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La pente est l'inclinaison que présente la terrasse. Celle-ci se calcule comme suit : Différence de hauteur en cm divisée par la longueur du parcours en cm. En multipliant cette valeur par 100, on obtient la pente en pourcentage.Comment calculer la pente d'un terrain PDF ?
Pour faire ce calcul, il faut diviser le dénivelé (c'est-à-dire la hauteur totale entre le point d'arrivée et le point de départ) avec la distance horizontale du terrain avant de multiplier par 100. Ainsi, par exemple, une pente de 8 % correspond à un dénivelé de 8 m pour une distance horizontale de 100 m.- La pente se calcule en divisant le dénivelé par la distance horizontale. Le pourcentage de pente permet de déterminer l'inclinaison de la pente.
Nom : ...................................................... Prénom : ....................................................... Classe : ........................................
Van In © - Actimath 3 1 Ch. 12 - Pente d'une droiteRemédiation - Pente d'une droite
1) Rappel
La pente d'une droite caractérise son inclinaison par rapport à l'axe x.2) Recherche géométrique de la pente positive d'une droite
Pour déterminer la pente d'une droite, tu peux imaginer un "triangle de support" contre lequel la droite est appuyée. Ce triangle rectangle peut avoir des dimensions quelconques mais tu dois connaître avec précision la longueur des côtés de l'angle droit.La pente est le rapport entre la longueur du côté vertical et la longueur du côté horizontal
de ce triangle rectangle.Pente =
2142
63==
Pente = 3
26=En utilisant cette technique, détermine la pente des droites ci-dessous.
Pente de a = .......................Pente de b = ........................................Pente de c = ..............................
2 4 6 3 6 2 a b cNom : ...................................................... Prénom : ....................................................... Classe : ........................................
Van In © - Actimath 3 2 Ch. 12 - Pente d'une droite3) Pente positive ou négative ?
On pourrait croire que les deux droites (a et b) ont la même inclinaison par rapport à l'axehorizontal mais l'angle formé avec l'axe horizontal est différent (45° et 135°). Il est donc
normal que ces droites n'aient pas la même pente; l'une est positive (1) et l'autre négative (-1). Pour introduire la notion de pente négative, il est indispensable d'introduire une nouvellenotion; celle d'accroissements (Δx et Δy) liée aux coordonnées de deux points de la droite.
Déterminons la pente des droites supportées par les triangles rectangles ci-dessous. Δx = 6 - 1 = 5 et Δy = 5 - 2 = 3 Δx = 7 - 1 = 6 et Δy = 2 - 6 = - 4 pente = 53x y =ΔΔ pente = 32
64
x y-=-=ΔΔ Pour chaque droite, détermine les coordonnées des points marqués, trace le triangle de support,détermine les accroissements Δx et Δy puis calcule la pente.
Δx =
..................... = ...... et Δy = ..................... = ...... Δx = .................... = ...... et Δy = ..................... = ......
pente = .............................................................. pente = ..............................................................
a b45° 135°
y y 1 x 1 x1 1
(1;2) (6;5) Δx = 5 Δ y=3 (1;6) (7;2)Δx = 6 Δ
y = - 4 0 0 y x y x 1 1 11 y 0 0Nom : ...................................................... Prénom : ....................................................... Classe : ........................................
Van In © - Actimath 3 3 Ch. 12 - Pente d'une droite Pour chaque droite, représente un triangle de support, détermine les coordonnées desextrémités de l'hypoténuse, détermine les accroissements Δx et Δy puis calcule la pente.
Pente =
................................................................................. Pente = ....................................................................
Pente = ................................................................................. Pente = ....................................................................
Pente =
................................................................................. Pente = ....................................................................
y x y x 1 1 1 1 y 0 0 y x y x 1 1 1 1 y 0 0 y x 1 1 y x 1 1 00Nom : ...................................................... Prénom : ....................................................... Classe : ........................................
