[PDF] 2020 Fonctions affines - Correction 2nde I Généralités (séance 1

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2020 Fonctions affines - Correction 2nde

I

Généralités (séance 1 : en viron1h)

1DéfinitionDéfinition 1Une fonctionfest diteaffinesi et seulement si il existe deux réelsaetbtels que, pour toutx?R:

f(x) =ax+b. aest appelé lecoefficient directeur best appelé l"ordonnée à l"origine Les fonctions affines sont donc définies surRExemple 1 :f(x) = 3-2x coefficient directeura=-2 (C"est toujours le coefficient dex, avec son signe!) ordonnée à l"origineb=3Exemple 2 :g(x) = (x+ 1)2-(x-2)(x+ 2) sous cette écriture, il n"est pas évident quegest une fonction affine mais si on développe son expression : g(x) =x2+ 2x+ 1-[x2-4] =x2+ 2x+ 1-x2+ 4 = 2x+ 5 donc coefficient directeur : 2 et ordonnée à l"origine : 5 Exemple 3 :Pour chacune des fonctions suivantes dire si elle est affine ou non et, si oui, donner le coefficient directeur et l"ordonnée à l"origine.h(x) = (2x-3)2i(x) =2x-33j(x) = (x-1)2-(x+ 3)2 f(x) = 3x-4g(x) = 5-2xh (x) = 4x2-12x+ 9i(x) =23 x-1j(x) =x2-2x+1-[x2+6x+9]j(x) =-8x-8 a=3a=-2non affinea=23a=-8 b=-4b= 5non affineb=-1b=-8

Remarque :Deux cas particuliers :

•sia= 0, la fonctionfest diteconstante, égale àb. •sib= 0, la fonctionfest ditelinéaire.

2Représentation graphiquePropriété 1

Dans un repère(O;I;J)quelconque du plan, la représentation graphique de la fonction affinef:x?→ax+b

est une droite.

On dit que cette droite a pour équationy=ax+b.Exemple 4 :Construisons la représentation graphique def:x?→2x-3(c"est à diref(x) = 2x-3)101

etape 1 : placer les points etape 2 : construire la droiteméthode 1 :On construit deux points. Pour cela, on choisit (au hasard) deux valeurs dexdifférentes et on calcule leurs images respectives. par exemple, je peux choisirx= 0je calculef(0) = 2×0-3 =-3 puis, je peux choisirx= 2je calculef(2) = 2×2-3 = 4-3 = 1. On présente généralement cela sous la forme d"un petit tableau. x02 f(x)-31 Puis on place les points correspondants, donc ici de coordonnées (0;-3)et(2;1). La droite passant par ces deux points est la représentation graphique de la fonctionf. 1/ 12

2nde Fonctions affines - Correction 2020

101
etape 1 : placer l"ordonnée à l"originebetape 2 : se décaler de 1 vers la droite monter deaetape 3 : construire la droiteméthode 2 : fa pour ordonnée à l"origine-3. On place donc le point sur l"axe des ordonnées (axe vertical) d"ordonnée -3. En partant de ce point, on se décale de 1 vers la droite et on " monte »du coefficient directeur : ici 2. Si le coefficient directeur est négatif, on " descend ».

On obtient un deuxième point.

La droite passant par ces deux points est la représentation graphique de la fonctionf.

Résumé de cette deuxième méthode :

1On place le point d"abscisse 0 et d"ordonnéesb(il est sur l"axe vertical)

2On construit à partir de ce point le vecteur

‚1 aŒ (on dit que c"est un vecteur directeur de la droite).

3On trace la droite.

Exemple 5 :

101
d 1d 2× -2+5D •+3D g•- 12 D h• -2.51. Construire la droite D d"équationy= 3x-2(c"est à dire représentative de la fonction affineftelle que pour toutx, f(x) = 3x-2)L"ordonnée à l"origine est -2, puis " quand je me décale de 1 vers la droite, je monte de 3 » car le coefficient directeur est 3. 2.

Représen tergraphiquemen tles fonctions

g(x) =-12 x+ 2eth(x) =-2.5x. L"ordonnée à l"origine est0(fonction linéaire), puis " quand je me décale de 1 vers la droite, je descend de

2.5 »

car le coefficient directeur est -2.5. 3. Lire les equations réduites des droitesd1etd2et donner les expressions des fonctionsf1etf2associées. d 1 :y=-2x+5doncf1:x?→ -2x+5(ouf1(x) =-2x+5 pour toutx) d 2 :y=13 x-4doncf1:x?→13 x-4(ouf1(x) =13 x-4 pour toutx) Pour lire l"expression d"une fonction affine/l"équation d"une droite

1On lit son ordonnée à l"origine (l"ordonnée à laquelle la droite coupe l"axe vertical)

2

A partir de ce point, on se décale de 1 vers la droite et on lit " de combien on monte/descend » pour

retrouver la droite : c"est le coefficient directeur (coefficient dex)Remarques :

•La droite représentative d"une fonction affine n"est jamais parallèle à l"axe des ordonnées (verticale).

•La droite représentative d"une fonction linéaire passe par l"origine.

•Une fonction constante est représentée par une droite parallèle à l"axe des abscisses (horizontale).

