Chapitre 3: Quelques caractéristiques permettant de différencier les PDF

Graphes Orientés

Un graphe orienté est un graphe dont les arêtes sont orientées (c'est à Les joueurs A et B sont donc sélectionnés. 3. Exercice 2 ( sujet bac Liban mai 2006).

GRAPHES - EXERCICES CORRIGES Compilation réalisée à partir

Exercice n°1. Un groupe d'amis organise une randonnée dans les Alpes. On a représenté par le graphe ci-dessous les sommets B

Quelques rappels sur la théorie des graphes

Un graphe orienté est un p-graphe s'il comporte au plus p arcs entre deux sommets. Le plus souvent on étudiera des 1-graphes. 1. Page 2. IUT

Exercice sur les Graphes

Principe : Parcourir le graphe à partir du point a dans le sens direct (i.e. en suivant les flèches des arcs puisque nous sommes ici dans le cadre orienté)

Premi`eres notions sur les graphes

TD Graphes et Langages feuille n◦ 1. Premi`eres notions sur les graphes. Exercice 1 On consid`ere le graphe orienté G = (S A) tels que. S = {1

Théorie des graphes et optimisation dans les graphes Table des

pred(si)

ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES GRAPHES QUELQUES

Exercice 1. (o) Construire un graphe orienté dont les sommets sont les entiers compris entre 1 et 12 et dont les arcs représentent la relation « être diviseur

Chapitre 4: Graphes connexes 4.1 Connexité dans un graphe non

Exercice 42 Considérons un graphe simple connexe formé de 10 sommets. Que Un graphe orienté est faiblement connexe s'il y a une chaîne entre n'importe ...

Introduction à la théorie des graphes

Exercice. Soit G un graphe simple orienté d'ordre n de matrice d'adjacence M. Mon- trer que si Mn n'est pas nulle

Les exercices marqués par (*) sont à traiter en travail personnel. d

Exercice 1. Appliquer l'algorithme du parcours en largeur PL(G s) au graphe non-orienté G1 de la feuille 1 à partir du sommet s1 et au graphe orienté G1 de

Graphiques Orientés

Graphiques Orientés . 2. Exercice 1. Un club de tennis doit sélectionner deux joueurs parmi quatre pour désigner le club à un tournoi régional.

GRAPHES - EXERCICES CORRIGÉS Compilation effectuer à partir de

Exercice n°1. Un groupe d'amis organise une randonnée dans les Alpes. On a représenté par le graphe ci-dessous les sommets B

Chapitre 4: Graphes connexes 4.1 Connexité dans un graphe non

Définition Un graphe non orienté est connexe s'il y a une chaîne entre n'importe Exercice 40 Combien y a-t-il de graphes simples connexes non isomorphes ...

Théorie des graphes et optimisation dans les graphes Table des

Exercice : Dessiner un graphe non orienté complet à 4 sommets. Quel est le degré des som- mets de ce graphe ? Combien d'arêtes possède-t-il ?

Chapitre 3: Quelques caractéristiques permettant de différencier les

Exercice 13 Pour les 2 graphes suivants déterminer le nombre de sommets

Chapitre 1: Éléments de réponses Chapitre 2: Éléments de réponses

Remarque: un graphe à n sommets est très souvent représenté à l'aide du polygone régulier à n sommets. Exercice 3. Graphe orienté. Exercice 4.

Ensimag

Exercice 1.1. —. (a) Montrer que la somme des degrés des sommets d'un graphe G = (VE) non-orienté est égale à deux fois le nombre d'arêtes

Exercices …

Contenu : graphe orienté ; matrice associée à un graphe orienté. Exemple 17 : coloration de graphes. - Montrer que le nombre chromatique du graphe (1) ci-

Baccalauréat ES spécialité Index des exercices avec des graphes

On oriente et on pondère le graphe G ci-dessus pour qu'il représente un réseau Pour la suite de l'exercice on donne les matrices suivantes :.

