[PDF] Exercices de probabilités avec éléments de correction Memento

0xa1(tx)b1dx=ta+b1R1

0ya1(1y)b1dy=ta+b1Ca;b. La

6.SoitZ1;Z2;:::;Zndes variables aléatoires réelles indépendantes de loiN(0;1).

6.a)Montrer queZ21suit une loi

1=2;1=2.SiZ1est de loiN(0;1)etgune fonction mesurable bornée deRdansR, on a

E(g(X2)) =Z

Par parité dex7!g(x2)ex2=2on aE(g(X2)) =2p2R

0g(x2)ex2dx=2p2R

0g(y)ey=2dy2

X2(y) =1p2ey=2y1=21R+(y)dy.

6.b)Montrer queZ21++Z2nsuit une loi

degrés de liberté, notée2n.On le montre par récurrence. Pourn= 1c"est vrai. Supposons queSn1=Z21+:::+Z2n1

en déduit queSn1etZ2nsont indépendantes car(Z1;:::;Zn1)etZnle sont. On utilise ensuite la question

5 donnant queSnsuit une

Propriétés générales

Résoudre les questions suivantes en appliquant le théorème de Fubini(-Tonelli) de la façon suggérée.

1.SoitNune variable aléatoire à valeurs dansN. Montrer que

E[N] =X

E[N] =E"

Le théorème de Fubini est ici appliqué à la fonction(n;!)7!1fkN(!)gpar rapport à la mesure produit

pourf:N!R). En l"occurrence, il est en fait plus simple de voir ceci comme une application du théorème

2.SoitXune variable aléatoire à valeurs dansR+, et >0. Montrer que

E[X] =Z

et donner une généralisation de cette formule.On note que, commeX0, par " intégration de la dérivée »,X=RX

0t1dt=R1

01ft théorème de Fubini-Tonelli (pour la mesuredt

P) donne donc

E[X] =Z

1 0

E[1ft 1 0

P(X > t)t1dt:

Le principe de la preuve s"applique par exemple à toute fonctiongmonotone de classeC1de]0;+1[dans

R, pour laquelle on peut écrireg(X) =g(0) +RX

0g0(t)dt, d"où de même

E[g(X)] =g(0) +Z

1 0

P(X > t)g0(t)dt:

3.Soit(An)n1une suite d"événements.

3.a)On noteNle nombre (aléatoire) d"événéments parmi ceux-ci qui se produisent. CalculerE[N]en fonction

des probabilitésP(An),n1.On note queN=P1 n=11An. Par suite, par le théorème de Fubini-Tonelli (pour la mesuremN

PoùmN

est la mesure de comptage surN),

E[N] =1X

n=1E[1An] =1X n=1P(An):

3.b)On suppose queP

nP(An)<1. Montrer que presque-sûrement seul un nombre fini d"événements de la

suite ont lieu.C"est le lemme de Borel-Cantelli (partie la plus facile mais néanmoins la plus utile).Par la question précédente, l"hypothèse équivaut àE[N]<1. Or ceci implique queN <1p.s., ce qui

signifie que, presque sûrement, un nombre fini d"événement de la suite ont lieu.

4.CalculerC=R

Rex2dxsans utiliser de coordonnées polaires. (ÉcrireC2comme une intégrale double puis, dans l"intégrale,e(x2+y2)=R1 x

2+y2etdt)Par le théorème de Fubini-Tonelli,

C 2=Z 1 0 ex2dxZ 1 0 ey2dy=Z ]0;1[2e(x2+y2)dxdy: En écrivant (par une intégration immédiate)e(x2+y2)=R1 x

2+y2etdt=R1

01ft>x2+y2getdtpourx;y >0,

on a, à nouveau par le théorème de Fubini-Tonelli, C 2=Z ]0;1[2Z 1 0 1 ft>x2+y2getdtdxdy=Z 1 0 et Z ]0;1[21ft>x2+y2gdt! dxdy L"intégrale entre parenthèses est l"aire du quart de disque de rayon pt, donc vautt4 (certes, s"il fallait le

redémontrer, ceci se ferait le plus directement en passant en coordonnées polaires...). On a donc

C 2=4 Z 1 0 tetdt=4 4

(intégration par parties, ou reconnaître l"espérance de la loiE(1)pour éviter de refaire le calcul), d"oùC=p

2

On rappelle la preuve classique : partant deC2=R

]0;+1[2e(x2+y2)dxdycomme ci-dessus, il suffit d"effectuer un changement de coordonnées pour passer en coordonnées polaires ((r;)7!(rcos;rsin)est bien un difféomorphisme de]0;+1[]0;2 [sur]0;+1[2, de jacobienr7!r) : C 2=Z =2 0Z 1 0 er2rdrd=2 12 er21 r=0=4

5.SoitA1,...,Andes événements. Montrer laformule du crible, oùjSjdésigne le cardinal deS:

P(A1[ [An) =nX

k=1(1)k+1X

1i1<

Sf1;:::;ng;S6=;(1)jSj+1P\

i2SA i :Pour tous événementsAetB, on a1A\B=1A1Bet1Ac= 11A, en revanche il n"y a pas de formule aussi

simple pour la réunion, mais on peut se ramener à une intersection en passant au complémentaire :

1 A[B= 11Ac\Bc= 11Ac1Bc= 1(11A)(11B) =1A+1B1A1B=1A+1B1A\B; ce qui, en intégrant chaque membre, donneP(A[B) =P(A) +P(B)P(A\B). On généralise maintenant cette formule ànévénements. On a 1

A1[[An= 11Ac1\\Acn= 1Y

i(11Ai) = 1X

Sf1;:::;ng(1)1+jSjY

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