[PDF] Problème dénumération des parties dun ensemble





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Chapitre 3 : Cardinaux factorielles et coefficients binomiaux. 1

Cardinaux d'ensembles de parties. Théor`eme 1. Si E est un ensemble qui poss`ede n éléments alors l'ensemble P(E) des parties de E contient 2n éléments.



Problème dénumération des parties dun ensemble

LE PROBLÈME : énumérer toutes les parties d'un ensemble. 2. ALGORITHME : énumération récursive. 3. PREUVE : structure de preuve d'algorithme récursif.



Ensembles et dénombrement

E 5 Si m ? n alors l'ensemble [m



1) CARDINAL dun ensemble fini. ( effectif ) 2) PARTIES dun

? est l' « ensemble vide » il ne contient aucun élément



Ch 1. Ensembles et dénombrement I. Ensembles II. Cardinaux

seront des parties de ?. On note P(?) l'ensemble des parties de ?. Exemple. nombre de suites de longueur r constituées d'éléments de. A est nr.



Chapitre 2 - Théorie des ensembles

L'ensemble des parties d'un ensemble E noté P(E) est formé de tous les ensembles inclus dans E. En Le cardinal d'un ensemble fini E se note Card E.



Parties

Dans ce chapitre. En guise d'ensembles on revisite ce qui concerne les ensembles dans le cadre restreint des parties d'un ensemble.



Cardinalité des ensembles finis

Il existe application injective de F sur E mais pas d'application surjective. En fait



Chapitre 1 Ensembles et sous-ensembles

ensemble appelé ensemble des parties de E et noté P(E). l'appelle le cardinal ou le nombre d'éléments de E. On convient que ? est fini et de cardinal 0 ...



Cours de mathématiques Partie I – Les fondements MPSI 4

27 août 2018 Intuitivement le cardinal d'un ensemble correspond à sa taille. Pour un ensemble fini



[PDF] Ch 1 Ensembles et dénombrement I Ensembles II Cardinaux

Définition 2 Soient A et B deux ensembles On définit : - A ? B l'union de A et B est l'ensemble des éléments qui sont dans A ou dans B ou dans les deux



[PDF] Cardinalité des ensembles finis - Université de Toulouse

Il existe une application bijective de E dans F si et seulement si Card(E) = Card(F) Cardinalité des ensembles finis Cardinal d'un ensemble fini



[PDF] Chapitre 1 Ensembles et sous-ensembles - Université de Rennes

Définition 1 3 – Soient A et B deux sous-ensembles d'un ensemble E L'ensemble {x x ? A et x ? B} est appelé l'intersection des ensembles A



[PDF] Ensembles et dénombrement

Un ensemble est fini si son cardinal est un entier naturel i e s'il possède un nombre fini d'éléments Dans le cas contraire on dit qu'il est infini Page 2 



Ensemble des parties dun ensemble - Wikipédia

En mathématiques l'ensemble des parties d'un ensemble parfois appelé ensemble puissance est l'ensemble de tous les sous-ensembles d'un ensemble donné (y 



[PDF] ? 1) CARDINAL dun ensemble fini ( effectif ) ?2) PARTIES dun

? est l' « ensemble vide » il ne contient aucun élément on note : card(?) = ? = 0 ?2) PARTIES d'un ensemble fini •A) Partie ou sous ensemble a) 



Dénombrement

4 fév 2017 · Calcul du cardinal Propriété Soient E et F deux ensembles finis disjoints Leur réunion est un ensemble fini avec 



[PDF] Ensembles

On va dire comment écrire des ensembles en donnant des ensembles de base Voici la carte de visite du cardinal L'ensemble des parties d'un ensemble E



[PDF] Théorie des ensembles - Institut de Mathématiques de Bordeaux

C'est une p-liste d'éléments de E distincts deux `a deux Proposition 15 Si E est un ensemble fini de cardinal n le nombre de parties de E est égal `a 2n



[PDF] Combinatoire et dénombrement

Le cardinal de la réunion de A et de B est la somme des cardinaux des parties A et B ? Exemple Soit E l'ensemble des entiers naturels non nuls inférieurs ou 

  • Comment déterminer le cardinal d'un ensemble ?

    Lorsqu'un ensemble est fini, c'est-à-dire si ses éléments peuvent être listés par une suite finie, son cardinal est la longueur de cette suite, autrement dit il s'agit du nombre d'éléments de l'ensemble. En particulier, le cardinal de l'ensemble vide est zéro.

  • Quel est le cardinal de l'ensemble des parties de E ?

    Le cardinal d'un ensemble fini E désigne le nombre d'éléments de E. Ex : E={1,2,5,10}, card(E)=4.

  • Comment déterminer l'ensemble des parties d'un ensemble ?

