .106

2.5.13 Pour ne pas afficher la réponse :nodisp :;. . . . . . .106

2.5.14 Accès aux questions :quest(n). . . . . . . . . . . . .107

2.6 Les répertoires

107

2.6.1 Comment créer un répértoire sur vôtre disque dur

107

2.6.2 Comment sauver un fichier dans un répértoire de vôtre

disque dur 107

2.6.3 Comment créer un répértoire de travail :NewFold. . . .108

2.6.4 Comment aller dans un répértoire de travail :SetFold.108

2.6.5 Nom du répértoire en cours :GetFold. . . . . . . . . .109

2.6.6 Effacer un répértoire vide :DelFold. . . . . . . . . . .109

2.6.7 Comment connaitre les variables et les répértoires créés :

VARS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109

2.6.8 Lire un fichier depuisXcas:read. . . . . . . . . . . .109

3 Le graphique

111

3.1 Généralités

111

3.2 L"écran graphique et ses boutons

112

3.3 La configuration de l"écran graphique

113

3.4 Configuration graphique aveccfg. . . . . . . . . . . . . . . . .113

3.5 Pour transformer un graphique en un fichier Latex

114

3.6 Graphe d"une matrice de transition probabiliste :

graphe_probabiliste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114

3.7 Graphed"unefonction:plotfunc funcplot DrawFunc Graph117

3.7.1 Graphe en 2-d

117

3.7.2 Graphe en 3-d

118

3.7.3 Graphe "3-d" avec les couleurs de l"arc en ciel

119

3.7.4 Graphe en "4D"

119

3.8 Graphe 2-d pour compatibilité Maple :plot graphe. . . . . .120

3.9 Surface 3-d pour compatibilité Mapleplot3d graphe3d. . .121

3.10 Graphe d"une droite et les tangentes à un graphe

122

8TABLE DES MATIÈRES

3.10.1 Tracé d"une droite :line droite. . . . . . . . . . . .122

3.10.2 Tracé d"une droite horizontale en 2-d :LineHorz. . . .123

3.10.3 Tracé d"une droite verticale en 2-d :LineVert. . . . .123

3.10.4 Tangenteàungrapheen2-d:LineTan droite_tangente123

3.10.5 Tangenteenunpointd"ungrapheen2-d:tangent tangente124

3.10.6 Tracéd"unedroitedonnéeparunpointetsapente:DrawSlp125

3.10.7 Intersection d"un graphe en 2-d avec les axes

125

3.11 Représentationgraphiqued"inéquationsà2variables:plotinequation

inequationplot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125

3.11.1 Aire sous une courbe :area aire. . . . . . . . . . . .126

3.12 Représentationgraphiquedel"airesousunecourbe:tracer_aire

graphe_aire aire_graphe plotarea areaplot. . .127

3.13 Lignes de niveaux :plotcontour contourplot

DrwCtour. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128

3.14 Graphe d"une fonction par niveaux de couleurs :plotdensity

densityplot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129

3.15 Courbe implicite :plotimplicit implicitplot. . . . .130

3.15.1 Courbe implicite en 2-d

130

3.15.2 Surface implicite en 3-d

131

3.16 Courbe et surface en paramétrique :plotparam paramplot

DrawParm courbe_parametrique. . . . . . . . . . . . .132

3.16.1 Courbe 2-d en paramétrique

132

3.16.2 Surface 3-d en paramétrique :plotparam paramplot

DrawParm courbe_parametrique. . . . . . . . .133

3.17 Courbes de Bézier :bezier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133

3.18 Courbeenpolaire:plotpolar polarplot DrawPol courbe_polaire134

3.19 Tracéd"unesuiterécurrente:plotseq seqplot graphe_suite135

3.20 Le champ des tangentes :plotfield fieldplot. . . . . .135

3.21 Tracé de solutions d"équation différentielle :plotode odeplot136

