[PDF] Phy 12a/12b Mécanique du point (2 Travaux dirigés et Ateliers

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Université Joseph Fourier - Grenoble 1

Licence 1

èreannéePhy 12a/12b

Mécanique du point(2èmesemestre)Galilée (1564-1642) J. Kepler (1571-1630) I. Newton (1643-1727)

Travaux dirigés et AteliersAnnée 2015-2016

Table des matières

Table des matières 3

Pour bien commencer 7

Notations conseillées 9

QUANTITÉ DE MOUVEMENT ET COLLISIONS 10

Vrai-Faux

?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

Couple de patineurs

?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

Billard à une bande

?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

Ralentissement d"atomes par des photons

??. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

Ralentissement des neutrons

??. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

Pendule et projectile

??. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

Angle maximum de déflexion

???,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

Patineur et ballon

?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

Désintégration du radon

??. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

Estimation de la masse du neutron

??. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

Échange entre deux wagons

??. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

Remplissage d"un wagon

??. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

CINÉMATIQUE 16

Vrai ou faux?

?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 3

Mouvement avec accélération constante

??. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

Avion de chasse

?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

Détermination d"un mouvement polaire

??,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

Détermination d"un mouvement cylindrique

??. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

Mouvement elliptique

??. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

Mouvement circulaire accéléré

?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

Trajectoire d"une roue

??. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

Longueur de l"astroïde

???. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

Tube tournant

???. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

OSCILLATEUR HARMONIQUE 21

Deux ressorts accrochés

?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

Ressort et gravité

?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

Le pendule simple

??,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

Molécule diatomique

??. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 Ressort et frottement visqueux : analogie électrocinétique ??. . . . . . . . . . . . . . . . .24

Pendule simple et énergie

??. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

Oscillations d"un cube dans l"eau

???. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

Ressort et frottement solide

???. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

MOMENT D"UNE FORCE ET MOMENT CINÉTIQUE 27

Le treuil

?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

Le pendule pesant

??,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

Le Toboggan

??. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28

Enroulement d"une ficelle autour d"un poteau

???. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28

L"atome de Bohr

??. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28

L"expérience de Cavendish

??. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

Le régulateur de Watt

??. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

FORCES CENTRALES ET GRAVITATION 32

Poids et altitude

?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

Trajectoire d"une comète

??,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

Satellite géostationnaire

?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 Poids à l"intérieur et à l"extérieur de la Terre :Théorème de Gauss ??. . . . . . . . . . . . .33

Pesanteur à la surface du soleil

?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33

Orbite d"un satellite

??. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

Sonde interplanétaire

??. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

ATELIER 1 : CINÉMATIQUE 35

Approche numérique de la vitesse et de l"accélération Le bus qui tourne dans un rond point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

Bases et systèmes de coordonnées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38

Trajectoires et accélérations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

ATELIER 2 : MODÈLE, APPROXIMATIONS ET ORDRES DE GRANDEUR 40 Mouvement d"un projectile soumis à une force de frottement fluide. . . . . . . . . . . . .40 Modélisation du mouvement d"une bulle d"air dans l"eau. . . . . . . . . . . . . . . . . . .41 Résolution de l"équation du mouvement d"une bulle d"air dans l"eau. . . . . . . . . . . .41

QUELQUES CORRIGÉS 43

Angle maximum de déflexion

???,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43

Détermination d"un mouvement polaire

??,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46

Le pendule simple

??,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48

Le pendule pesant

??,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54

Trajectoire d"une comète

??,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56

Phy 12a/12b 2015-2016

Conseils pour bien commencer

Bienvenue dans cette nouvelle UE. Le but de ce qui suit est de vous donner quelques conseils pour bien utiliser ce recueil d"exercices ainsi que pour travailler avec efficacité.

"moment cinétique» et "forces centrales». La compréhension d"un de ces chapitres nécessite

impérativement d"avoir bien assimilé les chapitres précédents. Pour cette raison, il vous faudra

fournir un effort constant durant tout le semestre. Rappelez-vous qu"au cours de chaque cha- pitre, un "QCM en ligne» sera proposé et sa notation interviendra dans la note finale de l"UE. ZLe découpage de chaque chapitre est le suivant : Chaque c hapitrecommen cepar qu elquese xercicesju gésessen tielsqui ser ontcorr igésen séance.

