Théorie du portefeuille PDF En développant les calculs

1 La covariance entre X et Y

17. Calcul par la méthode du rectangle. Dans les livres du secondaire on estime le coefficient de corrélation par la formule suivante :.

1 Séries statistiques `a une dimension

le calcul de la covariance et du coefficient de corrélation linéaire. La réponse graphique consiste `a tracer le nuage de points (xiyi) dans le plan (x

1 Matrice de covariance

(Xk ? Xn. )2 . La normalisation par n ? 1 le rend sans biais (calcul). De plus (en développant) cet estimateur est fortement consistant

TD Statistique : Chapitre 10

Calcul de la covariance : = +. - 7508 x 4

Théorie du portefeuille

En développant les calculs on trouve bien une fonction quadratique en E(Rp) : Pour cela

Covariance dans le processus détalonnage

Le but de cet article est de proposer un modèle permettant de calculer ces covariances lors de covariance dans l'évaluation de l'incertitude de mesure :.

Chapitre V. Liaisons et ind´ependance

Calcul de ?2(D) la distance du ?2 de la distribution conjointe observée D Pour calculer la covariance (et ensuite le coefficient de corrélation ...

Vecteurs aléatoires / Calcul de loi

Amphi 2. Vecteurs aléatoires. 1 Vecteurs aléatoires. 2 Indépendance et covariance. 3 Calcul de loi. 4 Lien entre théorie de la mesure et probabilités

Exercices Corrigés Statistique et Probabilités

1) Calculer la covariance. 2) Déterminer l'équation de la droite de régression Y = aX + b. 3) Le coefficient de corrélation linéaire

Chapitre 3 Etude de la liaison entre deux variables Analyse

Elle est sensible aux unités de mesure. Exemple 1. Résumés des données et calcul de la covariance : QI père : ?xi = 1392.

[PDF] 1 La covariance entre X et Y

La covariance théorique entre deux variables aléatoires X et Y est une mesure d'association linéaire définie comme suit : Cov(X Y ) = E[(X ? µX)(Y ? µY

[PDF] 1 Définitions et propriétés élémentaires

Variance covariance corrélation 1 Définitions et propriétés élémentaires Définition : Soient x = (x1x2 xn) et y = (y1y2 yn) deux échantillons

[PDF] 1 Séries statistiques `a une dimension

A ces questions il y a une réponse graphique le nuage de points associé et une réponse quantitative le calcul de la covariance et du coefficient de

[PDF] 1 Matrice de covariance - Mathématiques

Le rang de la matrice de covariance a une interprétation importante : Proposition 1 La normalisation par n ? 1 le rend sans biais (calcul)

[PDF] Chapitre 3 Etude de la liaison entre deux variables Analyse

Chaque individu contribue à la covariance par la quantité (xi ? x)(yi ? y) qui mesure son écart au Résumés des données et calcul de la covariance :

[PDF] Statistique à deux variables

Covariance coefficient de corrélation linéaire et La covariance est donnée par la formule : Il faut calculer l'écart-type de la variable X :

[PDF] Analyses de variance et covariance

L'analyse de covariance considère une situation plus générale dans Les calculs se présentent simplement (cf exo 1) mais les tests découlant de ce

Covariance et matrice de variances-covariances - Jybaudotfr

On peut alors calculer les covariances de chaque couple de variables puis les indiquer dans un tableau carré et symétrique puisque Cov(XY) = Cov(YX) En

[PDF] Espérance variance quantiles

22 mai 2008 · Définition : La covariance entre deux v a X et Y est Ne concluez jamais pour l'indépendance apr`es avoir calculer un coefficient de

[PDF] Chapitre 3 RÉGRESSION ET CORRÉLATION - Free

variables statistiques quantitatives c'est-à-dire dont on peut calculer les Le calcul de la covariance par la formule ci-dessus n'est guère commode