    L'ensemble ayant pour éléments tous les sous-ensembles ou parties d'un ensemble E est noté de la façon suivante : P(E). Si Card(E) = n, alors : Card(P(E)) = 2n. Une partie d'un ensemble E différente de E et non vide est appelée une partie propre de l'ensemble E.
  • Les cardinalités sont des couples de valeur que l'on trouve entre chaque entité et ses associations liées. Donc, pour une association de 2 entités, il y a 4 cardinalités à indiquer (2 de chaque côté). Il y a trois valeurs typiques : 0, 1 et N (plusieurs).
Problème dénumération des parties dun ensemble

PROBLÈMEALGORITHMEPREUVECOMPLEXITÉEXERCICESProblème d"énumération des parties d"un ensemble

Jean-Marc Vincent

1 1

Laboratoire LIG

Équipe-Projet POLARIS

Jean-Marc.Vincent@imag.fr1LE PROBLÈME: énumérer toutes les parties d"un ensemble2ALGORITHME: énumération récursive3PREUVE: structure de preuve d"algorithme récursif4COMPLEXITÉ5EXERCICES1 / 12Problème d"énumération des parties d"un ensemble

PROBLÈMEALGORITHMEPREUVECOMPLEXITÉEXERCICESMOTIVATIONSAlgorithme de recherche I Trouver toutes les manières de placernreines sur un échiquier sans qu"elles soient en prise. I Dans un sac à dos charger un ensemble des objets ayant une valeur totale maximale (contrainte de volume) I

Trouver les configurations du jeu Tic-Tac-Toe

I

Trouver les k-coloriages d"un graphe

I etcLe problème SAT (x1;x2;;;xn) =m^ i=1C i C i=xi1_xi2_ _xiki;I nvariables I mclauses,kitaille de la clauseCiavec avecxill"une des variablesxjou sa négation. I

Forme normale conjonctiveProblème de la classeNP2 / 12Problème d"énumération des parties d"un ensemble

PROBLÈMEALGORITHMEPREUVECOMPLEXITÉEXERCICESMOTIVATIONSAlgorithme de recherche I Trouver toutes les manières de placernreines sur un échiquier sans qu"elles soient en prise. I Dans un sac à dos charger un ensemble des objets ayant une valeur totale maximale (contrainte de volume) I

Trouver les configurations du jeu Tic-Tac-Toe

I

Trouver les k-coloriages d"un graphe

I etcLe problème SAT (x1;x2;;;xn) =m^ i=1C i C i=xi1_xi2_ _xiki;I nvariables I mclauses,kitaille de la clauseCiavec avecxill"une des variablesxjou sa négation. I

Forme normale conjonctiveProblème de la classeNP2 / 12Problème d"énumération des parties d"un ensemble

E=fa;b;c;dg3 / 12Problème d"énumération des parties d"un ensemble

E=fa;b;c;dga

3 / 12Problème d"énumération des parties d"un ensemble

E=fa;b;c;dgb

a

3 / 12Problème d"énumération des parties d"un ensemble

E=fa;b;c;dgc

ba

3 / 12Problème d"énumération des parties d"un ensemble

E=fa;b;c;dgd

cba

3 / 12Problème d"énumération des parties d"un ensemble

E=fa;b;c;dgd

d d ddcccc b bbbaaaaaaa dcbcbdabbdcc;dcba

3 / 12Problème d"énumération des parties d"un ensemble

E=fa;b;c;dg0

1 1

1000000001

1 0 1 0 1 1 0 0 0 111
1 1 1 01 d d c ddc c dbb a dbcbcdaa a a ccc b bbbaaa

d;dcbaÀ chaque élément on associe un booléen selon qu"il est présent ou non dans la partie.

On a unebijectionentre l"ensemble des parties d"un ensemble de taillenet l"ensemble des vecteurs de bits de dimensionn(choix d"un rang par élément) Ici la partiefb;dgpourrait être codée para b c d0101

3 / 12Problème d"énumération des parties d"un ensemble

PROBLÈMEALGORITHMEPREUVECOMPLEXITÉEXERCICESÉNUMÉRATION DIRECTE DES PARTIES D"UN ENSEMBLEprocédureénumérer_Codage(Y)

Données:Y=fy0;;yn1gensembles d"éléments

Résultat:Une et une seule visite de chaque par tiede Y fori=0to2n1Écrireien binaire

Convertir le vecteur de bits en une partiepideY

VisiterpI

Coût de l"énumération

2 nétapes

I Parcourt fixé par la numérotation des éléments deY I

Difficile de faire le lien entre le nombre entieriet des propriétés de la partiepi(par exemple le

cardinal)4 / 12Problème d"énumération des parties d"un ensemble

PROBLÈMEALGORITHMEPREUVECOMPLEXITÉEXERCICESÉNUMÉRATION RÉCURSIVE DES PARTIES D"UN ENSEMBLEprocédureénumérer_visiter_parties(X,Y)

ifX=;Visiter(Y)else x=Choisir(X)

énumérer_visiter_parties(Xnfxg,Y)

énumérer_visiter_parties(Xnfxg,Y[ fxg)I

Comment se fait le passage de paramètres?