D ese xercicessupplémen taires,q uis uivantl "étatde v otreav ancement,pou rrontêt reétudi és

soit en séance soit chez vous. D esré ponsesp artiellessont donn éesà l afin du ch apitre.

L ecorr igédét ailléd "unexer cicep arch apitreest don néà la fin du pol ycopiéiLe degré de difficulté est marqué par le nombre d"astérisques dans l"en-tête de l"exercice (de

?à???) et les exercices corrigés par un,. ZVous êtes fortement encouragés à consulter d"autres ouvrages. Utilisez des ouvrages dispo- pas de consulter le site internet du DLST proposant des documents pédagogiques. ZPour que vous appréhendiez le plus tôt possible la méthode pour résoudre un exercice de mécanique, voici une liste de recommandations qu"il vous est demandé de suivre : l irel "énoncéd anssa globali té fair el al istedes d onnéesper tinenteset des i nconnues: le bu td "unexer ciceest souv entd "ex- primer les inconnues en fonction des données : si on ne les a pas identifiées on risque de tourner en rond

fair eu nsch éma: g rand,légen dé,colo ré,p récis,p ropre,résumant l "énoncé(r iend eplu s,r ien

de moins, attention à ne pas faire le schéma dans un cas particulier)

r especterl esn otationsimposées pa rl "énoncé: si l "énoncéi mposed "appelerRla réaction

du support etrle rayon de la trajectoire, inverser les deux est très dangereux! Vous devez

expliciter sur votre copie toute grandeur qui n"est pas définie dans l"énoncé (par un schéma,

une formule et/ou une phrase)

choisir le t héorèmeo ur ésultatd ecours à utili ser,sa chantqu "ilfaut t rouverau tantd "équa-

tions que d"inconnues (1 équation vectorielle compte pour 2 si elle peut être projetée sur 2

axes perpendiculaires)UJF L1 7 TD Phy 12a/12b

Phy 12a/12b 2015-2016

r ésoudre: là c "estpur ementd esmat hs,mais la rédac tionn edoit p asêt reu nesui ted "équa-

tions sans lien logique les unes avec les autres, on doit pouvoir suivre le raisonnement (avec quelques mots bien choisis, ex. donc6AEcar, et/ou des symboles mathématiques du type))

si l aq uestionest " donnerl "expressionde X» on attend comme résultat final une forme litté-

rale, la plus simplifiée possible, reliant l"inconnueXaux données de l"énoncé v érifiersilerésultatfinalestlogiquedansunoudeuxcas"triviaux»(parexemplesilaconstante de raideur d"un ressortk7¡!1, alors son allongement¢x7¡!0) applicat ionsnumériques:silaquestionest"calculerX»ondemandeuneapplicationnumé-

rique. Même s"il est souvent préférable d"effectuer le calcul en mettant toutes les grandeurs

en unité SI, on veillera à afficher le résultat final dans une unité usuelle et adaptée à l"ordre de

grandeur (donc pas forcément SI : ex. la vitesse d"une voiture se comprend mieux en km/h, un angle en degré c"est souvent plus clair qu"en radian, l"épaisseur d"un cheveu se mesure plutôt en¹m qu"en m) et avec un arrondi correct (ex. en physiquexAE3,0 donne 1/xAE0,33 et non 0,33333... : garder en gros autant de chiffres significatifs dans le résultat que dans la

moins précise des données, voire un de plus pour éviter les erreurs d"arrondis si on réutilise

ce résultat ensuite) v érifierl "homogénéitédu résu ltatfin al BVoici en supplément quelques "règles" qu"il vous faut respecter : S oignerlaprésentationdelacopie,enparticulierenfaisantapparaîtreclairementlesrésultats

finaux demandés (encadrer, souligner ou surligner : ça aide à la fois l"étudiant, qui peut ainsi

mieux retrouver les résultats utiles dans sa copie, et l"enseignant qui compte les points), aussi bien en examen qu"en TD!