Comment on calcule la covariance ?
La covariance est bilinéaire : si X et Y sont deux variables aléatoires discrètes admettant une covariance alors pour tout ( ? , ? ) ? R² on a Cov( ? X , ? Y ) = ? ? Cov( X , Y ). On calcule Cov( ? X , ? Y ) = E( ? X ? Y ) ? E( ? X ) E( ? Y ) = ? ? E( X Y ) ? ? ? E( X ) E( Y ).
Comment calculer la COV X Y ?
La formule de la covariance est égale à : Co(X,Y)=N?i=1(Xi?¯¯¯X)(Yi?¯¯¯Y)N C o ( X , Y ) = ? i = 1 N ( X i - X ¯ ) ( Y i - Y ¯ ) N où N est l'effectif de chaque série. La covariance est la moyenne des produits des écarts des valeurs à la moyenne de chaque série.
Comment calculer la variance et la covariance ?
La variance de X est donc Var(X) = Cov(X, X). Intuitivement, la covariance caractérise les variations simultanées de deux variables aléatoires : elle sera positive lorsque les écarts entre les variables et leurs moyennes ont tendance à être de même signe, négative dans le cas contraire.
Donc si X et Y sont deux v.a. indépendantes, alors var(X + Y ) = var(X) + var(Y )._{22 mai 2008}

UFR DE MATHEMATIQUES

Travail encadré de rechercheThéorie du portefeuille

Promo 2018

Encadré par :Mme.Gwénaëlle

CASTELLAN

Rédigé par :Nizar NOR et Sidy

D DOUCOURE

Mai 2018

Table des matières

REMERCIEMENTS 2

INTRODUCTION 2

RÉSUME2

Dé?nition des mots clés 3

1 Marché de deux actifs 4

1.1 Portefeuille de deux actifs risqués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.1 Le lien entre le risque et le rendement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.2 Portefeuille de variance minimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.3 E?et du coe?cient de corrélation des deux actifs . . . . . . . . . . . . . . .

2 Marché deNactifs 11

2.1 Formulation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Portefeuille de variance minimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.1 Exemple de trois actifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Portefeuille e?cient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4 Portefeuille Tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6 Critères de choix d"un unique portefeuille e?cace . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6.1 Le critère de sélection moyenne-variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.7 Les critères de protection du rendement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.7.1 Le critère de Roy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CONCLUSION 25

3 Annexes :26

3.1 Le code sous R d"espace rendement, écart-type : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Le code sour R de l"application 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3 Le code sous R pour le portefeuille de Roy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

BIBLIOGRAPHIE 29

REMERCIEMENTS:Nous tenons d"abord à remercier très chaleureusementMme Gwénaëlle CASTELLANqui nous

a permis de béné?cier de son encadrement, ses conseils et son orientation ?celée tout au long de

notre projet.

Nos vifs remerciements vont également aux membres du jury pour l"intérêt qu"ils ont porté à notre

projet en acceptant d"examiner notre travail et de l"enrichir par leurs propositions. Nous voudrions exprimer notre reconnaissance envers les amis et collègues qui nous ont apporté leur support moral et intellectuel tout au long de notre travail.

En?n, nous tenons également à remercier toutes les personnes qui ont participé de près ou de loin

à la réalisation de ce travail.

tion simple. C"est au début des années 50, queHarry Markowitzavait proposé le critèred"analyse

moyenne - varianceet dès lors, avait jeté les bases de ce qui sera appelé plus tardla Théorie

moderne du portefeuille. En e?et, Markowitz part du principe que les rendements générés par un

titre ou actif sont des variables aléatoires, ensuite il propose les deux premiers moments à savoir la

moyenne et la variance comme les critères de mesure respectifs de l"espérance et du risque perçus

par un investisseur rationnel. Mieux encore, l"étude de la corrélation entre les titres, l"amène à déve-

lopper la stratégie de diversi?cation du portefeuille souvent plus expressive sous l"adage "Ne jamais

mettre tous les yeux dans un même panier".

Sur le plan théorique, il s"agit de problème d"optimisation quadratique. Son originalité est essentiel-

lement l"application de ce modèle au monde de la ?nance.