Van In © - Actimath 3 4 Ch. 12 - Pente d'une droite4) Calcul de la pente sans graphique
Il n'est pas nécessaire de disposer du graphique de la droite pour déterminer sa pente. En effet, la pente peut se calculer par la formule ABA B xx yy x yExemple
La droite a passe par les points A (2 ; 1) et B (4 ; 6).Valeurs : x
A = 2, y A = 1 et x B = 4, y B = 6 pente = y61 5 x422Δ Détermine la pente des droites suivantes en écrivant le détail de tes calculs.La droite a passe par les points
A (2 ; 5) et B (4 ; 9)
Pente =
La droite b passe par les points
A (1 ; 8) et B (3 ; 5)
Pente =
La droite c passe par les points
A (0 ; 3) et B (2 ; 1)
Pente =
La droite d passe par les points
A (-1 ; 2) et B (3 ; 5)
Pente =
La droite e passe par les points
A (-3 ; 5) et B (-1 ; 2)
Pente =
La droite f passe par les points
A (1 ; 2) et B (-3 ; -5)
Pente =
Vérifie graphiquement la pente des droites e et f. x x y y 1 1 1 0 0 1Nom : ...................................................... Prénom : ....................................................... Classe : ........................................
Van In © - Actimath 3 5 Ch. 12 - Pente d'une droite5) Pente de droites parallèles
Détermine la pente des droites a et b en utilisant les points connus.Pente de la droite a =
Pente de la droite b = ....................................................................................................................................................................................
Quelle conclusion peux-tu tirer ? .....................................................................................................................................................
6) Pente de droites parallèles aux axes
Détermine la pente des droites a et b.
Pente de la droite a = .....................................................................................................................................................................................
Pente de la droite b = ....................................................................................................................................................................................
Quelle conclusion peux-tu tirer ? .....................................................................................................................................................
Actimath 3 - Chapitre 12 - Activité 3 p. 163 et 144 - 3 p. 145 et 146 y x a b 0 x y 1 1 b a 0Nom : ...................................................... Prénom : ....................................................... Classe : ..................................
Van In © - Actimath 3 1 Ch. 12 - Equations de droitesRemédiation -
Equations de
droites1) Formule
La forme générale de l'équation d'une droite est l'expression ci-dessous. y = mx + p Les lettres x et y représentent les coordonnées d'un point quelconque de la droite, lalettre m représente la pente de la droite et la lettre p est l'ordonnée à l'origine, c'est-à-
dire l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe y, soit le point (0,p).2) Recherche de la pente (m)
a) La pente est donnée dans l'énoncé de l'exercice. b) On connaît 2 points quelconques (A et B) de la droite. Pour déterminer la pente, on utilise la formule m = ABA B xxyy ∆x∆y (voir fiche de remédiation sur le pente d'une droite).Recherche la pente des droites a, b et c.
La droite a passe par les points (2 ; 5) et (3 ; 7). ..........................................................................................................................................................................................................................
La droite b passe par les points (-1 ; 2) et (2 ; 6).La droite d passe par les points (-2 ; -5) et (4 ; -3). ..........................................................................................................................................................................................................................
c) La droite recherchée est parallèle à une autre droite "connue". Les pentes sont alorségales.
Recherche la pente des droites a et b.
La droite a est parallèle à la droite d1
≡ y = -2x + 3.La droite b est parallèle à la droite d
2qui passe par les points (2 ; 3) et (4 ; -5). ..........................................................................................................................................................................................................................
Nom : ...................................................... Prénom : ....................................................... Classe : ..................................
Van In © - Actimath 3 2 Ch. 12 - Equations de droites3) Recherche de l'ordonnée à l'origine (p)
a) L'ordonnée à l'origine est donnée dans l'énoncé de l'exercice par le point (0 ; p).
b) La pente étant connue, pour déterminer la valeur de p, il suffit de remplacer dans l'équation y = mx + p, x et y par les coordonnées d'un point de la droite. Recherche la valeur de p pour les droites a, b, c, d et e. La pente de la droite a vaut 2 et la droite passe par le point (3 ; 2). La pente de la droite a vaut 2 ? a ≡ y = 2.x + p (3 ; 2) ? a La pente de la droite b vaut -3 et la droite passe par le point (1 ; 5). La pente de la droite c vaut 4 et la droite passe par le point (0 ; -2).La pente de la droite d vaut
21et la droite passe par le point (6 ; -1).