S oignerla rédact ion: or thographe(" ona démont rer». ..),liens logiq ues(ex. si mAE100 g et

idem en français, ne pas confondre "donc» et "car» (la cause et l"effet) : il fait beau donc je

vais me baigner et non ...), attention à la construction des phrases, à utiliser un vocabulaire

scientifique précis (ex. " [OB] est le milieu de [AB] » ne veut rien dire, l"enseignant n"est pas

censé faire l"effort de traduire)

P asde j ustification= 0 p oints(même si l arépon seest ju ste!): t outrésu ltatdoit êt reju stifié

de façon claire et concise, en quelques mots bien choisis qui montrent à l"enseignant que le résultat n"est pas donné par hasard (surtout pour les questions demandant une réponse du type oui/non : on ne joue pas à la loterie!)

P asd "unité= 0 p oint(même si la v aleurn umériqueest juste ,car le résu ltatest inutili sable!):

faire apparaître l"unité du résultat. Si cela peut vous aider, écrire l"unité des valeurs numé-

riques dans le détail de l"opération à calculer, afin de vérifier si les unités utilisées sont cor-

rectes (ex.dAEV£tAE(50 m/s)£(1 min)AE(50 m/s)£(60 s)AE3000 mAE3 km).UJF L1 8 TD Phy 12a/12b

Phy 12a/12b 2015-2016

Notations conseillées

Repère cartésien#

ı,#|,#kRepère polaire#

ur,# uµRepère cylindrique# ur,# uµ,#kVecteur position#

OMAE#rdans un repère cartésien#

OMAEx#ıÅy#|Åz#kdans un repère polaire#

OMAEr# urdans un repère cylindrique#

OMAEr# urÅz#kDifférentielled

# OMAE# OM(tÅdt)¡# OM(t)Vecteur vitesse# vVecteur accélération# aQtité de mvt# pAEm#vd #pAE#p(tÅdt)¡#p(t)Angle statique®,µ0Composantes d"un vecteur# TAETx#ıÅTy#|ÅTz#kNorme d"un vecteurTAEk#TkPoids#

PForce de 1 sur 2 (resp. 2 sur 1)#

F1/2(resp.#F2/1)Coefficient frott. statiquek

sCoefficient frott. dynamiquek dRéaction normaleR

NRéaction tangentielleR

TForce gravitationnelle#

FAE¡Gm1m2r

2# urMoment cinétique#

LM/OAE# OM^#pMoment d"une force#

M#F/OAE# OM^#FTravail élémentairedWAE#F.d# OMTravailW B AAEZ B

A#F.d# OMEnergie cinétiqueE

cEnergie potentielleE pEnergie mécaniqueE

mCentre de masse(m1Åm2)# OGAEm1# OM1Åm2# OM2Dérivées temporelles deµ(t)dµ/dtAEµ,d2µ/dt2AE¨µ, ...Dérivées spatiales def(x)df/dxAEf0,d2f/dx2AEf00, ...UJF L1 9 TD Phy 12a/12b

Phy 12a/12b Quantité de mouvement et collisions 2015-2016

QUANTITÉ DE MOUVEMENT ET COLLISIONS

Exercices prioritaires :

Vrai-Faux

?Exercice n° 1 1. L orsd "unch ocinélast iquen il "énergien il aq uantitéde mouv ementne son tcon servées. 2. L orsdu ch océl astiqued "uneball ei ndéformablet ombantv erticalementsur la sur facede la terre (supposée aussi indéformable) la quantité de mouvement totale n"est pas conser- vée sinon la terre serait légèrement déviée. 3. R oulonss ousla plu ie: un wagon netr oulesan sfr ottementà l "horizontale,sou sl ap luie, de sorte qu"il se remplit d"eau au fur et à mesure qu"il avance.Sa vitesse : (a) au gmente (b) dimi nue (c) ne c hangep asSa quantité de mouvement : (a) au gmente (b) dimi nue (c) ne c hangepa sSon énergie : (a) au gmente (b) dimi nue (c) ne c hangep asCouple de patineurs ?Exercice n° 2 Un couple de patineurs est initialement immobile sur la glace. Se repoussant avec leurs mains, la femme communique à son partenaire une vitesse de 10 km/h sur la glace. La femme a une massemAE52 kg et l"homme une massem0AE68 kg. 1. Q uelest le mou vementdu cent rede m assedu cou ple? 2. C alculerla vitesse d el afemm esu rla g laceet l av itesseà laqu ellel "hommev oits apa rte- naire s"éloigner.Billard à une bande ?Exercice n° 3 Les boules A et B d"un billard sont disposées comme sur la figure. On veut percuter la boule B avec la boule A, via un rebond sur la bande.UJF L1 10 TD Phy 12a/12b Phy 12a/12b Quantité de mouvement et collisions 2015-2016 1. E nsu pposantl ech océlast ique,t rouverl aposi- tion du rebond de la boule A sur la bande pour que celle ci entre en collision avec la boule B. 2.

S achantqu "onconsidér erala ban dec ommeu n

on dire de l"énergie de la boule avant et après le choc?3.Q uepeut-on dir edes c hangementd equant itésde mouv ementsel on( x) et selon (y)? i

Lors du choc sur la bande les forces sont exclusivement perpendiculaires à celle-ci.Ralentissement d"atomes par des photons

??Exercice n° 4

Les forces exercées par la lumière sur la matière peuvent se comprendre de façon assez simple

et une quantité de mouvementpphAEhº/cAEh/¸, avechAE6,63£10¡34la constante de Planck,

ºla fréquence de l"onde électromagnétique,¸la longueur d"onde etcla vitesse de la lumière

dans le vide. Quand un atome absorbe (ou émet un photon), ce dernier disparaît (ou apparaît),

mais l"énergie et la quantité de mouvement totale sont conservées. 1.

O nc onsidèreu nje td "atomes,se dép laçantde ga ucheà dr oiteà la v itesseinitiale v0:

de combien la quantité de mouvement de chaque atome varie-t-elle lorsqu"il absorbe un photon se propageant en sens opposé? (faire un schéma représentant la situation avant/après) 2. D ufa itde l "intensitédu faisc eaulu mineuxet de l "efficacitédu p rocessusd "absorption, chaque atome absorbeRphotons par seconde. En déduire la quantité de mouvement ¢pencaissée par chaque atome pendant un temps¢tet donc, la force de freinage qui s"exerce sur un atome. 3. M ontrerqu el afor ceexer cées "exprimede f açontrès s impleen f onctionde la puissan ce P abs(en W) transportée par les photons absorbés. A quelle relation déjà connue, cette relation puissance-force est-elle analogue? 4. L esatomes de sodium de m asseat omiquemAE23 g et de vitesse initialev0AE300 m/s absorbent un photon de longueur d"onde 0.6¹m toute les 3¹s. Que vautR? En déduire le temps nécessaire pour immobiliser les atomes. 5. E nfa it,c haqueabs orptionest suiv ied el "émissionsp ontanéed "unp hotonq uip arten dans le bilan global des échanges de quantités de mouvement?UJF L1 11 TD Phy 12a/12b Phy 12a/12b Quantité de mouvement et collisions 2015-2016

Remarque : dans cet exercice, la description théorique du problème est énormément simplifiée

perdue par les atomes?Ralentissement des neutrons ??Exercice n° 5 Un neutron de massem, de vitesseV, heurte un noyau de massekmau repos. Exprimer l"éner- gieE0du neutron après le choc en fonction de son énergie initialeEet dek. On suppose que les

vitesses des particules, avant et après le choc, sont toutes colinéaires et que l"énergie cinétique

est conservée au cours du choc (choc élastique).

L"énergie cinétique initiale du neutron étant 1 MeV, combien de chocs identiques au précédent

malisation) lorsqu"elle percute : 1. des n oyauxd "hydrogène( kAE1)? 2. des n oyauxde deutér ium( kAE2)? 3. des n oyauxde c arbone( kAE12)?

Conclusion : quel est l"élément le plus efficace pour ralentir des neutrons?Exercices supplémentaires :

Pendule et projectile

??Exercice n° 6 Un pendule simple est composé d"une masseMsuspendue à un fil inextensible et sans masse

de longueurl. A l"instant initial, il est au repos, le fil étant vertical. Un projectile de massem

arrive horizontalement avec une vitessevet vient s"enfoncer dans la masseMdans laquelle il reste incrusté après le choc. 1. C alculerla vitesse v0de l"ensemble {MÅm} immédiatement après le choc, ainsi que l"énergie dissipée dans le choc. 2. C alculerl "amplitudeµdes oscillations du pendule. A.N.gAE10 m/s2,lAE2 m,mAE10 g,MAE2 kg,vAE200 m/s.UJF L1 12 TD Phy 12a/12b Phy 12a/12b Quantité de mouvement et collisions 2015-2016

Angle maximum de déflexion

???,Exercice n° 7 Une particule de massem1et de vitesseV1heurte une particule de massem2et de vitesse nulle.

La collision est supposée élastique.

En supposantm1Èm2, calculer l"angle maximum de déflexionµmax1de la particule 1. Deux possibilités pour traiter ce problème : 1.

D ansle réf érentieldu cen tred em asse:

2.

D ansle réf érentieldu l aboratoire:

En exploitant la conservation de la quantité de mouvement, on exprimeraV01etV02en

fonction deV1,µ1etµ2. En reportant ces valeurs dans l"équation de l"énergie, on en dé-

duiraµ1en fonction deµ2,m1etm2.Patineur et ballon ?Exercice n° 8 Un patineur de masseMAE70 kg est immobile au centre d"une patinoire circulaire de rayon rAE20 m. On lui lance un ballon de massemAE2 kg. Le ballon a une vitesse horizontalevAE10 m/s lorsque le patineur l"attrape. L"ensemble patineur-ballon se met en mouvement, supposé

sans frottement. Quel temps mettra-t-il pour atteindre le bord de la patinoire?Désintégration du radon

??Exercice n° 9

Un atome de radon au repos (masse 222 u.m.a.) émet en se désintégrant une particule®(noyau

d"hélium, masse 4 u.m.a.) et se transforme en atome de polonium (masse 218 u.m.a.) :

22286Rn!42HeÅ21884Po

Quelle est la vitesse et l"énergie cinétique de l"atome de polonium, sachant que l"énergie ciné-

tique de la particule®estEcAE5,5£106eV? Rappel : u.m.a. = unité de masse atomique; un atome de carbone a pour masse 12 u.m.a.; 1

mole de carbone a pour masse 12 g; le nombre d"AvogadroN¼6£1023molécules par mole.Estimation de la masse du neutron

??Exercice n° 10 Une particuleP1de massem1et de vitesseV1heurte une particule au reposP2de massem2. La

collision est élastique.P2est projetée dans une direction qui fait un angleµavec la trajectoire

initiale deP1. Pour quelle valeur deµla vitesseV02deP2est-elle maximum?UJF L1 13 TD Phy 12a/12b Phy 12a/12b Quantité de mouvement et collisions 2015-2016 Application : Des neutrons de massemnsont émis avec une vitesseVnpar une cible de bé- ryllium frappée par des particules®. On bombarde avec ces neutrons des cibles contenant des atomes d"hydrogène ou d"azote au repos, et l"on mesure les vitesses maximalesV0protonet V V

0proton/V0noyauAE7,5. En supposant les collisions élastiques, montrer que l"on peut en déduire

une valeur approchée de la massemndu neutron.Échange entre deux wagons ??Exercice n° 11

Deux wagons sont lancés sur deux voies parallèles. Leurs vitesses initiales sont respectivement

V

1etV2, leurs masses totalesM1etM2. Au moment où ils sont face à face, un sac de massem

est lancé du premier wagon vers le second, et vice versa. Les frottements sont suffisants pour qu"après un temps très court, les sacs se trouvent immobiles dans leurs wagons destinataires respectifs. 1. C alculerles vi tessesdes wagon saprès récept ionsdes s acs. 2. C alculerV2en fonction deV1,M2etmpour que l"on aitV02AE0. A.N.M2AE1000 kg;mAE100 kg;V1AE9 m/s.Remplissage d"un wagon ??Exercice n° 12 V

0. Pour cela une trémie laisse tomber verticalement dans le wagon une masse de charbondmdt

par seconde. 1. Q uelledoitêtrelaforcedetractionappliquéeauwagonpourmaintenirsavitesseconstante? On négligera les forces de frottement du wagon sur les rails et dans l"air. 2. C alculerl "énergiecinét iqueac quisepar le c harbonc hargépen dantun tem psT. Calculer le travail des forces de traction pendant ce même temps, comparer ces deux énergies et conclure. A.N. dmdt AE4000 kg/s,V0AE5 m/s,TAE5 s.Quelques résultats :

Ex.2 :VfAE¡m0m

Vh.quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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