En e?et, la gestion de portefeuille consiste à investir vos actifs dans le but d"accroître la valeur de

votre patrimoine ?nancier ou de réaliser certains projets qui vous tiennent à coeur. Puisqu"elle peut

se faire sur di?érents horizons de placements et doit prendre en considération vos besoins de liqui-

dité et les impacts ?scaux de vos décisions, elle requiert expertise, expérience et objectivité.

Vos placements doivent être diversi?és par secteurs, catégories d"actif, pays et styles de gestion et

rééquilibrés dans le temps pour réduire le risque relié aux rendements des marchés, tout en s"adap-

tant aux changements dans votre vie.

En d"autres mots, la théorie du portefeuille doit viser l"appréciation de votre capital tout en minimi-

sant la volatilité de votre portefeuille.

RÉSUME:Dans ce travail encadré de recherche , on fait une étude sur la théorie du portefeuille, en essayant

de trouver une manière dont on peut construire un portefeuille qui maximise le rendement avec un risque contrôlé, ce qui revient à minimiser le risque avec un rendement minimum ?xé.

Dans un premier temps, on expose l"étude sur un marché de deux actifs risqués. En donnant une

formulation du problème et en introduisant tous les outils qui nous serons utiles dans la suite.

Sachant qu"il y"a plusieurs types de portefeuille, on a choisit de développer le cas du portefeuille de

variance minimale . 2

Par ailleurs, on évoque l"e?et du coe?cient de corrélation des deux actifs, qui nous amène à déve-

lopper la stratégie de la diversi?cation du portefeuille.

Dans le deuxième chapitre, on généralise l"étude à un marché de N actifs, en traitant les trois types

de portefeuille : portefeuille de variance minimale, e?cient et tangent.

A titre d"exemple, on développe le cas du portefeuille de variance minimale sur un marché de trois

actifs. On parle aussi de certains critères de sélection d"un portefeuille choisi. MOTS CLÉS:1.Unportefeuilleestunensemblehomogènederessourcesoud"actifs.Cesressourcespeuvent

être de toutes sortes : produits ?nanciers, immeubles, machines, terrains matières premières,

brevets, compétences...

2.Un actif ?nancierest un titre ou un contrat, généralement transmissible et négociable (par

exemple sur un marché ?nancier), qui est susceptible de produire à son détenteur des revenus

ou un gain en capital, en contrepartie d"une certaine prise de risque.

3.La diversi?cation: La notion de diversi?cation faite référence à la diversité des titres qui

composent un portefeuille. Un portefeuille ne contenant qu"un seul titre n"est pas diversi?é. La diversi?cation est donc une méthode de gestion du risque de perte en capital. La diversi?-

cation du portefeuille doit permettre de se protéger contre les risques associés à la détention

d"un nombre limité de titres, d"une seule catégorie d"actifs ?nanciers ou d"un seul marché...

Chapitre 1

Marché de deux actifs

Tout investisseur qui cherche à construire un portefeuille d"actifs ?nanciers doit faire face à un pro-

blème d"incertitude concernant la rentabilité de ses placements. Il peut alors estimer l"espérance de

rentabilité des di?érents titres et choisir d"investir dans celui dont la rentabilité anticipée est la plus

élevée.

1.1 Portefeuille de deux actifs risqués

On se place dans un marché où il y a deux actifs risqués1et2, on essaie de construire le portefeuille

qui intéresse les investisseurs autrement dit celui qui a la rentabilité anticipée la plus élevée.

Un tel portefeuille peut s"écrire de cette façon :Px=f(1;x);(2;1x)g. Pxet1xsont les proportions à investir du capitale de détenteur de portefeuille respectivement sur les deux actifs1et2. Elles peuvent varier entre1et1.

PLes rentabilités aléatoires notéesR1etR2, les rentabilités espérées de chacun des deux actifs

E (R1)etE(R2), tel queE(R1)6=E(R2).

PLes variances de ces rentabilités sont notées21et22. Et12la covariance entre la rentabilité de

ces deux actifs .

12=Cov(R1;R2) =1212

Où12(122[1;1]) désigne le coe?cient de corrélation entre les rentabilités des deux actif.