La pente de la droite d vaut
32et la droite passe par le point (5 ; 1). La pente de la droite e vaut 3 et la droite passe par le point (2 ; 6).
Nom : ...................................................... Prénom : ....................................................... Classe : ..................................
Van In © - Actimath 3 3 Ch. 12 - Equations de droites4) Recherche de l'équation de la droite
Tu es maintenant prêt pour déterminer l'équation d'une droite. L'exercice résolu ci- dessous te montre comment présenter ton raisonnement.Exercice résolu
Recherche l'équation de la droite d passant par les points (2 ; 3) et (3; -1) La forme générale de l'équation est d ≡ y = mx + pRecherche de la pente : m m = 4
1 4 2-3 3-1- ∆x∆y L'équation de la droite d devient d ≡ y = -4 x + pRecherche de la valeur de p (2 ; 3) ? d
? 3 = - 4 . 2 + p ? p = 11 L'équation de la droite d est d ≡ y = - 4 x + 11 Dans chaque cas, détermine l'équation de la droite. Tu n'es pas obligé de résoudre les exercices dans l'ordre ! Ensuite, représente cette droite. a) La droite a passe par les points (2 ; 1) et (4 ; 5). b) La droite b passe par les points (-3 ; 2) et (6 ; -2).Nom : ...................................................... Prénom : ....................................................... Classe : ..................................
Van In © - Actimath 3 4 Ch. 12 - Equations de droites c) La droite c passe par les points (0 ; 0) et (3 ; 4). d) La pente de la droite d vaut -2 et elle passe par le point (1 ; 1). e) La pente de la droite e vaut 32et elle passe par le point (0 ; 0). f) La droite f passe par les points (0 ; -3) et (5; 2).
Nom : ...................................................... Prénom : ....................................................... Classe : ..................................
Van In © - Actimath 3 5 Ch. 12 - Equations de droites g) La droite g passe par le point (2 ; 5) et est parallèleà la droite d ≡ y = 3x + 4.
h) La droite h passe par le point (3 ; 2 ) et est parallèleà la droite d ≡ y = -2x.
Cas particuliers
i) La droite i passe par les points (4 ; 3) et (-2 ; 3). j) La droite j passe par les points (3 ; 2) et (3 ; -1). Actimath 3 - Chapitre 12 - Activité 5 p. 165 et 166 Actimath 3 - Chapitre 12 - Exercices complémentaires 17 p. 171 et 18 p. 172Nom : ....................................................... Prénom : ....................................................... Classe : .............................
Van In © - Actimath 3 1 Ch. 2 - Equations du 1 e degré à 1 inconnueRévision de 2
e - Equations du 1 e degréà 1 inconnue
Equations du type a+x = b (1) , ax = b (2) et
x a = b (3) Pour résoudre une équation d'un de ces trois types, tu ne dois neutraliser qu'un seul nombre : un terme (1), un facteur multiplicateur (2) ou un facteur diviseur (3). Exemple (1) Exemple (2) Exemple (3)3 + x = - 5 2x = - 6
3x = 5 -3 - 3 : 2 : 2 . 3 . 3 x = - 8 x = - 3 x = 15Exercices d'entraînement
oReconnais le type d'équation. oIndique les flèches et l'opération que tu dois effectuer dans chaque membre pour neutraliser le nombre "gêneur". oDétermine la solution. x - 5 = - 2 - 3x = 21 x 2 = 614 = 5x
- 5 = 3x - 4 = x + 3 5 - x = -3 -14 = -3x -4 = -x2 - 2 + x =
51x 5 = 1 3 1 2 = x 5
Nom : ....................................................... Prénom : ....................................................... Classe : .............................
