Linégalité de Bernoulli. Démontrer par récurrence que pour tout
L'inégalité de Bernoulli. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul n et tout réel supérieur ou égal à 1− on a : ( )1. 1 n x nx. + ≥. +.
Inégalité de Bernoulli:
10 sept. 2022 mathématicien peut être utilisé pour démontrer l'inégalité de Bernoulli. ... Exercice d'application n°1. Soit ∈ ℕ
Mathématiques Avancées
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(inégalité de Bernoulli) : Montrer que si x ^ −1 alors pour tout n entier naturel
SUITES ET RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE
Démontrons l'inégalité de Bernoulli : ∀a ∈ ℝ+. * ∀n∈ ℕ
Mathématiques : du lycée aux CPGE scientifiques
L'inégalité de Bernoulli est le cas particulier de l'inégalité précédente où α ∈ N et x ∈ R+. 72. Page 73. Exercice 204 ( 2 Les fonctions x ↦→ ax ∗).
Contrôle de mathématiques
Exercice 1. Question de cours. (2 points). 1) Soit (un) une suite. Donner la définition de limun = +∞. 2) À l'aide de l'inégalité de Bernoulli : a > 0 ∀n
Entre la Terminale et les CPGE scientifiques
inégalité de Bernoulli : (1 + x)n ≥ 1 + nx. Exercice 120 (AD). Pour x dans R donner une expression simple de n. ∑ k=0. ( n k. ) (−1)keikx. En déduire des ...
UPMC 1M002 Suites intégrales
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Linégalité de Bernoulli. Démontrer par récurrence que pour tout
L'inégalité de Bernoulli. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul n et tout réel supérieur ou égal à 1? on a :.
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Valeurs absolues. Partie entière. Inégalités
Exercice 2 *I Inégalité de BERNOULLI. Montrer que pour a réel positif et n entier naturel donnés
SUITES ET RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE
13 exercices corrigés ? p.155 Démontrons l'inégalité de Bernoulli : ?a ? ?+ ... temps
Feuille dexercices 8 Arithmétique
Feuille d'exercices 8. Arithmétique. Exercice 1 •??. Une inégalité. Montrer que. @n P N 2 n´1 ? n! Exercice 2 •??. Inégalité de Bernoulli. Montrer que.
EXERCICES MPSI R. FERRÉOL 16/17
(inégalité de Bernoulli) : Montrer que si x ^ ?1 alors pour tout n entier naturel
Démonstrations exigibles au bac
Enoncé I-2. (inégalité de Bernoulli). Soit a un réel positif. Montrer que : pour tout entier naturel n (1 + a)
Capes Externe 2004 Corrigé de lépreuve 1 avec remarques et
12 avr. 2004 2.5 Sur l'inégalité de Bernoulli . ... 2.7 Généralisation de l'inégalité de Cauchy . ... dans M2 (R) (voir [7] exercice 7.1.).
Chapitre 3: La démonstration par récurrence
(1 + x)n ? 1 + nx (Inégalité de Bernoulli). Jacques Bernoulli. 1654 – 1705. Exercice 3.13 : Démontrer que ?n?IN on a n ? 2n. Exercice 3.14
LES SUITES (Partie 1)
3) Inégalité de Bernoulli. Soit un nombre réel a strictement positif. Pour tout entier naturel n on a : (1 + )A ?1+ . Démonstration au programme :.