1.1.1 Le lien entre le risque et le rendement

Notre portefeuille a une rentabilité aléatoireRp: R p=xR1+ (1x)R2 On peut même écrire l"égalité au dessus en utilisant les rentabilités ésprées : E [Rp] =xE[R1] + (1x)E[R2]:

Ce qui donne l"expression suivante :

x=E(Rp)E(R2)E(R1)E(R2): 4

La variance du portefeuille est donnée ainsi :

2p=x221+ (1x)222+ 2x(1x)cov(R1;R2).

=x221+ (1x)222+ 2x(1x)1212. =x221+ (1x)222+ 2x(1x)12: En remplaçantxparE(Rp)E(R2)E(R1)E(R2). On obtient une relation entre2petE(Rp).

f(E(Rp)) =2p= (E(Rp)E(R2)E(R1)E(R2))2x2+(1E(Rp)E(R2)E(R1)E(R2))2(1x)2+2(E(Rp)E(R2)E(R1)E(R2))(1E(Rp)E(R2)E(R1)E(R2))12.

En développant les calculs, on trouve bien une fonction quadratique enE(Rp):

f(E(Rp)) =21+22212(E(R1)E(R2))2E(Rp)2+(4E(R2)12(E(R1)E(R2))2+212E(R1)E(R2)2E(R2)21(E(R1)E(R2))22E(R1)22(E(R1)E(R2))2)E(Rp)+

E Donc on a une fonction qui s"écrit sous forme :f(E(R1)) =aE(R1)2+bE(R1) +c.

On peut visualiser notre situation, en traçant la courbe de2pen fonction deE(Rp):La partie en bleu s"appelle la frontière e?ciente ou bien de Markowitz, elle représente l"ensemble

de tout les points qui intéressent les détenteurs du portefeuille. Le pointMa le même risque que le pointPmaisMne se situe pas sur la frontière e?ciente, on remarque clairement cela en projetant sur l"axe des abscisses, on voit que le rendement du pointP est supérieur à celui du pointM. Les pointsO;PetNsont tous sur la frontière e?ciente, on remarque bien que la fonction est

croissante une fois le rendement dépasse0du coup le rendement et le risque varient dans le même

sens. 5 On peut même inverser la fonction au dessus en écrivant le rendement en fonction du risque.

Pour cela on utilise la forme canonique :

2pc=aE(Rp)2+bE(Rp) =a[(E(Rp) +b2a)2(b2a)2]:

Ce qui donne :

E(Rp) =r1

a (2pc) + (b2a)2b2a:

Donc on a bien l"expression suivante :

E(Rp) =qz

12p+z2+z3:La frontière e?ciente en rouge comporte une in?nité des points, chaque point est un portefeuille

c"est à dire une combinaison des deux actifs1et2considérés au début.

En cherchant le portefeuille qui attire les investisseurs, on place aléatoirement les trois pointsI;J

etKpour exposer des cas dont les investisseurs font face : lAu pointIsupposons qu"on est dans la situation suivante :P1=f(1;1);(2;0)g.

c"est-à-dire les investisseurs ne diversi?ent pas le portefeuille, ils investissent la totalité de leurs ca-

pitaux dans l"achat de l"actif1. lAu pointJ, on trouve la même chose avec une proportion nulle de l"actif1, c"est le portefeuille P 0. lAu pointK, on choisit un portefeuille diversi?é avec un rendementRket un niveau de risquek. 6 E (Rk) =xE(R1) + (1x)E(R2))E(R1)E(R2) =x(E(R1)E(R2)):

On obtient :

x=E(Rk)E(R2)E (R1)E(R2): Et

2k=x221+ (1x)222+ 2x(1x)12:

En fait, il y"a plusieurs types de portefeuilles , on parlera dans ce chapitre du portefeuille de variance

minimale, et on abordera les calculs détaillés pour les autres portefeuilles dans le chapitre suivant.

1.1.2 Portefeuille de variance minimale

Un détenteur d"un portefeuille à variance minimale cherche à minimiser le risque autant que pos-

sible.Posons le portefeuille suivant :Px=f(1;x);(2;1x)g. Sa volatilité s"écrit ainsi :2p=x221+ (1x)222+ 2x(1x)12. On a bien une fonction quadratique atteint son minimum enxvéri?ant@2p@x = 0. Cherchons alors la proportion qu"il faut investir pour avoir un risque minimal. 2p@x = 2x212(1x)22+ 2(12x)12. = 2x21+ 2x22222+ 2124x212. 7

Après les calculs e?ectués, la proportion du capital qu"il faut investir dans l"actif1pour avoir le

portefeuille qui a le plus petit risque est : 2p@x = 0,x1=2212

21+22212:

Et pour la proportion qu"il faut investir dans l"actif2vaut : x

2=2112

21+22212:

Pour un portefeuille ayant les parts trouvées au dessus que l"on notex1etx2le rendement suivant : E (Rp) =x1E[R1] +x2E[R2]:

Et un risque :

p=q(x1)221+ (x2)222+ 2x1x212:quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

[PDF] formule variance proba

[PDF] qu'est ce que l'influx nerveux

[PDF] transmission influx nerveux

[PDF] influx nerveux pdf

[PDF] influx nerveux potentiel d'action

[PDF] propagation de l'influx nerveux dans le neurone

[PDF] transmission de l'influx nerveux au niveau de la synapse

[PDF] calcul profondeur moho

[PDF] onde pmp definition

[PDF] forme indéterminée infini moins infini

[PDF] longueur masse durée 6ème exercices

[PDF] comment calculer moyenne fst tanger

[PDF] fst marrakech seuil 2017

[PDF] calculer moyenne fst mip

[PDF] seuil fst marrakech 2016

[PDF] Théorie du portefeuille En développant les calculs

Comment on calcule la covariance ?

Comment calculer la COV X Y ?

Comment calculer la variance et la covariance ?

UFR DE MATHEMATIQUES

Promo 2018

Encadré par :Mme.Gwénaëlle

CASTELLAN

Rédigé par :Nizar NOR et Sidy

D DOUCOURE

Mai 2018

Table des matières

REMERCIEMENTS 2

INTRODUCTION 2

RÉSUME2

Dé?nition des mots clés 3

1 Marché de deux actifs 4

1.1 Portefeuille de deux actifs risqués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.1 Le lien entre le risque et le rendement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.2 Portefeuille de variance minimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.3 E?et du coe?cient de corrélation des deux actifs . . . . . . . . . . . . . . .

2 Marché deNactifs 11

2.1 Formulation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Portefeuille de variance minimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.1 Exemple de trois actifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Portefeuille e?cient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4 Portefeuille Tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6 Critères de choix d"un unique portefeuille e?cace . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6.1 Le critère de sélection moyenne-variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.7 Les critères de protection du rendement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.7.1 Le critère de Roy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CONCLUSION 25

3 Annexes :26

3.1 Le code sous R d"espace rendement, écart-type : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Le code sour R de l"application 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3 Le code sous R pour le portefeuille de Roy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

BIBLIOGRAPHIE 29

à la réalisation de ce travail.

2.Un actif ?nancierest un titre ou un contrat, généralement transmissible et négociable (par

3.La diversi?cation: La notion de diversi?cation faite référence à la diversité des titres qui

Chapitre 1

Marché de deux actifs

élevée.

1.1 Portefeuille de deux actifs risqués

12=Cov(R1;R2) =1212

1.1.1 Le lien entre le risque et le rendement

Ce qui donne l"expression suivante :

La variance du portefeuille est donnée ainsi :

2p=x221+ (1x)222+ 2x(1x)cov(R1;R2).

Pour cela on utilise la forme canonique :

2pc=aE(Rp)2+bE(Rp) =a[(E(Rp) +b2a)2(b2a)2]:

Ce qui donne :

E(Rp) =r1

Donc on a bien l"expression suivante :

E(Rp) =qz

12p+z2+z3:La frontière e?ciente en rouge comporte une in?nité des points, chaque point est un portefeuille

On obtient :

2k=x221+ (1x)222+ 2x(1x)12:

1.1.2 Portefeuille de variance minimale

21+22212:

2=2112

21+22212:

Et un risque :