Chapitre 3. Probabilités conditionnelles PDF

Probabilités conditionnelles – Exercices

correspond ou non à une probabilité conditionnelle et don- ner la notation … … … … … … Page 2. Probabilités conditionnelles – Exercices – Terminale STMG – G.

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Terminale STMG. Probabilités E. La probabilité conditionnelle de B sachant A (ou B parmi A) notée PA(B)

Chapitre 3. Probabilites conditionnelles

Manuel p.60.

1. Probabilites, rappels

A. Calcul de probabilite dans le cas equiprobable

On dit qu'il y a equiprobabilite si tous les evenements elementaires ont la m^eme probabilite d'advenir. Soit

Aun evenement d'un univers

. On appelle "cas favorables" les cas ou l'evenementAest realise.

Dans le cas equiprobable, on a :

P(A) =nombre de cas favorables aAnombre de cas possibles de

Exemple 3.1On tire un de a 6 faces. L'univers

est =f1;2;3;4;5;6g Il y a equiprobabilite, car toutes les faces ont la m^eme probabilite d'^etres tirees.

SoitAl'evenement "obtenir 1 ou 4" :A=f1;4g

Nombre de "cas favorables" : ........................ . Nombre de "cas possibles" : .......................... .

Calcul deP(A):

Evenement contraire

L'evenement contraire deAest noteA. Il est constitue de toutes les issues non favorables aA.

On a :

P(A) = 1P(A)

Exemple 3.2On tire un de a 6 faces. SoitAl'evenement "obtenir 1 ou 4". Determiner l'evenementA:A=f:::::::::::::::::::::::::::::g En utilisant le resultat de l'exemple precedent, calculerP(A):

.............................................................................................................C. Reunion, intersection d'evenements

L'evenementA[B("A union B") est constitue des issues favorables aA, aBou aux deux. L'evenementA\B("A inter B") est constitue des issues favorables a la fois aAet aB.

On a :

P(A[B) =P(A) +P(B)P(A\B)

Exemple 3.3On tire un de a 6 faces. SoientAl'evenement "obtenir 1 ou 4", etBl'evenement "obtenir un nombre

pair". Determiner l'evenement :A\B=f:::::::::::::::::::::::::::::g 23

En deduireP(A[B):

Exercice 3.1Dans un jeu de 32 cartes, on tire une carte au hasard. Calculer la probabilite de l'evenement "la carte

tiree est un pique ou un as". Exercice 3.2On aP(A[B) = 0;8,P(A) = 0;5etP(B) = 0;4. CalculerP(A\B).

.............................................................................................................D. Arbre pondere

On peut representer une situation par un arbre pondere. On ecrit les evenements en "bout" de branche, et

les probabilites "sur" les branches, sous forme decimale.

Exemple 3.4Dans une classe,60%des eleves sont des lles.22%des lles font du sport, contre25%des garcons.

Representer cette situation par un arbre pondere : Calculer la probabilite qu'un(e) eleve pris(e) au hasard fasse du sport.

.............................................................................................................2. Probabilites conditionnelles

SoientAetBdeux evenements, avecP(A)6= 0. Une probabilite conditionnelle est la probabilite qu'un evenement soit realise "sachant que" un autre evenement est realise. On dit "probabilite deBsachantA", et on notePA(B).

On a :

A(B) =P(A\B)P(A)

On a donc aussiP(A\B) =P(A)PA(B)

Exemple 3.5Des jetons sont numerotes de 1 a 10 : les jetons numerotes de 1 a 3 sont bleus, ceux numerotes

de 4 a 10 sont rouges.

On tire au hasard un jeton On noteAl'evenement : "le jeton est rouge". On noteBl'evenement : "le jeton

porte un numero pair". Quelle est la probabilite qu'il porte un numero pair sachant qu'il est rouge? 24
Dans le cas de probabilites conditionnelles, un arbre pondere peut ^etre tres utile. Exemple 3.6Reprenons l'exemple precedent, pour lequel nous avons deja construit un arbre : Dans une classe,60%des eleves sont des lles.22%des lles font du sport, contre25%des garcons. S'appuyer sur l'arbre pondere pour repondre aux questions ci-dessous : On choisit un eleve au hasard. Quelle est la probabilite que ce soit une lle qui fait du sport? On choisit un eleve au hasard. Quelle est la probabilite que ce soit un eleve qui fait du sport?

