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Quand utiliser Horner ?
La règle de Horner ne peut être utilisée que lorsque le diviseur est un polynôme du premier degré. Par exemple, divisons 2x4?18x2+2x+5 par x+3.
Il faut construire un tableau de 3 lignes et n colonnes ou n est le degré du polynôme f (donc ici n vaut 4). La colonne 1 ne contient que le réel a = ? 2 a = -2 a=?2 a la 2ème ligne, les autres cases restent vides.

Fiche 002 Niveau : 0 version 2 (1/05/2010)Gris

1.1 Présentation

"informatique". Nous suggérons d'autres algorithmes qui l'utilisent d'une manière plus ou moins

cachée. (1) (2) 0 0 a7a6a5a4a3a20 0 a7a6a5a4a3

0 0 0a7a6a5a4a3

Soita7a6a5a4a3a2a1a0où lesaivalent0ou1, l'écriture binaire d'un nombreS. Ainsi :

S=a727+a626+a525+a424+a323+a222+a121+a0.

figure 1. On utilise les deux opérations : (1) on décale les bits déjà entrés d'une position vers la gauche,

(2) on insère le bit suivant à la position la plus à droite, laissée libre par le décalage.

NotonsSile nombre déjà entré, qui s'écrit en binairea7a6···a7-i. Alors le nombreSi+1obtenu à

S i+1= 2Si+a7-i-1. 1

Dans cette formule la multiplication par2correspond au décalage à gauche des bits déjà entrés, et

l'addition dea7-i-1correspond à l'insertion du bit suivant à la place laissée libre. Si on décrit la suite

des opérations on calcule successivement : S

0=a7,S1= 2S0+a6,···,S7= 2S6+a0,

ou encore : S=S7= 2(2(2(2(2(2(2a7+a6) +a5) +a4) +a3) +a2) +a1) +a0.

L'algorithme est décrit à la figure 2.

entrées : un tableauAdeNbits sortie : le nombreS=?N-1 i=0A[i]2i début

S←0;

i←N-1; tant quei≥0faire

S←2?S+A[i];

i←i-1; fintq; retournerS; fin Cet algorithme effectueNtours de boucle, chaque boucle coûtant une multiplication par2et une

addition. Ici,Nreprésente le nombre de bits deS, c'est-à-dire la taille deS. L'algorithme coûte

O(N)opérations élémentaires.

1.3 Généralisation

Cet algorithme s'adapte immédiatement à toute écriture polynomiale de la forme :

S(X) =aN-1XN-1+···+a1X+a0.

Il suffit en effet d'effectuer la suite d'opérations suivantes : S

0(X) =aN-1,

1(X) =XS0(X) +aN-2,

N-1(X) =XSN-2(X) +a0.

1. évaluation d'un polynôme en un point,

2. traduction binaire - décimal,

3. division euclidienne,

4. calcul d'une puissance.

En fait cette liste n'est pas limitative. En effet, dans de nombreuses situations une partie de l'algo-

rithme consiste à reconstituer un nombre à partir de ses bits. Dans cette situation l'algorithme de

2 ExempleNous nous proposons d'évaluer un polynômeten un pointx. Cette fonction existe dans les systèmes

de calcul, néammoins à titre d'exemple nous la reprogrammons dans le style Maple (logiciel utilisé :

xcas). evaluation:=proc(t,x) localn,i,s; n:=length(t); i:=n; s:= 0; while(i >= 1) do s:=x?s+t[i]; i:=i-1; od; return(s); end;

3 Itération d'une loi associative?avec élément neutree

Soit?uneloi associativesurun ensembleG, ayant un élément neutree. Il s'agit de calculer lorsqu'on

se donne un entiern≥0et un élémenta?Gla puissance : S n=a?n=?esin= 0 a?a? ··· ?asin >0. entrées : Un tableauAdekbits tel quen=?k-1 i=0A[i]2i, sortie :S=a?n. début

S←e;

i←k-1; tant quei≥0faire

S←S?S?a?A[i];

i←i-1; fintq; retournerS; fin

FIG. 3 - Itération d'une opération?

Par exemple, si l'opération?est l'addition des entiers avec son élément neutre0, et sia= 1, l'al-

bits, que nous avons décrit précédemment. 3 Si l'opération?est l'opération de multiplication dansZ/cZ: a?b=a.bmodc, qui ae= 1pour élément neutre, l'algorithme calculeanmodc. Cet algorithme prend alors le nom de "square and multiply" pour la raison suivante : à chaque tour de boucle on est amené à calculerS?S?a?A[i], c'est-à-direS2modcsi le bit

A[i] = 0et dans ce cas on a une élévation au carré, etS2.amodcsi le bitA[i] = 1et dans ce cas on

a une élévation au carré suivie d'une multiplication.

4 Considération des bits de bas en haut

mençant par ceux de poids forts. Peut on décrire un algorithme fondé sur un principe analogue qui

traiterait d'abord les bits de poids faible? entrées : Un entier n sortie :S=a?n. début

A←a;

S←e;

N←n;

tant queN≥1faire siNpairalors

A←A?A;

N←N/2;

sinon

S←S?A;

N←N-1;

finsi; fintq; retournerS; fin;

FIG. 4 - Algorithme de bas en haut

On pourra trouver une preuve de cet algorithme dans la fiche fichecrypto_100.

Remarquons qu'ici on a remplacé le tableau de bits par la recherche de la parité deN, ce qui revient

théoriquement au même, mais qui souligne l'intérêt de cetteméthode lorsqu'on travaille dans un

langage de programmation où on n'a pas accès directement auxbits d'un entiern, mais à sa parité.

Auteur : Ainigmatias Cruptos

Diffusé par l'Association ACrypTA

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Comment faire la méthode de Horner ?

Quand utiliser Horner ?

Fiche 002 Niveau : 0 version 2 (1/05/2010)Gris

1.1 Présentation

0 0 0a7a6a5a4a3

S=a727+a626+a525+a424+a323+a222+a121+a0.

0=a7,S1= 2S0+a6,···,S7= 2S6+a0,

L'algorithme est décrit à la figure 2.

S←0;

S←2?S+A[i];

O(N)opérations élémentaires.

1.3 Généralisation

S(X) =aN-1XN-1+···+a1X+a0.

0(X) =aN-1,

1(X) =XS0(X) +aN-2,

N-1(X) =XSN-2(X) +a0.

1. évaluation d'un polynôme en un point,

2. traduction binaire - décimal,

3. division euclidienne,

4. calcul d'une puissance.

2 ExempleNous nous proposons d'évaluer un polynômeten un pointx. Cette fonction existe dans les systèmes

3 Itération d'une loi associative?avec élément neutree

S←e;

S←S?S?a?A[i];

FIG. 3 - Itération d'une opération?

4 Considération des bits de bas en haut

A←a;

S←e;

N←n;

A←A?A;

N←N/2;

S←S?A;

N←N-1;

FIG. 4 - Algorithme de bas en haut

Auteur : Ainigmatias Cruptos

Diffusé par l'Association ACrypTA