3.22 Tracéinteractifdessolutionsd"équationdifférentielle:interactive_plotode

interactive_odeplot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138

3.23 Tracé interactif des solutions d"équation différentielle dans un ni-

veaudegéométrie:plotfield fieldplotetplotode odeplot139

3.24 Faire une animation en 2-d, 3-d ou "4D"

140

3.24.1 Animation d"un graphe 2-d :animate. . . . . . . . . .140

3.24.2 Animation d"un graphe 3-d :animate3d. . . . . . . . .140

3.24.3 Animationd"uneséquenced"objetsgraphiques:animation141

4 Calcul numérique

145

4.1 Codage des réels et des décimaux

145

4.1.1 Un exemple : codage de 3.1 et de 3

145

4.1.2 Différence de codage entre (3.1-3) et 0.1

146

4.2 Évaluation des réels :evalf approxetDigits. . . . . . . .146

4.3 Quelques fonctions

150

4.3.1 Solution approchée d"une équation :newton. . . . . . .150

4.3.2 Calcul approché du nombre dérivé :nDeriv. . . . . . .151

4.3.3 Calculapprochéd"intègralesaveclaméthodedeRomberg:

romberg nInt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151

TABLE DES MATIÈRES9

4.3.4 Calcul approché d"intègrales par une quadrature de Gauss

adaptative à 15 points :gaussquad. . . . . . . . . . .152

4.3.5 Solution approchée de y"=f(t,y) :odesolve. . . . . . .152

4.3.6 Solution approchée du système v"=f(t,v) :odesolve. .154

4.4 Résolution numérique d"équations avecnSolve. . . . . . . . .155

4.5 Résolution d"équations avecfsolve. . . . . . . . . . . . . . .155

4.5.1fsolveavec l"optionbisection_solver. . . . . .156

4.5.2fsolveavec l"optionbrent_solver. . . . . . . . .157

4.5.3fsolveavec l"optionfalsepos_solver. . . . . . .157

4.5.4fsolveavec l"optionnewton_solver. . . . . . . .157

4.5.5fsolveavec l"optionsecant_solver. . . . . . . .158

4.5.6fsolveavec l"optionsteffenson_solver. . . . .158

4.6 Résolution des systèmes d"équations avecfsolve. . . . . . . .159

4.6.1fsolveavec l"optiondnewton_solver. . . . . . . .159

4.6.2fsolveavec l"optionhybrid_solver. . . . . . . .159

4.6.3fsolveavec l"optionhybrids_solver. . . . . . . .159

4.6.4fsolveavec l"optionnewtonj_solver. . . . . . . .160

4.6.5fsolveavec l"optionhybridj_solver. . . . . . . .160

4.6.6fsolveavec l"optionhybridsj_solver. . . . . . .160

4.7 Résolution surCd"équations ou de systèmescfsolve. . . . . .160

4.8 Racines numériques d"un polynôme :proot. . . . . . . . . . .161

4.9 Factorisation numérique d"une matrice :cholesky qr lu svd162

5 Les unités et les constantes physiques

163

5.1 Les unités

163

5.1.1 La notation des unités

163

5.1.2 Les calculs avec des unités

163

5.1.3 Laconversiond"unobjet-unitédansuneautreunité:convert

convertir =>. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .164

5.1.4 Les changements d"unités en unités MKSA :mksa. . . .166

5.1.5 Les conversions entre degré Célsius et degré Fahrenheit :

Celsius2Fahrenheit et Fahrenheit2Celsius166

5.1.6 Mise en facteur d"une unité :ufactor. . . . . . . . . .167

5.1.7 Simplifier une unité :usimplify. . . . . . . . . . . .167

5.1.8 Les préfixes disponibles pour les noms d"unités

168

5.2 Les constantes physiques

168

5.2.1 La notation des constantes physiques

168

5.2.2 Bibliothèque des constantes physiques

168

6 Les fonctions de calcul formel

171

6.1 Lesconstantessymboliques:e pi infinity inf i euler_gamma171

quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

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