On choisit un eleve au hasard. Quelle est la probabilite que ce soit un un garcon, sachant qu'il qui fait du

sport?

Exercice 3.3Une urne contient quatre jetons blancs numerotes 1, 2, 3, 4 et trois jetons noirs numerotes 1, 2, 3. On

tire un jeton au hasard. 1. Quelle est la p robabilitequ'il soit blanc et pair ? 2. Quelle est la p robabilitequ'il soit blanc, sachant qu' ilest pair ? 3. Quelle est la p robabilitequ'il soit pair, sachant q u'ilest blanc ?

Exercice 3.4Dans un lycee, la repartition des eleves de classe de 1ere est la suivante :35%des eleves sont en 1ere

Stmg;40%des eleves sont en 1ere St2s, et le reste en 1ere Sti2d.

De plus,80%des eleves de Stmg sont des lles;35

des eleves de Sti2d sont des garcons; la repartition est equilibree en St2s. 1.

Compl eterles tableaux suivant : Serie STMG :35%Filles :80%; Garcons ::::::%Serie ST2S :40%Filles ::::::%; Garcons ::::::%Serie STI2D :::::%Filles ::::::%; Garcons ::::::%SeriesSTMGST2SSTI2DTotal

Filles............................

Garcons............................

Total35..............100%

2. A la so rtiedu ly cee,on rencontre un elevede 1 ere.On consid ereles evenementssuivants :

A: "Cet eleve est en 1ere STMG"

B: "Cet eleve est une lle de 1ere STI2D"

C: "Cet eleve est une lle de 1ere STI2D ou de 1ere ST2S"

D: "Cet eleve est une lle ou est en 1ere STMG"

Calculer la probabilite de chacun de ces evenements. 25
3. Sachant que l' eleverencontr eest en 1 ereS T2S,quelle est la p robabiliteque ce soit un ga rcon? 4.

Sachant que l' eleverencontr eest une lle, quelle est la p robabiliteque celle-ci ne soit pas en 1 ereS TMG?

Exercice 3.5On interroge un groupe de 1200 etudiants titulaires d'un baccalaureat STMG et ayant poursuivi des

etudes.

60%des etudiants sont des lles.

55%ont poursuivi leurs etudes en BTS.

264personnes etudient a l'universite.

La moitie des etudiants de l'universite sont des garcons.

45%des etudiants de BTS sont des garcons.

1. Compl eterle tableau ci-dessous : BTSUniversiteAutresTotal

Filles....................

Garcons....................

Total.....264.....1200

P ourchaque etudiantinterrog e,les info rmationssont p orteessur une c heindividuelle.On choisit une che au

hasard parmi les 1200 renseignees. Chaque che a la m^eme probabilite d'^etre choisie. (a)

Calculer la p robabilitedes evenementssuivants :

A : "la che choisie concerne un etudiant de l'universite"

G : "La che choisie est celle d'un garcon"

(b) D enirpa rune phrase l' evenementA\G, puis calculer sa probabilite. 26
(c)D enirpa rune phrase l' evenementA[G, puis calculer sa probabilite. (d)

Calculer la p robabiliteque la che choisie concerne un etudiantde l'universit e,sachant qu'il s'agit d'une

lle (on donnera la resultat sous forme arrondie au centieme)

Exercice 3.6Dans une entreprise, les hommes constituent64%du personnel. De plus,90%des hommes travaillent

a temps complet et40%des femmes travaillent a temps partiel.

On choisit au hasard un salarie de l'entreprise; tous les salaries ont la m^eme probabilite d'^etre choisis.

On considere les evenements suivants :

F : "le salarie est une femme"

C : "le salarie travaille a temps complet"

1. T raduirepa rune ph rasel' evenementF, puis donner sa probabiliteP(F); en deduireP(F). 2. R ealiserun a rbrede p robabilitesrep resentantcette situation. 3. T raduirepa rune phrase l' evenementF\C, et calculer sa probabilite. 4. Montrer que la p robabiliteque le sala rietra vaille atemps complet est egale a0;792. 5.

Calculer la p robabiliteque le sala riesoit une f emme,sachant qu'il tra vaille atemps complet (a rrondirle r esultat

au centieme). 27

3. Sujets de Bac

A. Pondichery 2015, ex.4

Une urne contient 15 jetons rouges et 5 jetons bleus. 20% des jetons rouges sont gagnants et 40% des jetons

bleus sont gagnants. Un joueur tire au hasard un jeton de l'urne. On note :

Rl'evenement :Le jeton est rouge.

Bl'evenement :Le jeton est bleu.

Gl'evenement :Le jeton est gagnant.

La situation peut ^etre modelisee par l'arbre de probabilite ci-dessous :1.Quelle est la probabilit eque le jeton soit bleu ?

Calculer P(R\G)

3. Quelle est la probabilit eque le jeton soit gagnan t?

........................................................................................................B. Centres etrangers 2015, ex.1

L'arbre de probabilites ci-dessous represente une situation ouAetBsont deux evenements. Les evenements

contraires deAet deBsont respectivement notesAetB. Pour tout evenementE, on notep(E) la probabilite deEet pour tout evenementFde probabilite non nulle, on notepF(E) la probabilite conditionnelle deEsachantF.1.Calculer p(B). 28
2.

Calculer pB(A).

........................................................................................................C. Polynesie 2015, ex.3

On a prouve qu'une des origines d'une maladie etait genetique. On estime que 0,1% de la population est

porteur du gene en cause. Lorsqu'un individu est porteur du gene, on estime a 0;8 la probabilite qu'il developpe

la maladie. Mais s'il n'est pas porteur du gene il y a tout de m^eme une probabilite de 0;01 qu'il developpe la

maladie. Lorsqu'un individu est choisi au hasard dans la population, on considere les evenements suivants :

G:le patient est porteur du gene

M:le patient developpe la maladie

1. En utilisan tles donn ees,c ompleterl'arbre ci-dessous. 2.Quelle est la probabilit ede l' evenement le patient est porteur du gene et il developpe la maladie? 3.

Sac hantqu'il a d eveloppela maladie, quelle est la p robabilite a0 ;0001 pres qu'il soit porteur du gene?

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[PDF] Chapitre 3. Probabilités conditionnelles

Chapitre 3. Probabilites conditionnelles

Manuel p.60.

1. Probabilites, rappels

A. Calcul de probabilite dans le cas equiprobable

Aun evenement d'un univers

Dans le cas equiprobable, on a :

Exemple 3.1On tire un de a 6 faces. L'univers

SoitAl'evenement "obtenir 1 ou 4" :A=f1;4g

Calcul deP(A):

Evenement contraire

On a :

P(A) = 1P(A)

On a :

P(A[B) =P(A) +P(B)P(A\B)

En deduireP(A[B):

On a :

A(B) =P(A\B)P(A)

On a donc aussiP(A\B) =P(A)PA(B)

De plus,80%des eleves de Stmg sont des lles;35

Filles............................

Garcons............................

Total35..............100%

A: "Cet eleve est en 1ere STMG"

B: "Cet eleve est une lle de 1ere STI2D"

D: "Cet eleve est une lle ou est en 1ere STMG"

60%des etudiants sont des lles.

55%ont poursuivi leurs etudes en BTS.

264personnes etudient a l'universite.

45%des etudiants de BTS sont des garcons.

Filles....................

Garcons....................

Total.....264.....1200

Calculer la p robabilitedes evenementssuivants :

G : "La che choisie est celle d'un garcon"

On considere les evenements suivants :

F : "le salarie est une femme"

C : "le salarie travaille a temps complet"

3. Sujets de Bac

A. Pondichery 2015, ex.4

Rl'evenement :Le jeton est rouge.

Bl'evenement :Le jeton est bleu.

Gl'evenement :Le jeton est gagnant.

Calculer P(R\G)

Calculer pB(A).

G:le patient est porteur du gene

M:le patient developpe la maladie