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Exercice 1

1.Lire les fonctions affines associées aux droitesd1,d2,d3etd4.

f1(x) = 1x-3 f

2(x) =-0.5x+ 3

f

3(x) =-0.5x-2

f

4(x) = 1.5x+ 1

2. Construire les droites représen tativesdes fonctions f a(x) = 3x-4 f b(x) =x-1 f c(x) =-2x+ 3 f d(x) =-54 x+ 2101d 1d 2d 3d 4d ad bd cd dRemarques :

•On retrouve le sens de variation des fonctions affines ( déjà démontré au chapitre précédent) :

Si son co efficientdirecteur aest positif, la fonction affine est croissante (la droite " monte »)

Si son coefficient directeuraest négatif, la fonction affine est décroissante (la droite " descend »)

•Les droitesd2etd3sont parallèles, les fonctions affines associées ont le même coefficient directeur.

Exercice 2fest représentée par la droited2.

gest représentée par la droited1. f(x)>0??3x-6>0??3x>6??x>63 ??x>2. Graphiquement, la droite bleue est au dessus de l"axe des abscisses à partir dex= 2. q(x)<0?? -0.5x+ 4<0?? -0.5x <-4??x >-4-0.5??x >8. Graphiquement, la droite rouge est en dessous de l"axe des abscisses à partir dex= 8. 3/ 12

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II Sens de v ariationet Signe d"une fonction affine (séance 2 : en viron1h)

Propriété 2

Soitf:x?→ax+bune fonction affine,a?= 0.sia >0 tableau de variation :x f-∞+∞-ba 0 tableau de signe : x-∞ -ba +∞f(x)- 0 + sia <0 tableau de variation :x f-∞+∞-ba 0 tableau de signe : x-∞ -ba +∞f(x)+ 0 - Exemple 6 :: Donner le tableau de signe de la fonction affinefdéfinie parf(x) =2 x-3

Le coefficient directeur est

2 (donc la fonction est croissan te)donc son tableau est de la forme : x-∞?+∞f(x)- 0 + Pour trouver la valeur dexà mettre dans le tableau : soit on applique la form uleen faisan tbien atten tionquand il y a des signes " - ». ici -ba =-(-3)2 =32 = 1.5 soit on résout l"équation :

2x-3 = 0??2x= 3??x=32

??x= 1.5 donc x-∞1.5+∞f(x)- 0 + La même chose expliquée dans le livre...4/12

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A vous de compléter les tableaux de signes suivants : x-∞-2+∞2x+ 4- 0 + x-∞-2+∞-x-2+ 0 - x-∞0+∞3x- 0 + x-∞-3+∞-3x-9+ 0 - x-∞0+∞-5x+ 0 - x-∞3+∞6-2x+ 0 -

Exercices :Correction des Exercices :

Exercice 16 :

x-∞3+∞2x-9- 0 + x-∞ -511 +∞-11x-5+ 0 -

Exercice 18 :

x-∞2+∞-4x+ 8+ 0 -

Exercice 24 :

x-∞ -53 +∞3x+ 5- 0 + x-∞ -511 +∞-11x-5+ 0 - x-∞0+∞-2x+ 0 - x-∞ -8 +∞1 2 x+ 4- 0 + 5/ 12

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III Application à la résolution d" inéquations(séance 3 : en viron2h)

Activité introductriceUne entreprise fabrique des pièces mécaniques. Elle peut en produire entre

40 et 100 par jour. On notexsa production journalière en dizaine. On a

doncx?[4;10]. Elle estime que son bénéfice dépend du nombre de pièces fabriquées. Cette relation est modélisée par la fonctionB(x) =-x2+ 11x+ 18. On souhaite savoir pour quelles valeurs dexest ce que l"entreprise est rentable, c"est à dire que son bénéfice est positif. Il faudrait donc résoudre :B(x)>0?? -x2+ 11x+ 18>0. MAIS comme c"est une inéquation du second degré, nous ne savons pas résoudre cette inéquation. Comment faire? idée 1 :lire graphiquement la solution

Avantages : rapide, pas de calcul

Inconvénients : il faut avoir le graphique, cela peut manquer de précision. idée 2 :Résoudre l"inéquation par le calcul

Avantages : on aura la valeur exacte

Inconvénients : cela exige des efforts de calcul :101C

B1.D"ab ord,mon trerque B(x) = (2-x)(x-9).

En effet,(2-x)(x-9) =2x-18-x2+ 9x=-x2+ 11x-18

2. Donner les tableaux de signes des deux f acteurs2-xetx-9: x-∞2+∞-x+ 2+0 - x-∞9+∞x-9-0 + 3.

La règle d essignes nous indique que

Le pro duitd edeux nom bresp ositifsest . ..

Le pro duitd "unnom brep ositifet d"un nom brenégatif est . ..

Le pro duitd edeux nom bresnégatifs est . ..

Nous rassemblons donc nos informations sur les signes dans un seul tableau, en respectant bien l"ordre

des valeurs dex x-∞2 9+∞-x+ 2+ 0 - - x-9- - 0 + (-x+ 2)(x-9)-0 + 0 - 4.

Conclure :

Si je cherche quand mon expression est positive, je cherche dans la ligne finale les signes +. Je lis les

abscisses correspondantes.

Dans mon exemple, cela se produit soit quandx?[2;9](mais ces solutions ne m"intéressent pas toutes

pour mon problème ici car l"entreprise ne fabrique pas moins de 4 dizaines de pièces...) : donc il faut

fabriquer entre 4 et 9 dizaines de pièces pour que l"entreprise fasse des bénéfices.

Solution à la question de mathB(x)>0:S= [2;9].

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