CHAPITRE 3 QUELQUES CARACTERISTIQUES 9

Option spécifique - JtJ 2016

Chapitre 3: Quelques caractéristiques permettant de différencier les graphes

3.1 Le degré d'un sommet

Définition

Soit G(X, A) un graphe simple, et x un sommet de ce graphe. Le degré de x, noté d(x), est le nombre d'arêtes incidentes à x.

Exemples

2) Si x est un sommet de C

n , d(x) = 2. 3) Si x est un sommet de K n , d(x) = n - 1.

Exercice 13

Pour les 2 graphes suivants, déterminer le nombre de sommets, le nombre d'arêtes et le degré de chaque sommet.

a) b)

c) Calculer la somme des degrés des sommets de chacun des graphes. d) Cette valeur était-elle prévisible ?

Exercice 14

Exercice 15

Combien y a-t-il d'arêtes dans un graphe comportant 10 sommets, chacun de degré 6. Combien d'arêtes un graphe contient-il s'il a des sommets de degré 4, 3, 3, 2, 2 ? Tracer un tel graphe.

Question

Soit G = (X, A) un graphe admettant 4 sommets et 6 arêtes, que peut-on affirmer au sujet de la somme des degrés de chaque sommet du graphe ?

x1x2 x3 x5 d( ) = 2x2 x4d( ) = 2x4 d( ) = 3x5 d( ) = 2x3d( ) = 5x1abcd e ghi fab c d e

CHAPITRE 3 QUELQUES CARACTERISTIQUES 10

Option spécifique - JtJ 2016

Théorème des poignées de main

Soit G = (X, A) un graphe alors :

d(x i )=2Card(A) x i X Rappel: Card(A) = nbre d'éléments de l'ensemble A.

Preuve

En effet, chaque paire {x

i , x j } de A est comptée deux fois, une fois pour d(x i ) et une seconde fois pour d(x j

Dans le cas d'une boucle en x

i , celle-ci contribue pour 2 dans le degré du sommet x i

Application

Dans tout graphe G(X, A), il y a un nombre pair de sommets de degré impair.

Preuve

Cette preuve est demandée en exercice. En voici une indication: l'ensemble X doit être décomposé en deux sous-ensembles P et I où P est l'ensemble

des sommets de degré pair et I l'ensemble des sommets de degré impair. On appliquera ensuite le Théorème des poignées de main.

Exercice 16

Démontrer que dans tout graphe G(X, A), il y a un nombre pair de sommets de degré impair (cf. indication ci-dessus).

Exercice 17

Exercice 18

Exercice 19

Exercice 20

Une ligue de football comporte 5 équipes. Le bureau de la ligue désire organiser un tournoi d'avant saison permettant à chaque équipe de jouer

3 matchs contre 3 équipes. Comment l'organiser ?

Montrer que le nombre total de gens qui ont habité la Terre et qui ont donné un nombre impair de poignées de main est pair. Existe-t-il un graphe simple avec 5 sommets ayant les degrés suivants ?

Si c'est le cas, tracer ce graphe :

a) 3, 3, 3, 3, 2 b) 1, 2, 3, 4, 5 c) 0, 1, 2, 3, 4 d) 3, 4, 3, 4, 3 Montrer que dans un groupe de personnes, il y a toujours deux personnes ayant le même nombre d'amis présents.

Définition

Soit x un sommet d'un graphe orienté. On note d (x) le nombre d'arcs ayant x comme extrémité initiale, et d (x) le nombre d'arcs ayant x comme extrémité finale. Ainsi on a : d(x) = d (x) + d (x)

CHAPITRE 3 QUELQUES CARACTERISTIQUES 11

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Exemple

Un pseudographe orienté

Les degrés respectifs du pseudographe orienté sont : d (x 1 ) = 2 d (x 2 ) = 2 d (x 3 ) = 1 d (x 4 ) = 1 d (x 1 ) = 1 d (x 2 ) = 3 d (x 3 ) = 2 d (x 4 ) = 0

Exercice 21

Soit le pseudographe représenté ci-contre, déterminer d (x i ) et d (x i pour chaque x i sommet du pseudographe.