Van In © - Actimath 3 2 Ch. 2 - Equations du 1 e degré à 1 inconnueEquations du type
ax b = c ou ax b c d Pour résoudre une équation d'un de ces deux types, tu dois neutraliser deux nombres : un facteur multiplicateur (a) et un facteur diviseur (b). Tu peux procéder de deux manières différentes. a)53x = 6 53x = 6
. 5 . 553. x = 6
3x = 30 :
53 : 53
: 3 : 3 x = 6 . 35x = 10 x = 10 b)
23x = 75 23x = 75
. 2 . 223. x = 75
3x =710 : 23 : 23
: 3 : 3 x =75 . 32
x =2110 x = 2110
Exercices d'entraînement
35x= 6
72x- = 3
54x- =152
37x = 421
Nom : ....................................................... Prénom : ....................................................... Classe : .............................
Van In © - Actimath 3 3 Ch. 2 - Equations du 1 e degré à 1 inconnueEquations du type ax + b = c
Pour résoudre une équation de ce type, on neutralise d'abord le terme " gêneur », puis le
facteur " gêneur ».Remarques
Un terme " gêneur » est relié à l'inconnue par une somme. Un facteur " gêneur » est relié à l'inconnue par un produit.Exemples
2x + 8 = 18 -9 - 5x = - 19
- 8 - 8 + 9 + 92x = 18 - 8 - 5x = - 19 + 9
2x = 10 - 5x = - 10
: 2 : 2 : (- 5) : (- 5) x = 10 : 2 x = (- 10) : (- 5) x = 5 x = 2Exercices d'entraînement
2x - 5 = 2 - 3x + 4 = - 2 5 + 7x = - 2 - 2 - 2x = 5
6 = 2x - 5 - 4 = - 3x + 1
2x + 1 2 = 3 x 2 + 1 = 5 4Nom : ....................................................... Prénom : ....................................................... Classe : .............................
Van In © - Actimath 3 4 Ch. 2 - Equations du 1 e degré à 1 inconnueEquations du type : ax + b = cx + d
Pour résoudre ce genre d'équation, il faut effectuer des neutralisations successives.5x + 2 = 3x - 4 5x + 2 = 3x - 4
-3x - 3x - 3x - 3x5x - 3x + 2 = - 4
- 2 - 22x + 2 = - 4 5x - 3x = - 4 - 2
- 2 - 22x = - 4 - 2
2x = - 6 2x = - 6
: 2 : 2 : 2 : 2 x = - 3 x = - 3 La deuxième méthode est plus rapide car on neutralise les deux termes (gras) en même temps. Le but poursuivi est donc de grouper les termes en x dans un membre et les termes indépendants (sans x) dans l'autre membre. 5x - 3 = - 2x + 1 - 5 + 2x = 5x - 4 8 - x = 2 + 3x5x + 2x = 1 + 3 2x - 5x = - 4 + 5 - x - 3x = 2 - 8
7x = 4 - 3x = 1 - 4x = - 6
x = 47 x = -1
3 x = 3
2Exercices d'entraînement
5x - 1 = 3x - 2 x + 4 = 3x - 2 2 - 3x = x + 1
x + 1 = - 2x - 21 + 4x = - 3x - 2 2 + x = 3x - 1
Actimath 3 - Chapitre 2 - Activité 3 p. 18
Actimath 3- Chapitre 2 - Exercices : 1 à 6 p. 23 et 24Nom : ....................................................... Prénom : ....................................................... Classe : .............................
Van In © - Actimath 3 1 Ch. 2 - Equations avec fractionsRemédiation - Equations avec fractions
Equations élémentaires
Certaines équations avec fractions ne posent pas de problème car il s'agit d'équations "élémentaires" pour lesquelles il suffit d'utiliser une des techniques de base.Exemples
x + 2143
2x 75
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