Exercice 1**I Moyennes arithmétique, géométrique et harmoniqueSoientxetydeux réels tels que 0 (Indication. Considérer le polynômef(x) =ånk=1(ak+bkx)2, développer puis ordonner suivant les puissances décroissantespuisutiliser, danslecasgénéral, lesconnaissancessurleseconddegré). Retrouveralorslerésultat oùpest un entier naturel et lesaisont des entiers éléments def0;:::;9g,apétant non nul. Déterminerpen Combien y a-t-il d"entiers naturels pairs entre 0 et x? Combien y a-t-il d"entiers naturels impairs entre 0 (***) Combien l"équation 2 x+3y=n,nentier naturel donné etxetyentiers naturels inconnus, a-t-elle Si(ABC)est un triangle rectangle enAetA0est le pied de la hauteur issue deA, on sait queAA02=A0B:A0C. ce segment (de longueurx+y) noté [BC], tel que le troisième sommetAait une projection orthogonaleA0sur est donc strictement décroissante sur]0;1]et strictement croissante sur[1;+¥[.fadmet ainsi un minimum en (Remarque.L"inégalité entre moyenne géométrique et arithmétique permet aussi d"obtenir le résultat : =n2:Correction del"exer cice5 NPourxréel, posonsf(x) =ånk=1(ak+bkx)2. On remarque que pour tout réelx,f(x)>0. En développant lesn nk=1b2k:Cette inégalité est encore valable en remplaçant lesaket lesbkpar leurs valeurs absolues, ce qui fournit les =n2:Correction del"exer cice6 NSi l"un des réelsa,boucest strictement plus grand que 1, alors l"un au moins des trois réelsa(1b),b(1c), On a montré dans tous les cas que l"un au moins des trois réelsa(1b),b(1c)etc(1a)est inférieur ou .Correction del"exer cice7 N1.Soit x2R. Alors,E(x)6x Soient (x;y)2R2. On aE(x)+E(y)6x+y. Ainsi,E(x)+E(y)est un entier relatif inférieur ou égal à x+y. CommeE(x+y)est le plus grand entier relatif inférieur ou égal àx+y, on a doncE(x)+E(y)6Pour cela développer, puis majoreruk=Cknn
ken commençant par majorervk=uk+1u kpar12 Montrer que(a1+a2+:::+an)(1a
1+:::+1a
n)>n2(développer et penser àf(x) =x+1x j nå k=1a kbkj6nå k=1jakj:jbkj6sn k=1a2ksn k=1b2k: 2.Montrer que : 8(x;y)2R2;E(x)+E(y)6E(x+y).
3. Montrer que : 8(x;y)2R2;E(x)+E(y)+E(x+y)6E(2x)+E(2y). n=a0+10a1+:::+10pap; Combien y a-t-il de multiples de 3 entre 0 et x?
5. Combien l"équation x+2y=n,nentier naturel donné etxetyentiers naturels inconnus, a-t-elle de couples solutions ? 6. De combien de f açonspeut-on payer 10 euros a vecdes pièces de 10 et 20 centimes d"euros ? 7. Montrer quejx1+2x2+:::+nxnj6E(n24
(commencer par vérifier que pourk=2;3;:::;n, on a :(nk+1)k>n). (remarquer que six2[0;1];x26x). Correction del"exer cice1 NSoientxetydeux réels tels que 0On a ensuite x=px:x6pxy=g6py:y=yet doncx6g6y.
3.mg=x+y2
pxy=12 ((px)22pxy+(py)2) =12 (pypx)2>0 et donc,x6g6m6y. 4. D"après 1), la mo yennearithmétique de
1x et1y est comprise entre1x et1y , ce qui fournit1y 61h
61x
, ou encore x6h6y. 5. D"après 3), la mo yennegéométrique des deux réels 1x et1y est inférieure ou égale à leur moyenne arithmétique. Ceci fournitq1 x :1y 612
(1x +1y )ou encore1g 61h
et finalement x6h6g6m6yoù1h =12 1x +1y ,g=pxyetm=x+y2 .Remarque 1.On ah=2xyx+y, mais cette expression ne permet pas de comprendre que1h est la moyenne arithmétique de 1x et1y Remarque 2.On peut visualiser l"inégalité entre moyenne arithmétique et géométrique. B CALa moyenne arithmétique dexetyestm=x+y2
, le rayon du cercle, et la moyenne géométrique dexetyest g=pxy=pA 0B:A0C=AA0, la hauteur issue deAdu triangle(ABC).Correction del"exer cice2 N(1+a)n= (1+a):::(1+a) =1+na+:::>1+na.Correction del"exer cice3 N4
Pourn2N,(1+1n
)n=ånk=0Cknn k. Pourk2 f0;:::;ng, posonsuk=Cknn kpuisvk=uk+1u k. Pourk2 f1;:::;n1g, on a alors v k=Ck+1n:nkC kn:nk+1=1n +n+1n(k+1) 61n
+n+12n(cark>1) 12 12n<12
Ainsi, pourk2 f1;:::;n1g,uk+1612
uket donc, immédiatement par récurrence, u k612 k1u1=12 k1nn =12 k1: En tenant compte deu0=1, on a alors pourn2N,
(1+1n )n=nå k=0u k61+nå k=112 k1=1+112 n112 =1+2(112 n) =312 n1<3:Correction del"exer cice4 NSoientn2Neta1,a2,...,an,nréels strictement positifs. nå i=1a i! nå j=11a j! 16i;j6na
ia j=nå i=1a ia i+å 16i
16i
Pourx>0, posons alorsf(x) =x+1x
.fest dérivable sur]0;+¥[et pourx>0,f0(x) =11x 2=(x1)(x+1)x
2.f 1. Par suite,
8x>0;f(x)>f(1) =1+11
=2: On en déduit alors que
nå i=1a inå j=11a j>n+å 16i
1er cas.Siånk=1b2k6=0,fest un trinôme du second degré de signe constant surR. Son discriminant réduit est
alors négatif ou nul. Ceci fournit 5 0>D0= (nå
k=1a kbk)2(nå k=1b2k)(nå k=1a2k); et donc nå k=1a kbk 6sn k=1a2ksn k=1b2k: 2ème cas.Siånk=1b2k=0, alors tous lesbksont nuls et l"inégalité est immédiate.
Finalement, dans tous les cas,
j ånk=1akbkj6qå
nk=1a2kqå Retrouvons alors l"inégalité de l"exercice
4 . Puisque lesaksont strictement positifs, on peut écrire : nå i=1a i! nå i=11a i! nå i=1pa i2! nå i=1r1 a i2 nå i=1pa ir1 a i! 2
. Par suite, a(1a)b(1b)c(1c)614 3: Il est alors impossible que les trois réelsa(1b),b(1c)etc(1a)soient strictement plus grand que14 , leur produit étant dans ce cas strictement plus grand que 14 3. égal à
14 E(x+y).
Améliorons.E(x)6x1er cas.Six2[k;k+12
[ety2[l;l+12 [, alorsx+y2[k+l;k+l+1[et doncE(x+y) =k+l, puisE(x)+ E(y)+E(x+y) =k+l+k+l=2k+2l. D"autre part, 2x2[2k;2k+1[et 2y2[2l;2l+1[. Par suite,E(2x)+E(2y) =2k+2l. Dans ce cas,E(x)+E(y)+E(x+y) =E(2x)+E(2y). 2ème cas.Six2[k+12
;k+1[ety2[l;l+12 [, alorsx+y2[k+l+12 ;k+l+32 [et doncE(x+y) =k+lou k+l+1,puisE(x)+E(y)+E(x+y) =2k+2lou 2k+2l+1. D"autre part, 2x2[2k+1;2k+2[ et 2y2[2l;2l+1[. Par suite,E(2x)+E(2y) =2k+2l+1. Dans ce cas,E(x)+E(y)+E(x+y)6 E(2x)+E(2y).
3ème cas.Six2[k;k+12
[ety2[l+12 ;l+1[, on a de mêmeE(x)+E(y)+E(x+y)6E(2x)+E(2y). 4ème cas.Six2[k+12
;k+1[ety2[l+12 ;l+1[, on aE(x)+E(y)+E(x+y) =2k+2l+2=E(2x)+E(2y).quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1
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