Justifier que

d (x i x i X d (x i x i X

Exercice 22

Soit G(X, A) un graphe orienté. Alors, montrer que : d (x i x i X d (x i )=Card(A) x i X

3.2 Les matrices associées à un graphe

Définition

Soit G(X, A) un graphe simple non orienté, : avec X = {x 1 , x 2 , ..., x n La matrice d'adjacence du graphe G est la matrice A(G) dont les coefficients sont définis par : a ij = 10 si {x i ,x j } est une arête autrement Dans le cas d'un multigraphe ou d'un pseudographe, les coefficients sont définis par : a ij = n 0 s'il existe n arêtes entre x i et x j autrement

Exemples

1) Déterminer la matrice d'adjacence du graphe représenté ci-contre.

Solution: On ordonne les sommets dans l'ordre a, b, c et d. La matrice est donc: 0111
1010
1100
1000
x1 x2 x3 x4 a edcb ab d c

CHAPITRE 3 QUELQUES CARACTERISTIQUES 12

Option spécifique - JtJ 2016

0101
1010
0101
1010

2) Déterminer le graphe dont la matrice d'adjacence est représentée ci-contre.

Solution: En considérant les sommets a, b, c et d, on obtient:

3) Déterminer la matrice d'adjacence du pseudographe représenté ci-contre.

Solution: On ordonne les sommets dans l'ordre a, b, c et d. La matrice est donc: 0302
3001
0012 2120

Définition

Soit G(X, A) un graphe orienté, : avec X = {x

1 , x 2 , ..., x n La matrice d'adjacence du graphe G est la matrice A(G) dont les coefficients sont définis par : a ij = n 0 s'il existe n arcs de x i

à x

j autrement

Exemples

a 14 = 1 car arc (x 1 ,x 4 Déterminer la matrice d'adjacence du graphe représenté ci-contre.

Solution: On ordonne les sommets dans l'ordre x

1 , x 2 , x 3 et x 4 . La matrice est donc: 0001 1110
1100
0000

Exercice 23

Déterminer les matrices d'adjacence des 2 graphes suivants:

Exercice 24

Exercice 25

Justifier l'affirmation suivante:

La matrice d'adjacence d'un graphe simple est symétrique. Représenter chacun des graphes suivants au moyen d'une matrice : a) K

4 b) K 1,3 c) C 4quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

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CHAPITRE 3 QUELQUES CARACTERISTIQUES 9

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3.1 Le degré d'un sommet

Définition

Exemples

2) Si x est un sommet de C

Exercice 13

Exercice 14

Exercice 15

Question

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Théorème des poignées de main

Soit G = (X, A) un graphe alors :

Preuve

En effet, chaque paire {x

Dans le cas d'une boucle en x

Application

Preuve

Exercice 16

Exercice 17

Exercice 18

Exercice 19

Exercice 20

3 matchs contre 3 équipes. Comment l'organiser ?

Si c'est le cas, tracer ce graphe :

Définition

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Exemple

Un pseudographe orienté

Exercice 21

Justifier que

Exercice 22

3.2 Les matrices associées à un graphe

Définition

Exemples

1) Déterminer la matrice d'adjacence du graphe représenté ci-contre.

CHAPITRE 3 QUELQUES CARACTERISTIQUES 12

Option spécifique - JtJ 2016

2) Déterminer le graphe dont la matrice d'adjacence est représentée ci-contre.

3) Déterminer la matrice d'adjacence du pseudographe représenté ci-contre.

Définition

Soit G(X, A) un graphe orienté, : avec X = {x

à x

Exemples

Solution: On ordonne les sommets dans l'ordre x

Exercice 23

Exercice 24

Exercice 25

Justifier l'affirmation suivante: