[PDF] Module M123 Analyse 2 Examens de 2014 `a 2020

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Module M123, Analyse 2

Examens de 2014 a 2020

Jeudi 9 juillet 2020

1

Universite My Ismail Annee Univer. 2014-2015

F. S. T. Errachidia Parcours MIP. S2 Analy2

Depart. de Maths Resp. Mustapha Laayouni

Examen du 17 avril

Duree: deux heures

Exercice1:

1On pose:F(x) =Z

2x xt 2t

2+ sin2(t)dt.

(i) Determiner l'ensemble de denition de la fonctionF. (ii) Montrer que, pourxnon nulF(x) =F(x) et queFest prolongeable en une fonction continue en 0. CalculerF0(x),8x2R. (iii) EtudierFquandxtend vers1. Exercice2:Integrer les equations dierentielles suivantes: (E1):ch(x)y0+sh(x)y=1p1x2. (E2):y003y0+ 2y=x+xe2x+xsin(x). Exercice3:Etudier la convergence des suites (vn)n>1et (wn)n>0si: (i)vn=nY k=1

1 +k2n

2 1n (ii)wn=nX k=01e k+pk+ 1.1

La rigueur est sollicitee. Bon courage!

Universite My Ismail Annee Univer. 2014-2015

F. S. T. Errachidia Parcours MIP. S2 Analy2

Depart. de Maths Resp. Mustapha Laayouni

Examen de jun Section 2

Duree: deux heures

Exercice1:Calculer les limites des suites suivantes : (i)un=n1X k=0nk

2+n2(ii)vn=nY

k=1

1 +k2n

2 1n

Exercice2:SoitIn=Z

2

0sinn(x)dxsin2N.

(i) Montrer que (In)nest une suite positive decroissante. (ii) Montrer queIn+2=n+1n+2Inet expliciterIn. (iii) En deduireZ 1

11x2ndx.

Exercice3:Resoudre l'equation dierentielle suivante: y

00+ 5y0+ 6y=x+e2x+ sin(2x)

Universite My Ismail Annee Univer. 2014-2015

F. S. T. Errachidia Parcours MIP. S2 Analy2

Depart. de Maths Resp. Mustapha Laayouni

Examen de rattrapage

Duree: une heure

Exercice1:Soitgla fonction reelle denie sur l'intervalle [0;1] par g(x) =ax(oua2R+). Montrer a l'aide de la denition quegest integrable et calculer son integrale. Exercice2:Integrer l'equation dierentielle suivante (E) :y00+y0+y= sin(x) +xe2x

Universite My Ismail Annee Univer. 2015-2016

F. S. T. Errachidia Parcours MIP. S2 Analy2

Depart. de Maths Resp. Mustapha Laayouni

Examen d'avril

Duree: deux heures

Exercice1:Considerons la fonction reelleFdenie par:

F(x) =Z

x2+1 0 ln(1 +t)dt Determiner le domaine de denitionDFdeF. Montrer queFest derivable en tout point ou elle est denie. CalculerF0(x), pour toutx2DF. Exercice2:Calculer la limite lorsquen!+1de la suite reelle (un)n>1telle que: u n=n2nX k=11k 3+n3 Exercice3:Integrer les equations dierentielles suivantes: (E1):ch(x)y0+sh(x)y=11+x2. (E2):y00+y=1sin(x). 22

La rigueur est sollicitee. Bon courage!

Universite My Ismail Annee Univer. 2015-2016

F. S. T. Errachidia Parcours MIP. S2 Analy2

Depart. de Maths Resp. Mustapha Laayouni

Examen de rattrapage d'avril

Duree: une heure

Exercice1:Soita2R+. Montrer a l'aide de la denition que la fonction reellef: [0;1]!Rdenie parf(x) =axest integrable au sens de Riemann. Exercice2:Integrer les equations dierentielles suivantes: (E1):ch(x)y0+sh(x)y=1p1x2. (E2):y003y0+ 2y=x+xe2x+ sin(3x). 33

La rigueur est sollicitee. Bon courage!

Solution de l'exercice1: Montrons a l'aide du theoeme caracteristique (qu'on peut cosiderer comme denition ), que la fonctionf: [0;1]!Rtelle que: f(x) =axpour un certaina2R+est integrable sur [0;1]. Pour toun>1, on consdere la subdivision de [0;1] telle que S n= x

0= 0;x1=1n

;:::;xk=kn ;:::xn= 1 qui va ^etre associee aux fonctions en escalier denies par n(t) =axi; n(t) =axi+1;8t2]xi;xi+1[; i= 0;1;:::;n1 n(xi) = 0; n(xi) =a; i= 0;1;:::;n1

Puisquefes strictement croissante, donc

n6f6 n Z 1 0 n(t)dt=n1X i=0ax i(xi+1xi) n1X i=0ain 1n an 2n1X i=0i an

2n(n1)2

et Z 1 0 n(t)dt=n1X i=0ax i+1(xi+1xi) n1X i=0ai+ 1n 1n an 2n1X i=0i+ 1 an

2n(n+ 1)2

D'ou lim n!+11 Z 0 n(t)dt= limn!+11 Z 0 n(t)dt=a2 Ainsifest integrable sur [0;1] et son integrale vautZ 1 0 (at)dt=a2 Solution de l'exercice2: Integrons les equations dierentielles suiv- antes: (E1):ch(x)y0+sh(x)y=1p1x2.

Posonsz(x) =y(x)ch(x). Par deeivation on obtient

z

0(x) =y0(x)ch(x) +y(x)sh(x)

donc (E1): se transorme en (E01):z0(x) = arcsin0(x), dont la solution generale est z(x) = arcsin(x) +cte

Ainsi, la solution generale de (E1) est

y(x) =arcsin(x) +ch(x)2R: Pour (E2):y003y0+ 2y=x+xe2x+ sin(3x), d'equations homogene et caracteristique respectivement: (H2) :y003y0+ 2y= 0 (C2) :r23r+ 2 = 0

Le discriminant

2= (3)242 = 1. Donc les soltions de (C2) sont

r 1=312 = 1;etr2=3 + 12 = 2

Par suite, la solution generale de (H2) est

y

0(x) =Aex+Be2x(A;B)2R2

Pour determiner une solution particuliereypde (E1), il sut d'appliquer le principe de la superposition, En eet le second membre est f(x) =f1(x) +f2(x) +f3(x) ou f

1(x) =x; f2(x) =xe2xetf3(x) = sin(3x)

qui donnent les equations suivantes: (E21):y003y0+ 2y=x (E22):y003y0+ 2y=xe2x (E23):y003y0+ 2y= sin(3x)

D'apres le cours, une solution particuliere de:

(E21) esty1(x) =ax+b;avec (a;b)2R2, (E22) esty2(x) = (ex2+fx+g)e2x;avec (e;f;g)2R3, (E23) esty3(x) =Mcos(3x) +Nsin(3x);avec (M;N)2R2, (E2) estyp(x) =y1(x) +y2(x) +y3(x).

Conclusion: la solution generale de (E2) est

y(x) =y0(x) +y1(x) +y2(x) +y3(x)

Universite My Ismail Annee Univer. 2015-2016

F. S. T. Errachidia Parcours MIP. S2 Analy2

Depart. de Maths Resp. Mustapha Laayouni

Examen de juin

Duree: deux heures

Exercice1:Considerons la fonction reelleFdenie par:

F(x) =Z

x2+1 0 ln(1 +t)dt

1) Determiner le domaine de denitionDFdeF.

2) Montrer queFest derivable en tout point ou elle est denie.

3) CalculerF0(x), pour toutx2DF.

Exercice2:Calculer la limite lorsquen!+1de la suite reelle (un)n>1telle que: u n=n2nX k=11k 3+n3 Exercice3:Integrer les equations dierentielles suivantes: (E1):ch(x)y0+sh(x)y=11+x2. (E2):y00+y=1sin(x). 44

Soyez rigoureux Bon courage!

Universite My Ismail Annee Univer. 2015-2016

F. S. T. Errachidia Parcours MIP. S2 Analy2

Depart. de Maths Resp. Mustapha Laayouni

Session de rattrapage de juin

Duree: 1H 30 mn

Exercice1:Considerons la fonction reelleFdenie par:

F(x) =Z

ex2 0 ln(1 +t)dt

1) Montrer queFest derivable en tout point deR.

2) CalculerF0(x), pour toutx2R.

Exercice2:Calculer la limite lorsquen!+1de la suite reelle (un)n>1telle que: u n=nnX k=11k 2+n2 Exercice3:Integrer l equation dierentielle suivante: (E):y00+y= cos(x) +xex. 55

Soyez rigoureux Bon courage!

Universite My Ismail Annee Univer. 2016-2017

F. S. T. Errachidia Parcours MIP. AnalyseII

Depart. de Maths Resp. Mustapha Laayouni

Examen de Janvier

Duree: deux heures

Exercice1:Considerons la fonction reelleFdenie par:

F(x) =Z

1+x4 0 ln(1 +t)dt

1) Montrer queFest derivable en tout point deR.

2) CalculerF0(x), pour toutx2R.

Exercice2:Calculer la limite lorsquen!+1de la suite reelle (un)n>1telle que: u n=nnX k=11k 2+n2 Exercice3:Integrer l equation dierentielle suivante: (E):y00+y=xex.5 La rigueur et la presentation seront prises en compte.

Universite My Ismail Annee Univer. 2016-2017

F. S. T. Errachidia Parcours MIP. AnalyseII

Depart. de Maths Resp. Mustapha Laayouni

Examen de Fevrier

Duree: 1H 30mn

Exercice1:Considerons la fonction reelleFdenie par:

F(x) =Z

11+x2

0ln(1 +t)dt

1) Montrer queFest derivable en tout point deR.

2) CalculerF0(x), pour toutx2R.

Exercice2:Calculer la limite lorsquen!+1de la suite reelle (un)n>1telle que: u n=nX k=12nk 2+n2 Exercice3:Integrer l equation dierentielle suivante: (E):y00y=ex.5 La rigueur et la presentation seront prises en compte.

Universite My Ismail Annee Univer. 2017-2018

F. S. T. Errachidia Parcours MIP. AnalyseII

Depart. de Maths Resp. Mustapha Laayouni

Session normale. Sect1

Duree: Deux heures

Exercice1:Calculer:

(i) lim x!+1" 1x Z 1+x2 x

2et2dt#

(ii) Z1sin

2xcos4xdx

Exercice2Determiner les limites suivantes:

1) lim

n!+1" (2n)!n!nn 1n

2) lim

n!+1" n 2n1X k=01k 3+n3# Exercice3Integrer l' equation dierentielle suivante: (E) : 6y02y=xy4.5

Soyez rigoureux. Bon courage

Universite My Ismail Annee Univer. 2017-2018

F. S. T. Errachidia Parcours MIP. AnalyseII

Depart. de Maths Resp. Mustapha Laayouni

Examen de rattrapage. Sect1

Duree: Une heure

Exercice.Determiner:

1) La derivee0(x), la ou elle est denie, de la fonctiondonnee par:

(x) =Z x2 0 ln1 +t2dt

2) La limite suivante:

lim n!+12nn1X k=01k 2+n2

3) La somme de la serie:

+1X n=0k=nX k=01k!3nk

4)Toutes les solutions de l'equation dierentielle suivante:

sh(x)y+ch(x)y0=11 +x25

Soyez rigoureux. Bon courage

Universite My Ismail Annee Univer. 2017-2018

F. S. T. Errachidia Parcours MIP. S2 Analy2

Depart. de Maths Resp. Mustapha Laayouni

Examen de la session normale. Sect2

Duree: deux heures

Exercice1: Calculer les integrales suivantes:

I=Z 2

0psinxcosxdx

J=Z 4

0sin(2x)cos

4x+ sin4xdx

Exercice2: Calculer les limites suivantes lorsqu'elles existent: (i) lim x!0+ 1x Z x 0 cos(t)et2dt (ii) limn!+1n X k=0(2)kk!9k (iii) limx!+1 1x 2Zquotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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