I

Quel est l"appel initial?

I

Que fait l"algorithme?

I

Quel est le coût de cet algorithme?5 / 12Problème d"énumération des parties d"un ensemble

PROBLÈMEALGORITHMEPREUVECOMPLEXITÉEXERCICESÉNUMÉRATION RÉCURSIVE DES PARTIES D"UN ENSEMBLEprocédureénumérer_visiter_parties(X,Y)

ifX=;Visiter(Y)else x=Choisir(X)

énumérer_visiter_parties(Xnfxg,Y)

énumérer_visiter_parties(Xnfxg,Y[ fxg)I

Comment se fait le passage de paramètres?

passage par v aleurs I

Quel est l"appel initial?

I

Que fait l"algorithme?

I

Quel est le coût de cet algorithme?5 / 12Problème d"énumération des parties d"un ensemble

PROBLÈMEALGORITHMEPREUVECOMPLEXITÉEXERCICESÉNUMÉRATION RÉCURSIVE DES PARTIES D"UN ENSEMBLEprocédureénumérer_visiter_parties(X,Y)

ifX=;Visiter(Y)else x=Choisir(X)

énumérer_visiter_parties(Xnfxg,Y)

énumérer_visiter_parties(Xnfxg,Y[ fxg)I

Comment se fait le passage de paramètres?

passage par v aleurs I Quel est l"appel initial?énumérer_visiter_parties(X,;) I

Que fait l"algorithme?

I

Quel est le coût de cet algorithme?5 / 12Problème d"énumération des parties d"un ensemble

PROBLÈMEALGORITHMEPREUVECOMPLEXITÉEXERCICESÉNUMÉRATION RÉCURSIVE DES PARTIES D"UN ENSEMBLEprocédureénumérer_visiter_parties(X,Y)

Données:XetYensembles disjoints d"éléments Résultat:Une et une seule visite de chaque par tiede X[Yde la formep[Y avecpX ifX=;Visiter(Y)else x=Choisir(X)

énumérer_visiter_parties(Xnfxg,Y)

énumérer_visiter_parties(Xnfxg,Y[ fxg)I

Comment se fait le passage de paramètres?

passage par v aleurs I Quel est l"appel initial?énumérer_visiter_parties(X,;) I

Que fait l"algorithme?

I

Quel est le coût de cet algorithme?5 / 12Problème d"énumération des parties d"un ensemble

PROBLÈMEALGORITHMEPREUVECOMPLEXITÉEXERCICESÉNUMÉRATION RÉCURSIVE DES PARTIES D"UN ENSEMBLEprocédureénumérer_visiter_parties(X,Y)

Données:XetYensembles disjoints d"éléments Résultat:Une et une seule visite de chaque par tiede X[Yde la formep[Y avecpX ifX=;Visiter(Y)else x=Choisir(X)

énumérer_visiter_parties(Xnfxg,Y)

énumérer_visiter_parties(Xnfxg,Y[ fxg)I

Comment se fait le passage de paramètres?

passage par v aleurs I Quel est l"appel initial?énumérer_visiter_parties(X,;) I

Que fait l"algorithme?

I

Quel est le coût de cet algorithme?

2 nappels, avecnla taille deX5 / 12Problème d"énumération des parties d"un ensemble

PROBLÈMEALGORITHMEPREUVECOMPLEXITÉEXERCICESÉNUMÉRATION DES PARTIES D"UN ENSEMBLE:PREUVEprocédureénumérer_visiter_parties(X,Y)

Données:XetYensembles disjoints d"éléments Résultat:Une et une seule visite de chaque par tiede X[Yde la formep[Y avecpX ifX=;Visiter(Y)else x=Choisir(X)

énumérer_visiter_parties(Xnfxg,Y)

énumérer_visiter_parties(Xnfxg,Y[ fxg)I

Que faut-il prouver?

I Comment faire la preuve?6 / 12Problème d"énumération des parties d"un ensemble

PROBLÈMEALGORITHMEPREUVECOMPLEXITÉEXERCICESÉNUMÉRATION DES PARTIES D"UN ENSEMBLE:PREUVEprocédureénumérer_visiter_parties(X,Y)

Données:XetYensembles disjoints d"éléments Résultat:Une et une seule visite de chaque par tiede X[Yde la formep[Y avecpX ifX=;Visiter(Y)else x=Choisir(X)

énumérer_visiter_parties(Xnfxg,Y)

énumérer_visiter_parties(Xnfxg,Y[ fxg)I

Que faut-il prouver?

énumérer_visiter_parties(X,;) visite une et une seule fois chaque partie deX I Comment faire la preuve?6 / 12Problème d"énumération des parties d"un ensemblequotesdbs_dbs28.pdfusesText_34
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